微积分基本定理教案

第五章 定积分及其应用第三节微积分基本定理教学基本信息教学课题第三节 微积分基本定理教学重点微积分基本公式教学难点变上限积分函数及导数1.变上限积分函数的定义.教学内容2.变上限积分函数的导数.3.微积分基本定理.

教学时间 45分钟教学对象高职高专学生教学要求双语教学

理解变上限积分函数定义及其导数；熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式的应用.微积分：Calculus; 变上限积分函数：Integrationofvariableupperlimitfunction；导数Derivative；牛顿－莱布尼兹:Newton-Leibniz.教学过程一、复习定积分的定义3．定积分的性质二、引入新课ysinxx[0,花带中飞行，求蝴蝶活动的区域面积？

备注引入问兴趣,学法1：蝴蝶活动的区域面积如何表示？学生回答Ssinxdx0问题2：能否用定积分的定义求出积分值？学生回答：不能。因为在求积分和时不易计算。们将给出求定积分的一种简单方法。三、探究感性认识变上限积分函数92 第1页共5页例如1dx0

2dx2 3dx0 0

…下限是一常数,给出一个上限x,通过求对应的定积分.有唯一确定的一个积分值y与之对应.yxtdt 是一个0x为自变量的函数。1、变上限积分函数的定义定义1：设f(x)为区间[a,b]上的连续函数,任取x[a,b]都有唯一确定的定积分xf(x)dx(a a

f(t)dt)与之对应.这种对应满足函数的定义.因此,它是定义在区间[a,b]上的函数.记为:(x)a

f(t)dty(x)o a x xb（其几何意义如图）形如(x)a

f(t)dt形式的函数称为变上限积分函数。

提问学例1 判断下列函数是否为变上限积分函数(x)xetdt(x)aetdt(x)xcosxdt(x)2xcosxdtaxaa(提问学生，询问原因)通过例题讲解.使学生进一步体会变上限积分函数的特征:下限是一常数,上限只有一个自变量x.同时,这是一类函数.这类函数如同其它函数一样,可以计算求其定义域,值域…在这我们根据需要,只学习它的一条性质---导数.从而引出2、变上限积分函数的导数

生，询问原因1如果f()[a,b]上连续，则变上限积分函数(x)xa

f(t)dt[ab],且(x)

ddx a

f(t)dtf(x)，x[a,b]对于定理的证明不要求掌握. 提问学例2 求下列函数的导数 生询问(x)xetdt (2)(x)0arctantdt 原因a x (提问学生，询问原因) 据学生92 1310291 第2页共5页解:)（(xetdt)exa（(xarctantdt)arctanx0xarctantdt例3计算lim0 的值x0 x2

结答案问题驱（加深理解解

xarctan0

arctanx1x0 x

x0 2x 2该题进一步深化对变上限积分函数是一类函数的理解.同时加深了变上限积分函数的性质的应用.定理2（原函数存在定理）如果f(x)[a,b]上连续，则函数(x)a

f(t)dt是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.定理的重要意义：肯定了连续函数的原函数是存在的.初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.3、微积分基本定理如果F(x)是连续函数f(x) 在区间[a,b]上的一个原函数。则bf(xdxFb)F(a)a证 已知F(x)是f(x)的一个原函数， (x)a

f(t)dt也是f(x)的一个原函数,则F(x)a

f(t)dtC,x[a,b]xa则F(a)

ftdtC,则F(a)C,即F(x)x

f(t)dtC,x[a,b]a axb则Fb)

ftdtF(a),即

f(t)dtF(b)f(a),x[a,b]a a注意条件：f(x)在[a,b]上连续.例4求定积分1 1 dx

例4的解:1

11x21dxarctanx 1

arctan1

选取主要熟悉11x2例5 求定积分0

2 公式2x4dx解:

2x4dx

2(2x4)dx5(2x4)dx(x24x)

2(x

4x)

549130 0 2 0 26求11dx2 x92 1310291 第3页共5页解2

dxlnx1x1

1 ln1ln2ln22

提问学问计算定积分1

dx,能用牛顿莱布尼兹公式吗?1x1

对本节开始引例的解答 重视一蝴蝶在一正弦形ysinx,x[0,]花带中飞行，求蝴蝶活动的区域面积？解:面积Asinxdxcosx2.0 0学生解答四、课堂练习（分组练习,教师答疑）、设(x)xetdt求(2)0解: (x)ex(2)e2练习法（巩固知识）y 2xcostdt求ya解: ycos2x(2x)2cos2x求f(x)xt)dt.a解: 定义域Rf(x)x1x1时,f(x)0x,f(x)0,.1 1 x,f(x)0,1 1 f(t[ t2t]10 2 0 2为函数的极小值.五、课堂小结本节通过几个例子的讲解,轻而易举推出变上限积分函数的概念;学习了变上限积分函数的导数.在此基础上推出了微积分基本公式.(x)a

f(t)dt92 1310291 第4页共5页(x)f(x)a