第5章时变电磁场

第五章时变电磁场5.1时变电磁场方程及边界条件5.2时变电磁场唯一性定理5.3电磁场能量关系5.4时变电磁场的位函数5.5正弦电磁场一、时变电磁场方程法拉第电磁感应定理电路以速度v沿某一方向运动电与磁相互激励的循环影响图二、边界条件时变电磁场的唯一性定理（略）坡印廷定律

推导所传送的能量与电磁波中电场强度和磁场强度之间的比率关系，假设闭合面包围的体积中无外加源，且媒质是均匀和各向同性的，利用矢量恒等式可得：

H点乘

E点乘 相减 可得：在理想媒质中，其本构参数、和均不随时间而变化，所以有：于是式又可写成：

这微分形式表示了点函数的关系。对上式两边在所研究的区域里取体积分，并且利用矢量分析中的数学形式的高斯定理，便可找出相应的积分形式：积分形式

可清楚地认出上式右边的第一项和第二项分别表示电场和磁场储能随时间的变化率，最后一项表示由于传导电流密度的流动而在体积内所产生的欧姆功率损耗。因而可以将上式的右边说成是电能和磁能的减少率减去在体积内的欧姆功率热损耗。根据能量守恒定律，它必然等于通过该体积的表面散发出去的功率(能量的变化率)，所以量是一个表示穿过单位面积的功率流矢量，定义为：在该体积的封闭面上的面积分。其中已利用散度定理将的体积分变换为其中

电能量密度 磁能量密度

欧姆功率密度也就是说，式（5.65）表明了坡印廷定理：在任何瞬时流入某闭合面的总功率，等于由这个闭合面所包围的体积内电场和磁场储能的增加率与欧姆损耗功率的总和。例题（略）时变电磁场的位函数波动（达朗贝尔）方程与位函数取旋量方程

两边同时取旋度，得自由空间

H的波动方程自由空间导电媒质中的无源波动方程动态位在前节中，从的无散性引入了矢量磁位的概念：

若将上式代入法拉第定律的微分形式中，接着可以得到：将上式右边的微分项移到公式左边，得：

因为上式括号内两个矢量之和是无旋的，所以它可以用—个标量函数的梯度来表示。为了与静电场的标量电位相一致，于是可以写成： 故而可以定义： 称为动态标量电位函数。时变电磁场的位函数方程并利用本构关系和，则可以得到以下关系：

由矢量分析中的恒等式，上式可化为：

我们知道，一个矢量的定义需要同时规定它的散度和旋度。虽然的旋度已定义等于，而的散度仍可任意选择。若令： 通常称为洛仑兹条件。则式（3）就简化为：

再观察若媒质为理想媒质，则上式可变为：

利用洛仑兹条件式，便得：

其解：波动（达朗伯）方程的解

在体积内分布有时变电流密度时，同理可以得出动态矢量磁位的解为:

在上两式右边的两项中，从数学角度上看，都是达朗伯方程的解，然而物理意义却截然不同。右边第一项说明，空间任意点在时刻的解，并不决定于此刻内场源的分布，而是决定于此刻之前，即时刻场源的分布。相差的秒，正好是源的扰动以速度

传播的距离到达P点所需要的时间，所以第一项被称为滞后位，它表示向方向传播的波。右边第二项则与滞后位恰恰相反，它表示在任意点上时刻的解，决定于时刻之后的场源分布，所以称为超前位。在现实的时空范围内，超前位没有物理意义

正弦电磁场

时谐电磁场的复数形式通常电磁场的任一分量随时间作正弦变化时，其振幅和初相也都是空间坐标的函数。在直角坐标系中电场强度的三个分量为 其中，E*m是振幅，ξ是相位正弦场用复数表示比较方便。例如可以由一个复数的实部导出如下： 其中 称为振幅的复数。注意它的模值和初相都是空间坐标的函数。而电场强度矢量是它的三个分量在空间的合成，即：现采用一个记号表示上面圆括号内之和：称为电场强度的复矢量，或称复振幅。另外，场强对时间的积分和微分用复数表示时可以写成下列形式：场强的旋度和散度，也可用复数表示，例如的旋度用复数表示时为

由于这里复数实部相等意味着复数相等。去掉时间因子，得： 现在，按照相同的方法，得到Maxwell’sEqs的复数表示式：二、正弦电磁场方程的复数形式

由 注意到复数形式的场量均含有项且时空分离，因此有取实部运算的影响微分运算可变换次序且可去掉边界条件，原场量换复数量即可（积分形式和边界条件留作作业）复数运算规则

复数麦克斯韦方程中没有时间因子，这样方程的变量就减少了一个，时间因子已被取代，是角频率，所以得频域问题或频域解。三、积分形式和复数形式边界条件

(课外作业)复数坡印亭定理一般有复矢量

这里 我们关心平均值，而不是瞬时值（仪表检测多为均值）第二项对时间求平均为零，即表示时间平均，四、复数介电常数、磁导率导电媒质其中其中，；也就是说，复电容率的实部就是媒质的电容率，虚部则表示媒质的损耗。虚部的值越大表示媒质的损耗也就越大。理想媒质()的复介电常数等于实部。对于良导体，当频率不太高时，即满足的条件时，复相对介电常数接近于纯虚数

对于一般的媒质，复介电常数是一个复数。这时媒质的本构关系可写成：

与不再同相，而是相差一个相位，即

上式中的称为损耗角。实际上取的媒质为电媒质

(的媒质为理想媒质)；取的媒质为导电媒质或称为有耗媒质；取的媒质为良导体(

的媒质为理想导体)。因此，同一媒质在低频时可能是良导体，而在很高频率时又可能具有有耗媒质的特性。例如，潮湿土地的介电常数和电导率分别大约为和。则 在时，其损耗角正切，使其呈良导体；而在时，，它就变得类似于绝缘体了。准静态电磁场•电准静态场——Electroquasitatic

简写

EQS

磁准静态场——Magnetoquasistatic

简写MQS•任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。

•工程应用（电气设备及其运行、生物电磁场等）电准静态场准静态场（低频）时变电磁场磁准静态场具有静态电磁场的特点

动态场（高频）

似稳场（忽略推迟效应）电磁波电准静态场特点：电场的有源无旋性与静电场相同，称为电准静态场（EQS）。用洛仑兹规范，得到动态位满足的微分方程低频时，忽略二次源的作用，即，电磁场基本方程为特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。磁准静态场

低频时，忽略二次源的作用，即电磁场基本方程为

用库仑规范，得到动态位满足的微分方程5.1电准静态场和磁准静态场

·满足泊松方程，说明EQS和MQS忽略了滞后效应和波动性，属于似稳场。

·EQS和MQS场中，同时存在着电场与磁场，两者相互依存。

·EQS场的电场与静电场满足相同的基本方程，在任一时刻t

，两种电场的分布一致，解题方法相同。EQS的磁场按计算。

·MQS的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时刻t

，两种磁场的分布一致，解题方法相同，MQS的电场按计算。

·

在两种场中满足相同的微分方程，描述不相同的场，为什么？b）（EQS）和（MQS），表明

E不相同。

a）A的散度不同，A

必不相同，

也不相同；EQS与MQS的共性与个性5.2磁准静态场与集总电路在MQS场中，即，故有即集总电路的基尔霍夫电流定律时变场中电容（EQS）电阻（MQS）电感（MQS）电源有即集总电路的基尔霍夫电压定律图5.2.1结点电流图5.2.2环路电压5.3电准静态场与电荷驰豫导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过程称为电荷驰豫。5.3.1电荷在均匀导体中的驰豫过程说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。EQS场中，导体媒质内的电位满足特解之一为设导电媒质均匀，且各向同性，在EQS场中通解为式中为时的电荷分布，(驰豫时间)，说明在EQS场中，导电媒质中自由电荷体密度产生的电位很快衰减至零。

·导电媒质中，以分布的电荷在充电过程中驰豫何方？

·充电后，导电媒质的电位为零吗？5.4集肤效应与邻近效应在正弦电磁场中，，满足的材料称为良导体，良导体中可以忽略位移电流，场为MQS：和在导体中，MQS场中同时存在自由电流和感应电流。靠近轴线处，场量减小；靠近表面处，场量增加，称为集肤效应（skineffect)。在正弦稳态下，电流满足扩散方程（热传导方程）式中以半无限大导体为例，电流沿

y

轴流动，则有通解形式5.4.1集肤效应图5.4.1电流的集肤效应图5.4.2半无限大导体中的电流Jy的分布通解由有由有

·

式中,通常满足,即,不计滞后效应,因此,此电流场属于似稳场。当，有限，故则·

令称为透入深度（Skindepth），d的大小反映电磁场衰减的快慢。当时，幅值

当材料确定后，衰减快电流不均匀分布。当时，幅值d表示电磁场衰减到原来值的36.8%所经过的距离。图5.4.3透入深度

5.4.2邻近效应相互靠近的导体通有交变电流时,会受到邻近导体的影响，这种现象称为邻近效应（Proximateeffect）。频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。图5.4.5单根交流汇流排的电流集肤效应图5.4.6两根交流汇流排的邻近效应5.6导体的交流内阻抗例5.6.1

计算圆柱导体的交流参数（设透入深度）安培环路定律根据有交流参数其中直流或低频交流电流均匀分布高频交流集肤、去磁效应，电流不均匀分布

在MQS场中，设解，无反射，电流不均匀分布图5.6.1圆柱导体

·交流电阻R随的增加而增大由于，故，且随的增加而增大，集肤效应的结果。

·

自感L随的增加而减小由于,故，且随的增加而减小，去磁效应的结果。5.7电磁兼容简介电磁兼容是在有限空间、时间、频谱资源条件下，各种用电设备（生物）可以共存，不致于引起降级的一门科学。即电磁干扰与抗电磁干扰问题。自然干扰源雷电、太阳黑子、磁暴、沙暴、地球磁场等电磁干扰源电力传输系统高压传输线绝缘子的电晕放电；高压传输线中电流与电压的谐波分量；高压传输线之间的邻近效应；电气化铁道、有轨无轨电车上的受电弓与电网线间的放电和电力电子器件整流后的电流谐波分（0.1~150kHz）；

气体放电灯荧光灯、高压汞灯、放电管等产生的放电噪音；静电放电身着化纤衣物、脚穿与地绝缘的鞋子的人运动时，会积通信系统各种无线电广播、电视台、雷达站、通信设备等工作时，都要辐射强能量的电磁波。

核电脉冲继电器接触开断、核磁共振检测……人为干扰源电牵引系统

累一定静电荷，当人接触金属后会放电；抗电磁干扰的两个主要措施：接地、电磁屏蔽。接地保护接地

在金属体（含设备外壳）与大地之间建立低阻抗电路，使雷电、过电流、漏电流等直接引入大地。工作接地

系统内部带电体接参考点（不一定与大地相连），以保证设备、系统内部的电磁兼容。电磁屏蔽磁屏蔽电屏蔽在高频电磁场中，利用电磁波在良导体中很快衰减的原理，选择d小且具有一定厚度的屏蔽材料。在低频或恒定磁场中，利用磁通总是走磁阻小的路径的原理，采用有一定厚度的铁磁材料。在任何频率下，利用金属感应电荷，且通过接地线流入大地的原理，采用金属屏蔽材料，且接地。若是静电场，可实现全屏蔽；若允许磁场存在，金属选非磁性的。屏蔽

屏蔽的谐振现象：当电磁波频率与屏蔽体固有频率相等时，发生谐振，使屏蔽效能急剧下降，甚至于加强原电磁场。静电屏蔽效能静磁屏蔽效能屏蔽效能用分贝表示（E0，H0

表示无屏蔽时的场量）

试证明在MQS场中，满足和证明：在MQS场中证明：在