参考教程矩阵

PAGEPAGE1交通大学2012- 学年第一学期《矩阵理论》试卷(2013.1.3,14:00- 学 矩阵理论分班号或任课教 成 4页15道题100分其中diag表示对角矩阵，A表示A的共轭转置一.单项选择题(每题3分,共15分VC3×33阶复方阵构成的复线性空间,UWV的两个子空间,U={A∈V|trA∗=0},W={A∈V|AT+A=则dim(U+W)−dimU (A) (B) (C) (D)UWV的两个子空间(A)(U+W)⊥=U⊥+W (B)(U+W)⊥=U⊥∩W(C)(U∩W)⊥=U⊥∩W (D)(U∩W)⊥=U+设两个4ABx2danJordan(

x−1xx−1),则矩

(

的(A) (B) (C) (D)设|•|a分别表示复线性空间Cn的a-范数,a=1,2,∞.设x∈Cn.则必有 (A)|x|1≤|x|2≤|x (B)|x|2≤|x|1≤|x(C)|x|∞≤|x|1≤|x (D)|x|∞≤|x|1≤n|x设2阶复矩阵A,B,A−B均为投影矩阵,则 (A)AB=BA= (B)AB=BA= (C)AB=BA= (D)AB=BA=二(每题3,)15)

) 设

∈R2,

,则σ关于基

的矩阵为 11(7.线11(7.线性方1100 的最优解为 (设σ是通常欧氏空间R2上的正交变换,且

(=

(,

(10)(11

矩阵A的三角分解

01,则A的正交三角分解为 设A是秩为2的3阶正交投影矩阵,则矩阵I−sinA的Jordan标准形为 三.计算题(每题15分,共60分VR3是实线性空间.定义Vσ如下σ:(x1,x2,x3)T7→(x2,−2x2+2x3,x2−x3)T ∀(x1,x2,x3)T∈σ的核空间Ker(σ)与像空间Im(σ)的各一组基VKer(σVRn×n是全体n阶实矩阵构成的实线性空间.AB∈V,(A,B)=tr(AT(••V上的一个内积Eij1≤ij≤nV的一个标准正交基U={A∈V|A=aIa∈R},UU的一个标准正交基10设A 10 00写出A的Jordan标准形J(请将Jordan块按阶数从大到小排列∫求0

eJs求定解问题x0(t)=Jx(t001)Tx(0)=(100)T的解A∈Cm×n(m≥nr0AA=Udiag(σ1σr00)V U=(u1,···,um),V=(v1,···,vn)分别是m阶与n阶酉矩阵.设矩阵B BB∗的谱分解B的奇异值分解B∗B的Moore-Penrose广义逆四.证明题(每题10分,共10分AB均为mn阶复矩阵.记σAA的最大奇异值.证明σA=

|Ax|x

=maxAx σA+≤σA+PAGEPAGE1?????2013-2014?c1???5? ?1 ?.???JK(zK3 15V?N ?U={A=(aij)∈V|a12+a23+a31+a32=0},W={A∈V|AT−A=TKdim W) (A) (B) (C) (D)U,W,X??5?m `.(U+W X=(U+ (W+ ?.(U+W X= X)+ Z.X+ W)=(X+U (X+W ?.X+ W)= U)+ W (A) (B) (C) (D)α?n(n≥2)?????,A= ?e`. 3n ?. Z. 3QRA(A)(B)(C)(D)A? 5?,|•|F F-? F(A)|A2|F=|A (B)|A2|F=|A∗AFsup sup|A|F (D)|A|F ?A?v^?A2=I,KeA (A) (B) (C)1[(e+e−1)I2.W?K(zK3 15

1[(e−e−1)I+(e+e−1)A]σ((x,y,z)T)=(x+2y−z,y+z,x−3z)T????mR3??5K ?C? ??m ?? ?A?B?v^?A6=0,A2=0,B2=I.XJI+ "?m?2, A− A+A+ A−

4 8.x=(x1,x2,···,xn)T,y=1y2,···,yn)T???n??,??x1=y=1.XJxyT=LU??xyT n?KUL=( 010119.A001,Kcos(At)000α,β??? n(n≥2)??,?α∗α=β∗β=4,K? Penrose_?( n.O?K?y?K(11-14KzK15?,15K10 70U={(x,y,z,w)|x+y+z+w=0},W={(x,y,z,w)|x−y+z−w=0}~???m ?U∩W,U+ ????g 0? ??2?f?mU0 ??mU⊥⊆W0σ?R4 Ker(σ)=U,?σ3IO?e?kn(n≥ ++0··00aa··00001+··000 1+ A

.. ··

1+1+

n ·· 1+a2n??ai(1≤i≤n)??Px=(x1,x2,···,xn)T,f(x)=f(x1,x2,···,xn)=xT?8?U={x∈Rn|f(x)=0}??? f?XJ???; 3 S?(•,•)????x∈Rnk(x,x)=f(x),?ai(1≤i≤ ????α=(1,0,···,0)T?β=(1,1,···,1)T ??Y22221.2? JordanIO/JO?(3)x(0)=(1,1,1)T.??)?Kx0= ?? Hermite ??)?O?A=UDU∗,B=VΛV∗,??U,V?j?,D=diag(a1,···,as,0,···,0),Λ=diag1,···,bt,0,···,0)???,ai6=0,1≤i≤s,bj6=0,1≤j≤t.PI?n ???.?C=A ? M ? ????N I

Moore-PenroseV=Mn(C)?N ?E?5?m,A,B∈V.???X∈V??σ(X)=AX− A?Bvk?A???7?^????? C∈V 3?? ?X∈V?σ(X)=2014‐2015一.选择题nሺ൒2ሻ阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,则A的 A B C D.不能确设是n维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不 σ是单映 B.dim൫Imሺσሻ൯ൌC.σ是一一对 D.σ适合条件σ୬ൌ设A是实的称矩阵 则下列命题正确的是 e൒是实的称矩 B.e൒是正交矩C.cosA是实的称矩 D.sinA是实的对称矩设方阵A幂收敛到方阵B,则下列|B|ൌ ②B是幂等③ABൌBAൌ ④rሺAሻ൒正确的有 )B. C. D.设n维向量ൌ

ሺ1 1ሻ൒,n൒2,BൌIൌxx൒,其中I矩阵,则下列选项正确的是 A.‖B‖ଵൌ1B.‖B‖ஶൌ C.‖B‖ଶൌD.‖B‖൒ൌ二.填空题设e൒ൌ eଶൌeቁ,则Aൌ 设n阶方阵A的最小多项式为λ୩ሺλൌλଵሻ⋯ሺλൌλ୬ 其中n൒k,ଵ,λଶ,…,୬

全不为,则imሺ

设Aൌ 1൱,矩sinA的Jordan标准形Jୱ୧୬൒ൌ 矩阵Aൌ 2൱，A的Cholesky分解AൌLL൒，下三角矩 L 5.5.设给定矩阵Aൌ0ቁ，Bൌቀൌ

矩阵空间Rଶൈଶ上线性 ൌ换T为TሺXሻൌkX൒AXB,∀XRଶൈଶ.T是可逆变换当且仅当参数满足条 三.设V是有限维欧氏空间,uV是一个单位向量,V上线性变换σ定义为:对任意xV,σሺxሻൌxൌaሺxuሻu.试求非0实数a,使得σ是V上正交变换多项式空间ሾxሿଷ中的内积定义如下:对任意fሺxሻ,gሺxሻ∈ଷ,ሺfሺxሻ,gሺxሻሻ൒ଵfሺxሻgሺxሻdx.试求Rሾxሿଷ中向量αൌ1和βx的长度;并求正实数k和单位向量u∈Rሾሿଷ,使得上述正交变换σ将向量变成 ൌ四.设Aൌ൮ 1ൌ1 ൌ1ൌ ൌ1 求矩阵A的一个满秩分解,使得的第一列为矩阵的最后一列,并给出A的列空间ሺሻ的一组基;求A的左零化空间NሺA൒ሻ的一组基1设bൌ11

求向量b性空间RሺAሻ上的最佳近似设σ是线性空间Rସ上的正交投影变换,且满足σ的像空ImሺσሻൌRሺAሻ,试求σ在标准基eଵ,eଶ,eଷ,eସ下的矩阵ൌ1ൌ2五.设矩阵Aൌ൭ ൌൌ1ൌ1求矩阵A的Jordan标准形试求一个可对角化矩阵D和一个幂零矩阵N,且DNൌ 使AൌD൒计算设xሺ0ሻൌሺ1 3ሻ൒.求定解问题xᇱሺtሻൌAxሺtሻ的解六 设σ是由线性空间R୫到线性空间R୬上的线性变换 其中m试证 存在R୫到R୫上的幂等变换τ,及R୫到R୬上的单变换φ,得σൌφ令mൌ2nൌ4,线性变换σ为:σሺxyሻ൒ൌሺxy2xൌyሻ൒试Rଶ上一组标准正交基,及Rସ上一组标准正交基 使得线性变换σ在两组基下的矩阵为对角线元素均非负的4ൈ2矩阵七.证明变换tr:XtrሺXሻ是线性空间M୬ሺRሻ到R的满足性质:σሺXYሻσሺYXሻ及σሺIሻൌn的唯一的线性变换.PAGE2016学年第一学期《矩阵理论》试卷 一.单项选择题(每题3分,共15分)设V= (xV的n阶导数,f(0)(xf(x).VU,W如下U={f(x)∈V|f)0=0,n≤1949},W={g(x)∈V|g(x)=x1896(x−1)60h(x),∀h(x)∈V则V的子空间U+W的维数dim(U+W) (A) (B) (C) (D)设A是m×n阶非零复矩阵,R(A),N(A)分别表示A的列空间与零空间 设ALRA的一个满秩分解.8个等式R(A)= R(A∗)=R(A)=R(A∗)=N(A)=N N(A∗)=NN(A)=NN(A∗)=N则上述等式恒成立的个数为 (A) (B)(C)(D)5)ABx3(x−1x2(x−1)2,(2A− B− 的Jordan标准形所含Jordan块的个数为 2A−2B2B−(A) (B) (C) (D)设A为n阶正规矩阵,|•|F是矩阵的F-范数,则 (A)|A2|F=|A (B)|A2|F=|A∗A sup

sup|A|F (D)|A|F Am×n阶复矩阵,A是A的Moore-Penrose广义逆,A∗A的共轭转置.考虑下4个等式A∗AA†= A†AA∗= (A∗A)†A∗= (A∗A)†A∗=则上述等式恒成立的个数为 (A) (B) (C) (D)二.填空题(3分,15分1σ是R2上的线性变换,1

=(1,0,)T,

=(0,1)T,σ(e)=e,

+e)=2e211121则σ关于基e1+e2,e1−e2的矩阵为 211121设e1=(1,0,0)T,e2=(0,1,0)T,A=(e1,e1).则Ax=e2的最优解为 01设A 00 ,则cos00

–sin2(At) A是秩23阶投影矩阵,3B=IAC为

Bn,eCtJordan标准形√ 10.设α,β∈Cn(n≥2),|•|2是向量的2-范数(即 范数),|α|2=1,|β|2=10,α∗β=3.则矩阵αβ∗+βα∗的Moore-Penrose广义逆为( 三计算题与证明题(11-14题每题15分,1510分,70分设U={(x,y,z,w)T∈R4|x+y+z+w=0},W={(x,y,z,w)T∈R4|x−y+z−w=是通常欧氏空间R4的两个子空间.I是R4上的恒等变换UUW的正交补(UW)的各一组标准正交基试求出R4σI−σKer(I−σ)=Un2xx1x2···xn)T∈Cn.σCn→Cn如下σ(x)=(x2,x3,...,xn,x1)Tσe1e2enA,ei(1≤i≤