垂直平分线角平分线综合应用

垂直均分线角均分线综合应用一．解答题（共30小题）1．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．2．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM均分∠BAD，DM均分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．3．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么地点时，DE=DF？并加以证明．4．如图，∠B=∠C=90°，DE均分∠ADC，AE均分∠DAB，求证：E是BC的中点．5．如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD均分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．6．如图，AD为∠BAC的均分线，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，试说明：BE=CF．7．如图，AD是△ABC的角均分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长．8．如图，∠ABC=60°，点D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：（1）∠ABD的度数；（2）DB的长度．9．如图．已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的均分线交CD于点E，且点E是CD的中点．问：（1）点E在∠ABC的均分线上吗？（2）AD+BC与AB的大小关系如何？请证明．10．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE均分∠ADC．（1）求证：AE均分∠BAD；（2）判断AB、CD、AD之间的数目关系，并证明；（3）若AD=10，CB=8，求S△ADE．11．如图，BD均分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE均分∠ABC，交AC于E，DE垂直均分AB于D，求证：BE+DE=AC．13．已知：如图，AD是△ABC的角均分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直均分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．15．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直均分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN订交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．16．如图，△ABC中，BD均分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF．（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；（2）若BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．17．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直均分AB、AC．（1）求∠PAQ的度数；（2）假如BC=10cm，求△APQ的周长．18．电信部门要修筑一座电视信号发射塔P，依据设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离一定相等，到两条高速公路m和n的距离也一定相等．请在图中作出发射塔P的地点．（尺规作图，不写作法，保留作图印迹）19．如图：DE是△ABC中AC边的垂直均分线，若BC=8米，AB=10厘米，求△EBC的周长．20．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）说明：DC=BE；（2）若∠AEC=72°，求∠BCE的度数．21．以下图，MP和NQ分别垂直均分AB和AC．（1）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数；（2）若∠PAQ=25°，求∠BAC的度数．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB均分∠EAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连结AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直均分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．（1）求证：点O在AB的垂直均分线上；（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．25．如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延伸线交BC于点N，直线BD与直线NE订交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）假如你经历频频研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求起码写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程以后，能够从以下①、②中选用一个增补或许改换已知条件，达成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，而后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附带题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其余条件不变，试判断△DEF的形状，并说明原因．26．如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你研究线段DE与AM之间的关系．说明：（1）假如你经历频频研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求起码写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程以后，能够从以下①、②中选用一个增补或改换已知条件，达成你的证明．①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②∠BAC=90°（如图）附带题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其余条件不变，尝试究线段DE与AM之间的关系．27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答以下问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为什么值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？（3）当t为什么值时PQ∥BC？28．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为什么值时，CP把△ABC的周长分红相等的两部分．（2）当t为什么值时，CP把△ABC的面积分红相等的两部分，并求出此时CP的长；（3）当t为什么值时，△BCP为等腰三角形？29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t=1时，求△ACP的面积．（2）t为什么值时，线段AP是∠CAB的均分线？（3）请利用备用图2持续研究：当t为什么值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论）30．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的均分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：（1）图中等腰三角形是．猜想：EF与BE、CF之间的关系是（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是．在第（1）问中

．原因：EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图③，若△

ABC中∠B的均分线

BO与三角形外角均分线

CO交于

O，过

O点作

OE∥BC交AB于E，交

AC于

F．这时图中还有等腰三角形吗？

EF与

BE、CF关系又如何？说明你的原因．垂直均分线

角均分线综合应用

_2017

年

03月

11日的初中数学组卷参照答案与试题分析一．解答题（共30小题）1．（2016?海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．【剖析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，依据角均分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，经过证明△AEH≌△CFG即可．【解答】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角均分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【评论】本题考察了角均分线的性质；综合利用了角均分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判断等知识点．2．（2016秋?宁江区期末）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM均分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．【剖析】（1）依据平行线的性质获得∠BAD+∠ADC=180°，依据角均分线的定义获得∠MAD+∠ADM=90°，依据垂直的定义获得答案；（2）作NM⊥AD，依据角均分线的性质获得BM=MN，MN=CM，等量代换获得答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM均分∠BAD，DM均分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM均分∠BAD，DM均分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．【评论】本题考察的是角均分线的性质，掌握平行线的性质和角的均分线上的点到角的两边的距离相等是解题的重点．3．（2016春?济南校级期末）已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么地点时，DE=DF？并加以证明．【剖析】当D为AB的中点时，AD为等腰三角形底边上的中线，依据等腰三角形的

“三线合一”可知

AD为∠A的均分线，又DE⊥AB，DF⊥AC，依据角均分线的性质可证DE=DF．【解答】解：当D为BC的中点时，DE=DF．原因：∵AD为等腰三角形底边上的中线，∴AD均分∠BAC，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．【评论】本题考察了等腰三角形的性质，角均分线性质．重点是运用等腰三角形的

“三线合一”解题．4．（2016春?沭阳县期末）如图，∠B=∠C=90°，DE均分∠ADC，AE均分∠DAB，求证：E是BC的中点．【剖析】过点E作EF⊥AD，依据角均分线上的点到角的两边距离相等马上获得结论．【解答】证明：过点E作EF⊥AD于F，∵∠B=∠C=90°，∴CD⊥BC，AB⊥BC，∵DE均分∠ADC，AE均分∠DAB，∴CE=DF，EF=BE，∴CE=BE，∴E是BC的中点．【评论】本题考察了角均分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出协助线是解题的重点．5．（2016春?潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD均分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【剖析】利用角均分线的性质求得AE=AC，CD=DE，而后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【解答】解：∵∠C=90°，AD均分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，∴AC=AE，CD=DE，AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD=BE+AC=AB=6cm．【评论】本题考察了三角形的全等的性质；解题的重点是利用角均分线的性质求得AE=AC，CD=DE，要学会进行线段的等效转移．6．（2016秋?监利县校级期中）如图，AD为∠BAC的均分线，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，试说明：BE=CF．【剖析】先由角均分线的性质就能够得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就能够求出结论．【解答】解：∵∠B=90°，∴BD⊥AB．∵AD为∠BAC的均分线，且DF⊥AC，∴DB=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，，Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE=CF．【评论】本题考察了角均分线的性质的运用，全等三角形的判断与性质的运用，解答时证明三角形全等是重点．7．（2016秋?红安县期中）如图，AD是△ABC的角均分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长．【剖析】依据角均分线性质求出DF，依据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．【解答】解：∵AD是△ABC的角均分线，DE⊥AB，DF⊥AC于点F，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，∵△ABC的面积为7，∴△ADC的面积为7﹣4=3，AC×DF=3，AC×2=3，∴AC=3．【评论】本题考察的是角均分线的性质，熟知角的均分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的重点．8．（2016春?毕节市校级期中）如图，∠ABC=60°，点D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：（1）∠ABD的度数；（2）DB的长度．【剖析】（1）依据DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，即可得出点D在∠ABC的角均分线上，由∠ABC=60°，即可得出∠ABD=30°；（2）依据在直角三角形中，含30°角的直角边等于斜边的一半，即可得出DB的长．【解答】解：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，∴DB均分∠ABC，即∠ABD=∠ABC=×60°=30°；（2）在直角三角形BFD中，∵∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∴DE=5，∴BD=2DE=12．【评论】本题考察了角均分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，含30°角的直角边等于斜边的一半．9．（2016秋?东胜区校级月考）如图．已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的均分线交CD于点E，且点E是CD的中点．问：（1）点E在∠ABC的均分线上吗？（2）AD+BC与AB的大小关系如何？请证明．【剖析】（1）连结BE，作EH⊥AB于H，如图，利用角均分线的性质得

ED=EH，而

ED=EC，则

EC=EH，而后依据角均分线的判断方法即可获得BE均分∠ABC；（2）利用“HL可”证明Rt△ADE≌Rt△AHE获得AD=AH，相同可证明Rt△BCE≌Rt△BHE获得BC=BH，于是有AD+BC=AH+BH=AB．【解答】解：（1）连结BE，作EH⊥AB于H，如图，∵AE均分∠BAD，ED⊥AD，EH⊥AB，∴ED=EH，∵点E是CD的中点，∴ED=EC，∴EC=EH，而AD∥BC，DC⊥AD，∴EC⊥BC，∴BE均分∠ABC，即点E在∠ABC的均分线上；（2）AD+BC=AB．原因以下：在Rt△ADE和Rt△AHE中，Rt△ADE≌Rt△AHE，AD=AH，相同可证明Rt△BCE≌Rt△BHE，BC=BH，AD+BC=AH+BH=AB．【评论】本题考察了角均分线：角的均分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的角均分线上．也考察了全等三角形的判断与性质．10．（2016秋?襄城区月考）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE均分∠ADC．（1）求证：AE均分∠BAD；（2）判断AB、CD、AD之间的数目关系，并证明；（3）若AD=10，CB=8，求S△ADE．【剖析】（1）过点依据等量代换可得

E作EF⊥DA于点F，第一依据角的均分线上的点到角的两边的距离相等可得BE=EF，再依据角均分线的判断可得AE均分∠BAD；

CE=EF，（2）第一证明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代换可得结论；（3）依据角均分线的性质可得EF=CE，再利用三角形的面积公式可得答案．【解答】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，∵∠C=90°，DE均分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE均分∠BAD．（2）证明：AD=CD+AD，∵∠C=∠DFE=90°，∴在Rt△DFE和Rt△DCE中

，∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），∴DC=DF，同理AF=AB，∵AD=AF+DF，∴AD=CD+AD；（3）解：∵CB=8，E是BC的中点，∴CE=4，∴EF=4，∵AD=10，∴S△ADE=10×4×=20．【评论】本题主要考察了角均分线的性质和判断，以及全等三角形的性质和判断，重点是掌握角均分线的性质和判断定理．11．（2016秋?黄冈校级月考）如图，BD均分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．【剖析】依据角均分线性质得出DE=DF，依据三角形的面积公式得出对于DE的方程，求出即可．【解答】解：∵BD均分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，∴×6×DE+×8×DF=28，∴DE=DF=4．【评论】本题考察了角均分线定义的应用，能依据角均分线性质得出DE=DF是解本题的重点．12．（2016?历下区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE均分∠ABC，交AC于E，DE垂直均分AB于D，求证：BE+DE=AC．【剖析】依据角均分线性质得出CE=DE，依据线段垂直均分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE均分∠ABC，∴CE=DE，∵DE垂直均分AB，∴AE=BE，∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC．【评论】本题考察了角均分线性质和线段垂直均分线性质的应用，注意：线段垂直均分线上的点到线段两个端点的距离相等．13．（2016?萧山区二模）已知：如图，AD是△ABC的角均分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．【剖析】由AD是△ABC的角均分线，DE⊥AB，DF⊥AC，依据角均分线的性质，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，既而证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得∠B=∠C，证得AB=AC，而后由三线合一，证得AD是BC的中垂线．【解答】证明：∵AD是△ABC的角均分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，Rt△BED≌Rt△CFD（SAS），∴∠B=∠C，AB=AC，∵AD是△ABC的角均分线，AD是BC的中垂线．【评论】本题考察了等腰三角形的性质与判断以及全等三角形的判断与性质．注意掌握三线合一性质的应用．14．（2016?怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直均分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．【剖析】依据线段垂直均分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵DE是线段AB的垂直均分线，∴AE=BE，∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°，∴∠AED+∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED．【评论】本题考察的是线段垂直均分线的性质，熟知线段垂直均分线上随意一点，到线段两头点的距离相等是解答本题的重点．15．（2016秋?农安县期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直均分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN订交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【剖析】（1）依据线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，而后求出△CMN的周长=AB；（2）依据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，依据等边平等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，而后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直均分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【评论】本题考察了线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等的性质，等边平等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的重点．16．（2016春?雁塔区校级期末）如图，△ABC中，BD均分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF．（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；（2）若BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．【剖析】（1）依据线段垂直均分线的性质获得FB=FC，依据角均分线的定义获得∠CBA=48°，依据三角形内角和定理计算即可；（2）依据三角形的面积公式求出DG，依据角均分线的性质解答即可．【解答】解：（1）∵BD均分∠ABC，∴∠CBA=2∠CBD=2∠ABD=48°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°，∵EF是BC的中垂线，∴FB=FC，∴∠FCB=∠FBC=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°；（2）作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，∵BD均分∠ABC，DG⊥BC，DH⊥AB，∴DH=DG，∵BF：FD=5：3，S△BCF=10，∴S△DCF=6，∴S△BCD=16，∴DG=，∴DH=DG=，即点D到AB的距离为．【评论】本题考察的是线段垂直均分线的性质、角均分线的性质，掌握段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等、角的均分线上的点到角的两边的距离相等是今日的重点．17．（2016春?东明县期中）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直均分AB、AC．（1）求∠PAQ的度数；（2）假如BC=10cm，求△APQ的周长．【剖析】（1）依据线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等可得PA=PB，再依据等边平等角的性质可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，而后依据三角形的内角和定理求出∠B+∠C=60°，而后进行计算即可得解；（2）求出△APQ的周长=BC，而后辈入数据即可得解．【解答】解：（1）∵PM垂直均分AB，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，同理，QA=QC，∴∠QAC=∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=120°﹣60°=60°；（2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ的周长为10cm．【评论】本题考察了线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等的性质，等边平等角的性质，熟记性质熟记解题的重点．18．（2016秋?西市里校级期中）电信部门要修筑一座电视信号发射塔P，依据设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离一定相等，到两条高速公路m和n的距离也一定相等．请在图中作出发射塔P的地点．（尺规作图，不写作法，保存作图印迹）【剖析】依据题意，P点既在线段AB的垂直均分线上，又在两条公路所夹角的均分线上．故两线交点即为发射塔P的地点．【解答】解：设两条公路订交于O点．P为线段AB的垂直均分线与∠MON的均分线交点或是与∠QON的均分线交点即为发射塔的地点．如图，知足条件的点有两个，即P、P′．【评论】本题考察了线段的垂直均分线和角的均分线的性质，属基本作图题．19．（2016秋?鹤庆县校级期中）如图：DE是△ABC中AC边的垂直均分线，若BC=8米，AB=10厘米，求△EBC的周长．【剖析】依据线段垂直均分线的性质获得EA=EC，依据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直均分线，∴EA=EC，∴△EBC的周长=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=18cm，答：△EBC的周长为18cm．【评论】本题考察的是线段垂直均分线的性质，掌握线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的重点．20．（2016秋?盐都区期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）说明：DC=BE；（2）若∠AEC=72°，求∠BCE的度数．【剖析】（1）由G是CE的中点，DG⊥CE获得DG是CE的垂直均分线，依据线段垂直均分线的性质获得DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半获得DE=BE=AB，即可获得DC=BE；（2）由DE=DC获得∠DEC=∠BCE，由DE=BE获得∠B=∠EDB，依据三角形外角性质获得∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此依据外角的性质来求∠BCE的度数．【解答】解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直均分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=BE=AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE，∴∠AEC=3∠BCE=72°，则∠BCE=24°．【评论】本题考察了线段垂直均分线的性质：线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等．也考察了直角三角形斜边上的中线性质．21．（2016秋?和平区期中）以下图，MP和NQ分别垂直均分AB和AC．（1）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数；（2）若∠PAQ=25°，求∠BAC的度数．【剖析】（1）先依据三角形内角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=75°，再依据线段垂直均分线的性质∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC=75°，便不难求出∠PAQ的度数为30°；（2）依据线段垂直均分线的性质，得AP=BP，AQ=CQ，则∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，则∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C；依据三角形的内角和定理，得∠APQ+∠AQP=180°﹣∠PAQ=150°，则∠B+∠C=75°，从而求解．【解答】解：（1）∵∠BAC=105°，∴∠ABP+∠ACQ=180°﹣105°=75°，∵MP、NQ分别垂直均分AB和AC，∴PB=PA，QC=QA．∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=75°，∴∠PAQ=105°﹣75°=30°；（2）∵MP和NQ分别垂直均分AB和AC，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，∴∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C．∵∠PAQ=25°，∴∠APQ+∠AQP=180°﹣∠PAQ=155°，∴∠B+∠C=77.5°．∴∠BAC=∠B+∠C+∠PAQ=77.5°+25°=102.5°．【评论】本题综合运用了线段垂直均分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．22．（2016?西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB均分∠EAD．【剖析】依据等腰三角形的性质获得BD=BC，AD⊥BC依据角均分线的判断定理即可获得结论．．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB均分∠EAD．【评论】本题考察了等腰三角形的性质，角均分线的性质，娴熟掌握等腰三角形的性质是解题的重点．23．（2016?黄冈模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连结AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．【剖析】依据等腰三角形的性质获得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，依据等腰三角形的判断定理获得∠CAD=∠ADE．依据余角的性质获得∠BAD=∠BDF，等量代换即可获得结论．【解答】证明：∵AB=AC，AD是△ABC点的中线，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=AE=EC，∴∠CAD=∠ADE．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°．∵DF⊥AB，∴∠B+∠BDF=90°，∴∠BAD=∠BDF，∴∠BDF=∠CAD，∴∠BDF=∠ADE．【评论】本题考察了等腰直角三角形的性质，余角的性质，娴熟掌握等腰三角形的性质是解题的重点．24．（2016春?西藏校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直均分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．（1）求证：点O在AB的垂直均分线上；（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．【剖析】（1）依据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，依据垂直均分线的性质可得BO=AO，依此即可证明点O在AB的垂直均分线上；（2）依据等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，再依据垂直的定义，等腰三角形的性质和角的和差应选即可获得∠BOF的度数．【解答】（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵AD是BC的垂直均分线，∴BO=CO，∵OE是AC的垂直均分线，∴AO=CO，∴BO=AO，∴点O在AB的垂直均分线上；（2）解：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD均分∠BAC，∵∠CAD=20°，∴∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，∵OE⊥AC，∴∠EFA=90°﹣40°=50°，∵AO=CO，∴∠OBA=∠BAD=20°，∴∠BOF=∠EFA﹣∠OBA=50°﹣20°=30°．【评论】考察了等腰三角形的性质，线段垂直均分线的性质，重点是娴熟掌握等腰三角形三线合一的性质．25．（2006?大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延伸线交BC于点N，直线BD与直线NE订交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）假如你经历频频研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求起码写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程以后，能够从以下①、②中选用一个增补或许改换已知条件，达成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，而后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附带题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其余条件不变，试判断△DEF的形状，并说明原因．【剖析】（1）要证DF=EF，就要证出∠FDE=∠FED，也就是∠BDA=∠NEC，察看这两个角，不可以直接用角的大小关系或全等来得出相等，那么可经过建立全等三角形来得出一个和两个分别相等的中间值，以此来证出两角相等，那么可过C作CP⊥AC，那么我们可经过证三角形ABD和APC全等来得出∠ADB=∠ACP，经过证三角形CPN和CEN全等来得出∠MEC=∠NPC．先看第一对三角形，已知的条件有AB=AD，一组直角，而∠ABD和∠PAC都是∠ADB的余角，所以∠ABD=∠PAD，那么两三角形就全等，可得出AC=PC=CE，∠ADB=∠NPC，又知道了∠NCE=∠PCN=45°，一条公共边CN，那么后边的一对三角形也全等，就能得出∠ADB=∠MEC=∠NPC，也就能得出∠FDE=∠FED了由此可得证．（2）解题思路和（1）相同，也是先证三角形ABD和APC全等，后证三角形CPN和CEN全等，来得出结论．【解答】解：△DEF是等腰三角形证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延伸线于点PRt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠ADB=∠P∵AD=CE∴CE=CP∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠CEN∴∠CEN=∠ADB∴∠FDE=∠FED∴△DEF是等腰三角形．附带题：△DEF为等腰三角形证明：过点C作CP⊥AC，交AM的延伸线于点PRt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB=∠ECN∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠D=∠P∵AD=EC，CE=CP又∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠E∴∠D=∠E∴△DEF为等腰三角形．【评论】本题主要考察了等腰三角形的判断和全等三角形的判断与性质；经过已知和所求条件正确的建立出全等三角形是解题的重点．26．（2006?西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你研究线段DE与AM之间的关系．说明：（1）假如你经历频频研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求起码写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程以后，能够从以下①、②中选用一个增补或改换已知条件，达成你的证明．①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②∠BAC=90°（如图）附带题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其余条件不变，尝试究线段DE与AM之间的关系．【剖析】（1）分三种状况议论，当∠BAC=90°，易得△ABC≌△AED；依据直角三角形的性质，可得ED=2AM；从而能够在∠BAC＞90°与∠BAC＜90°时，比较可得有ED=2AM的结论；（2）依据（1）的结论，选用②易得答案．【解答】解：（1）分三种状况；当∠BAC=90°，M是BC的中点∴AM=BM=MC=∠EAD=∠BAC=90°，AE=AB，AC=AD∴△ABC≌△AED∴ED=BC∴ED=2AM当∠BAC＞90°，易得ED=2AM当∠BAC＜90°，易得ED=2AM（2）已知（1）的结论，若∠BAC=90°，可得ED=2AM附带：联合上题可得：2AM=DE延伸CA到F使AF=AC，连结BF易证△ABF≌△ADE∴BF=DE∵2AM=BF∴2AM=DE．【评论】本题为研究性题目，要修业生能全面考察可能出现的状况，并挨次求出此中的关系．27．（2012?中山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答以下问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为什么值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？（3）当t为什么值时PQ∥BC？【剖析】（1）由题意，可知∠B=30°，AC=6cm．BP=2t，AP=AB﹣BP，AQ=t．（2）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，则有AP=AQ，即12﹣2t=t，求出t即可．（3）若PQ∥BC，则有AQ：AC=AP：AB．从而问题可求．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°．又∵AB=12cm，∴AC=6cm，BP=2t，AP=AB﹣BP=12﹣2t，AQ=t．（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，∴AP=AQ，即12﹣2t=t，解得t=4，即当t=4秒时△APQ是等腰三角形．（3）∵当AQ：AC=AP：AB时，有PQ∥BC，t：6=（12﹣2t）：12，解得t=3．即当t=3秒时，PQ∥BC．【评论】本题考察等腰三角形的判断和直角三角形的性质等知识点的综合应用能力．28．（2015秋?杭州校级期中）如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为什么值时，CP把△ABC的周长分红相等的两部分．（2）当t为什么值时，CP把△ABC的面积分红相等的两部分，并求出此时（3）当t为什么值时，△BCP为等腰三角形？

CP的长；【剖析】（1）先由勾股定理求出△ABC的斜边AB=10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分红相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再依据时间=行程÷速度即可求解；（2）依据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分红相等的两部分，从而求解即可；（3）△BCP为等腰三角形时，分三种状况进行议论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．【解答】解：（1）△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，∴当CP把△ABC的周长分红相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，t=12÷2=6（秒）；（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分红相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm），t=13÷2=6.5（秒），CP=AB=×10=5cm；（3）△BCP为等腰三角形时，分三种状况：①假如CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）；假如CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时t=5.4（秒）（点P还能够在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4（秒））②假如BC=BP，那么点P在AB上，BP=