高考数学(文科)试题及答案

高考数学（文）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝Z，集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，3}，则(∁UM)∩N＝（A）{－1}（B）{3}（C）{0，1}（D）{－1，3}2．下列命题中的假命题是（A）∀x＞0且x≠1，都有x＋eq\f(1,x)＞2（B）∀a∈R，直线ax＋y－a＝0恒过定点（1，0）（C）∃m∈R，使f(x)＝(m－1)xmeq\o\al(2,)－4m＋3是幂函数（D）∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数3．在等差数列{an}中，已知公差d＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则a2＝（A）－4（B）－6（C）－8（D）－104．函数y＝eq\f(1,eq\r(,2－x))＋eq\r(,lgx)的定义域是（A）（0，2]（B）（0，2）（C）（1，2）（D）[1，2）5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4，x≤1，,x2－4x＋3，x＞1。))则函数y＝f(x)－log2x的零点的个数是（A）4（B）3（C）2（D）16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（A）4（B）6（C）8（D）127．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)＝（A）－eq\f(1,2)（B）－1（C）－eq\f(eq\r(,3),2)（D）－eq\r(,3)8．设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、y、z满足xeq\o(\s\up7(→),OA)＋yeq\o(\s\up7(→),OB)＋zeq\o(\s\up7(→),OC)＝0（x2＋y2＋z2≠0），则“xyz＝0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件9．已知直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，且|Ax1＋By1＋C|＜|Ax2＋By2＋C|，则直线l（A）与直线P1P2不相交（B）与线段P2P1的延长线相交（C）与线段P1P2的延长线相交（D）与线段P1P2相交10．已知圆M：x2＋y2－8x－6y＝0，过圆M内定点P（1，2）作两条相互垂直的弦AC和BD，则四边形ABCD面积的最大值为（A）20eq\r(,15)（B）16eq\r(,6)（C）5eq\r(,15)（D）4012345678910填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．若复数z满足(2－i)z＝1＋i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标为．12．设F1、F2是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1的两焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于．13．已知某程序框图如图所示，若分别输入的x的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y的值分别为a，b，c，则a＋b＋c＝．14．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1、s2、s3，则它们的大小关系为．（用“＞”连接）15．若不等式x2－kx＋k－1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．16．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S-ABC的体积为．17．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)，这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c－a）是（b－c）和（b－a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝60°，cos(B＋C)＝－eq\f(11,14)．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a＝5，求△ABC的面积．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD＝eq\r(,2)，CD＝4，AD＝eq\r(,3)．（Ⅰ）若∠ADE＝eq\f(π,6)，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为eq\f(2eq\r(,21),7)时，求三棱锥A-PDE的侧面积．20．（本小题满分13分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率（3.9，4.2]30.06（4.2，4.5]60.12（4.5，4.8]25x（4.8，5.1]yz（5.1，5.4]20.04合计n1.00（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．21．（本小题满分14分）设a∈R，函数f(x)＝lnx－ax．（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1＝eq\r(,e)（e为自然对数的底数）和x2是函数f(x)的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞e．22．（本小题满分14分）已知椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）的离心率为eq\f(2,3)，半焦距为c（c＞0），且a－c＝1．经过椭圆的左焦点F，斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）当k1＝1时，求S△AOB的值；（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：eq\f(k1,k2)为定值．参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分．1．B2．D3．B4．D5．B6．A7．B8．C9．B10．D二、填空题：每小题5分，满分35分．11．（eq\f(1,5)，eq\f(3,5)）12．1713．614．s1＞s2＞s315．（－∞，2]16．eq\f(4eq\r(,3),3)17．eq\f(eq\r(,5)－1,2)三、解答题：本大题共5小题，共65分．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos(B＋C)＝－eq\f(11,14)，得sin(B＋C)＝eq\r(,1－cos2(B＋C))＝eq\r(,1－(－eq\f(11,14))2)＝eq\f(5eq\r(,3),14)，∴cosC＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C)cosB＋sin(B＋C)sinB＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,2)＋eq\f(5eq\r(,3),14)×eq\f(eq\r(,3),2)＝eq\f(1,7)．…………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得sinC＝eq\r(,1－cos2C)＝eq\r(,1－(eq\f(1,7))2)＝eq\f(4eq\r(,3),7)，sinA＝sin(B＋C)＝eq\f(5eq\r(,3),14)．在△中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(5,eq\f(5eq\r(,3),14))＝eq\f(c,eq\f(4eq\r(,3),7))，∴c＝8，故△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×5×8×eq\f(eq\r(,3),2)＝10eq\r(,3)．…（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD＝eq\r(,3)，∠ADE＝eq\f(π,6)，∴AE＝AD·tan∠ADE＝eq\r(,3)·eq\f(eq\r(,3),3)＝1．又AB＝CD＝4，∴BE＝3．在Rt△EBC中，BC＝AD＝eq\r(,3)，∴tan∠CEB＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(eq\r(,3),3)，∴∠CEB＝eq\f(π,6)．又∠AED＝eq\f(π,3)，∴∠DEC＝eq\f(π,2)，即CE⊥DE．∵PD⊥底面ABCD，CE底面ABCD，∴PD⊥CE．∴CE⊥平面PDE．……………（6分）（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF＝eq\f(2eq\r(,21),7)．在Rt△DAE中，由AD·AE＝AF·DE，得eq\r(,3)AE＝eq\f(2eq\r(,21),7)·eq\r(,3＋AE2)，解得AE＝2．∴S△APD＝eq\f(1,2)PD·AD＝eq\f(1,2)×eq\r(,2)×eq\r(,3)＝eq\f(eq\r(,6),2)，S△ADE＝eq\f(1,2)AD·AE＝eq\f(1,2)×eq\r(,3)×2＝eq\r(,3)，∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，∵PA平面PAD，∴BA⊥PA．在Rt△PAE中，AE＝2，PA＝eq\r(,PD2＋AD2)＝eq\r(,2＋3)＝eq\r(,5)，∴S△APE＝eq\f(1,2)PA·AE＝eq\f(1,2)×eq\r(,5)×2＝eq\r(,5)．∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧＝eq\f(eq\r(,6),2)＋eq\r(,3)＋eq\r(,5)．…………（12分）20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n，由eq\f(2,n)＝0.04，得n＝50．∴x＝eq\f(25,50)＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝eq\f(y,n)＝eq\f(14,50)＝0.28．……………（6分）（Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c，在（5.1，5.4]的2人为d，e．由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10种．设事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的可能的结果有：{a，b}，{a，c}，{b，c}，{d，e}，共4种∴P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为eq\f(2,5)．…………（13分）21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（0，＋∞）．求导数，得f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)．=1\*GB3①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)是（0，＋∞）上的增函数，无极值；=2\*GB3②若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a)．当x∈（0，eq\f(1,a)）时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈（eq\f(1,a)，＋∞）时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．∴当x＝eq\f(1,a)时，f(x)有极大值，极大值为f(eq\f(1,a))＝lneq\f(1,a)－1＝－lna－1．综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a＞0时，f(x)的递增区间为（0，eq\f(1,a)），递减区间为（eq\f(1,a)，＋∞），极大值为－lna－1．…（8分）（Ⅱ）∵x1＝eq\r(,e)是函数f(x)的零点，∴f(eq\r(,e))＝0，即eq\f(1,2)－aeq\r(,e)＝0，解得a＝eq\f(1,2eq\r(,e))＝eq\f(eq\r(,e),2e)．∴f(x)＝lnx－eq\f(1,2eq\r(,e))x．∵f(e)＝eq\f(3,2)－eq\f(e,2)＞0，f(e)＝eq\f(5,2)－eq\f(e2,2)＜0，∴f(e)f(e)＜0．由（Ⅰ）知，函数f(x)在（2eq\r(,e)，＋∞）上单调递减，∴函数f(x)在区间（e，e）上有唯一零点，因此x2＞e．………………（14分）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，,a－c＝1。))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,c＝2。))∴b2＝a2－c2＝5，故椭圆Γ的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1．………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（－2，0），∴直线AB的方程为y＝x＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1．))消去y并整理，得14x2＋36x－9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－eq\f(18,7)，x1x2＝－eq\f(9,14)，∴|AB|＝eq\r(,2)|x1－x2|＝eq\r(,2)·eq\r(,(x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\f(30,7)．设O点到直线AB的距离为d，则d＝eq\f(|0－0＋2|,eq\r(,2))＝eq\r(,2)．∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(30,7)×eq\r(,2)＝eq\f(15eq\r(,2),7)．…………………（8分）（Ⅲ）设C（x3，y3），D（x4，y4），由已知，直线AR的方程为y＝eq\f(y1,x1－1)(x－1)，即x＝eq\f(x1－1,y1)y＋1．由eq