《复数》知识点总结

第第#页《复数》知识点总结1、复数的概念形如a+bi(a,beR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1,a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.(1)纯虚数:对于复数工=a+bi当a=。且b中0时，叫做纯虚数。(2)两个复数相等:a+bi,c+di(a、b、c、deR)相等的充要条件是a=c且b=d。(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.(4)复数的模：复数z=a+bi可以用复平面内的点Z(a,b)表示，向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模表示为：Iz曰a+biI=a2+b2(5)共轭复数：两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数。2、复数的四则运算(1)加减运算：(a+bi)土(c+di)=(a土c)+(b+d)i；(2)乘法运算：(a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；(ac+bd)(bc-ad).(3)除法运算：(a+bi)+(c+di)= + --i(c+di中0)；c2+d2 c2+d2(4)i的幂运算：i4n=1,i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i.(neZ)(5)zzTzI2=IzI23、规律方法总结(1)对于复数z=a+bi(a,beR)必须强调a,b均为实数，方可得出实部为a，虚部为b(2)复数z=a+bi(a,beR)是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi(a,beR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识(3)对于两个复数，若不全是实数,则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.(4)数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等

1、基本概念计算类例1.若z=a+2i,Z=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为 TOC\o"1-5"\h\z1 2 z2za+2i(。+2/)(3+4?)3a+6i+4ia-83〃-8+(6+4。)，解:因为，1=--―=——八=又=又，Z3-4， (3-4^)(3+4-1) 25 252z 8又一为纯虚数，所以，3a—8=0,且6+4aW0.「.〃=7Z 322、复数方程问题_5-5/例2.证明:在复数范围内，方程Izl2+(l-，)z=k—(i为虚数单位)无解证明：原方程化简为以-(1+，)Z=1-3i豉z=x+yi(x、yeA),代入上述方程|X2+V2=1得工2+y2-2xi-2yi=1-3iA 整理得8x2-12x+5=0[2x+2y=3•••A=-16<0./.方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。3、综合类例3.设z是虚数，3=Z+1是实数，且一1〈3<2Z求Iz1的值及z的实部的取值范围；设加=二，求证:M为纯虚数；1+Z求3—加2的最小值。解：(1)设z=a+bi(a,b£&。。。)7. 1 , 1 、" 8 、.3=a+历+ =(a+ )+(Z?- )z,a+bi 。2+〃2 12+/?2所以，“2+Z?2=1,即|z|=1,因为3=2a,—1〈31—〃2-Z?2-2bi1,所以,1—〃2-Z?2-2bibi（这-bi（这2+Z72M= = = 2+Z721+z1+a+bi(1+(2+bi)(l+a-bi)里利用了⑴中。2+。2=1)。因为aw 匕。。，所以M为纯虚数b2八1—a2八a—13—M2—2a+ -2a+ -2a- (a+1)2 (a+1)2a+1-2a—1+ —2[(a+1)+—]—3a+1 a+1因为，ae(—1,1),所以，a+l>0,所以3—M2>2X2—3=1,当a+1=」，即a=0时上式取等号，所以，3—M2的最小值是1。a+14、创新类TOC\o"1-5"\h\z例4.对于任意两个复数z-x+yi,z-x+yi(x,x,y,yeR)定义运算“。〃为1 1 1 2 2 2 1212z。z=xx+yy，设非零复数3,3在复平面内对应的点分别为P,P，点。为坐标原1 2 12 12 1 2 1 2点，若3。3=0,则在APOP中，/POP的大小为 。1 2 12 12解法一：(解析法)设3-a+bi,3-a+bi(a,a丰0),故得点1 1 1 2 2 212bbP(a,b),P(a,b)，且aa+bb=0,即一-——11 1 1 2 2 2 12 12 aa12bb从而有k•k =j•-——1故OP1OP，也即/POP-900TOC\o"1-5"\h\zOP11OP22aa 1 2 1 212解法二：（用复数的模）同法一的假设,知|OP|2-|3|2-a2+b21 11|OP|2-|3|2-a2+b22 22IPP|2二|3—3|2—|(a—a)+(b—b)iI212 1 2 1 2 1 2=a2+b2+a2+b2—2(aa+bb)=a2+b2+a2+b2—2X01 1 22 12 12 1 1 2 2=a2+b2+a2+b2=IOPI2+1OPI211 22 1 2由勾股定理的逆定理知/POP-90012解法三：(用向量数量积的知识)