自主招生试题分类汇编04-三角函数

历年自主招生试题分类汇编——三角函数7.（2014年北约）证明是无理数.【证明】由三角公式,若是有理数,则为有理数,再由和可得为有理数,这与为无理数矛盾!因此,是无理数.法二：设，则，这与矛盾．9．（2013年北约）对于任意的，求的值．解析，，，，各式相加，得．题7（2012年北约）求使得在上有唯一解的。解：设∵∴关于直线对称故在上有唯一解，只能或当时，，此时在上不是唯一解，舍去当时，，此时∵时，∴且，得为唯一解∴评析：本题要求掌握函数对称性与三角函数知识，考查学生知识应用的迁移能力。4.（2011年北约）在中,,求证:.【解】由正弦定理知,又因为,所以,,又因为时,所以(当时取等号),而所以即.1．（2010年北约），求证：．不妨设，则，且当时，．于是在上单调增．∴．即有．同理可证．，当时，．于是在上单调增。∴在上有。即。注记：也可用三角函数线的方法求解．5．（2010年北约）存不存在，使得为等差数列．（25分）不存在；否则有，则或者．若，有．而此时不成等差数列；若，有．解得有．而，矛盾！3.（2014年华约）函数的最大值为1,最小值为,求的值.【解】易知,令,则问题等价于在上的最大值和最小值分别为1和.①当对称轴,即时,则在上递减,则,解得②当对称轴,即时,则,消去得,解得,舍去.综上①②可知,为所求.2.（2013年华约）,,求与的值【解】由……①,……②,平方相加得;另一方面由①可得……③由②式可得……④,由③/④式得,也所以即求.（1）（2012年华约）在锐角中，已知,则的取值范围为（）(A)(B)(C)(D)解：由于因为是锐角三角形所以。选A.（8）（2012年华约）如图，在锐角中，边上的高与边上的高交于点。以为直径作圆与的另一个交点为。已知，，，则的长为（）(A)(B)(C)10(D)解答:连接DF，则有DF垂直AC,由已知条件有cosB=,cosC=,所以sinB=,sinC=，于是sinA=sin(B-C)=sinBcosC+sinccosB==sinB.因此∠A=∠B,即△ABC为等腰三角形，于是由CD垂直可得AC=25,AD=DB=15,AE=AC-CE=25-7=18.又因为∠CDB=∠CEB=，所以B,C,D，E四点共圆，∠ABC=∠BAE,因此△ADE为等腰三角形，所以，DF垂直AC知，AF=FE==9（11）（2012年华约）在中，的对边分别为。已知（1）求的大小（2）若，求的值.解：（1）（2）4、（2011年华约）若的最小值和最大值分别为()[分析]首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。解：，可见答案是B11、（2011年华约）已知不是直角三形.（I）证明：；（II）若，且的倒数成等差数列.求的值.解：（I），整理得（II）由已知，与（I）比较知。又，，，而，，代入得，，，5．（2010年华约）在中，三边长，满足，则的值为（C）（A）（B）（C）（D）11．（2010年华约）在中，已知，外接圆半径．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求面积的最大值．解：（Ⅰ）由得所以即，因为为内角，所以，，（Ⅱ）又由余弦定理得，即又，所以有，当且仅当即为等边三角形时，的面积取得最大值8.（2014年卓越联盟）已知(1)已知,求最大值;(2)若求的值.【解】(1)易知,,由于,其中,所以当,即时,,又在上递减,所以,当时取到最大值.综上可知当时,.(2)由,且,现在已知,则等价于,解得.（2013年卓越联盟）已知函数（，）的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变B．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变C．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变答案:B．（2013年卓越联盟）设函数．若、，且，则A． B． C． D．答案:（文科）D．（2013年卓越联盟）在中，三个内角、、所对的边分别为、、．已知．⑴求角的大小；⑵求的最大值．答案:⑴（本小问6分）于是，解得⑵（本小问7分）由⑴得，，所以，所以当时，取到最大值．（2）（2012年卓越联盟）函数的值域为。【解答】令函数的值域为.（3）（2012年卓越联盟）设，，，，则，的大小关系为__________。【解答】根据条件知，因为，所以为递减函数，所以，于是.（6）（2012年卓越联盟）设函数，其中，，若在常数，使对任意有，则可取到的最小值为。【解答】先证明：根据条件，所以，若，则，然而对于任意，当时，的值域是，矛盾；若，则，然而对于任意，当时，的值域是，或矛盾.所以，又,所以.从而，所以是的一个周期，所以，当显然满足条件，所以可取到的最小值为(2)（2011年卓越联盟）已知sin2(+)=nsin2，则等于(D)(A) (B) (C) (D)(12)（2011年卓越联盟）在△ABC中，AB=2AC，AD是A