复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 经营教育数积分方法总结有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：i和式Sn=∑1f(ᵅ)(zk-zk-1)=∑1f(ᵅ)zk记zk=zk-zk-1，弧段zk-1zk的长有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：f(z)dz=m0∑1f(ᵅ)zk ∵f(z)=1Sn=∑1f(ᵅ)(zk-zk-1)=b-a∴limSn=b-a,即1)∫dz=b-a.n0ccc(2)当C为闭曲线时，∫dz=0.f(z)=2z;沿C连续，则积分∫cc∑1=∑1Z(k1)(zk-zk-1)∑2=∑1Z(k1)(zk-zk-1)∴2zdz=b2-a2cf(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy带入∫f(z)dz得：c2f(z)dz=udx-vdy+ivdx+udy再设z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)∫f(z)dz=∫βf(z(t))z(́t)dtcα00解：参数方程z=(3+i)t0itdt030例题2：沿曲线y=x2计算∫1+i(x2+iy)dz0(x2+iy)dz=(t2+it2)(1+2it)dt00005i66=积分结果：(z−)n+1=dθ=r1+ie−inθdθ=0n≠0n=0n≠0n|z|=1z−1|z|=1z−12.柯西积分定理法：封闭曲线有：∮f(z)dz=0c∮f(z)dz=∮f(z)dz+∮f(z)dz=0Γc推论：cc1f(z)dz=∮f(z)dzc∮f(z)dz=∑=1∮f(z)dzcck2z−12z−1dz+∮2z−1dzz(1−z)c2z(1−z)2z−1dz=∮c1+1dz+∮1+1dzz−1c1zc2z−1zz−1c1ff(z)dzz−z0zz=∮1dz+∮1dz+∮1dz+∮1dzc1z−1c1zc2z−1c2z原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：cz0∫f()d=∫z1f()d这里的z1和z0积分的上下限。当下限cz0F(z)=∫z1f()d所以有z0若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且0F(́z)=f(z).根据定理和可得∫z1f(ᵆ)dᵆ=F(z1)-F(z0).00例题：求∫1zcoszdᵆ0∴∫1zcoszdᵆ=zsinz|i-∫1sinzdᵆ000=isini+cosz|i=isini+cosi-102i2i的方法，但是要注意复柯西积分公式法：zz0cc于f(z)的连续性，所以cz−z0cδz−z0∫f(z)dz=∫cz−z0cδz−z0f(z0)=1∮f(z)dz2πiz−z0例题：1)dz2)z|=2(9−z2dz==析函数的高阶导数：ffnznfzdz(n=1,2…)2πi(z−z0)n+1其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内D解：由高阶导数的柯西积分公式：3.解析函数与调和函数：定义：(1)调和函数：如果二元实函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续xy域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析函x2y2 (2)共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。若v是u (1)偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数uu=v，两边对y积分得v=∫udy+g(x).再由u=−v又得∫vdy+g(́x)=-xyxyxxxuu从而g(x)=∫[−u−∫udy]dx+Cyyxxvv=∫udy+∫[−u−∫udy]dx+C同理可由v(x,y)求u(x,y).xyxx不定积分法：因为f(́z)=Ux+iVx=Ux-iUy=Vy+iVX所以f(z)=∫U(z)dz+cf(z)=∫V(z)dz+c分法：若已知实部若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=vdx+vdy=-udx+∫udy故xyyxv=∫(x，y)−udx+udy+C 该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)uu=-2y+xy2u=-2y2x2ux程，有vv=−u=2y-xv=u=2x+yxyyx所以v=∫(2y−x)dx+φ(y)=2xy-x2+φ(y)2v=2x+φy)=2x+yy2vv(x,y)=2xy-x2+y2+c22f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=1(2-i)z2+iC24.留数求积分：留数定义：设z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0<|z−z0|<δ,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c-1称为f(z)在z0处的留数，记为Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c-1或者Res[f(z),z0]=2if(z)dzC为0<|z−z0|<δf(z)dz=2πi∑1Res[f(z),zk]其中zk表示函数f(z)的孤立奇点孤立奇点：定义：如果函数ᵅ(ᵆ)在z0不解析，但在z0某个去心邻域0<|z−z0|<δ内解(z+1)(z+2)(z+1)(z+2)在孤立奇点z=z0的去心邻域内，函数f(z)可展开为洛朗级数ᵅ(ᵆ)=∑∞cn(zz0)n洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在z0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z0的类型：是可去奇点，一般对函数ᵅ(ᵆ)求积分一般为零f(z)dz=2πi∑1Res[f(z),zk]=0。z0是f(z)的可去奇点的充要条件是存在极限limf(z)=c0，其中c0是一复zfz奇点的充要条件是：存在r≤δ，使得f(z)在0<|zz0|<r内有界若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂则称z0是f(z)的m级极点。 (z−z0)m(z−z0)m+1z−z000这里这里c-m≠0，于是在0<|zz0|<δ有f(z)=[001000φ(z).*z−z0(z−z0)mφ(z)一个在0<|zz0|<δ解析，同时φ(z)≠0，则z0是f(z)的m级极点。判断定理：(1)f(z)在z0的去心邻域0<|z−z0|<δ解析，z0是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。(2)z0是f(z)的m级极点的充要z→z0幂项，则称z0是f(z)的本性奇点limf(z)。z→z0z点，则z→zRes[f(z),z0]=limf(z)(z−z→z0ResRes[f(z),z]=1limdm−1{(z-z)mf(z)}0准则三：设f(z)=P(Z),P(z)以及Q(z)都在z0解析，如果P(z0)=0，Q(Z)00(m−1)!z→zdzm−1Q(z0)≠0，则z0是f(z)的一级极点，而且：Q(Ź0)Q(Ź0)2i∮f(z)dzc−10称为f(z)在z=∞处的留数，记作Res[f(z),∞]=2if(z)dzss)n=-伪n-1f(z),=z伪csn则有Res[f(n=-伪n-1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远处在内)设为znKG2[L(s)qs]+Res[f(z),伪]=0;k=TRes[f(z),伪]=-Res[f(T)T,0]sss例题：求下列Res[f(z),伪]的值((2)f(z)=