华师大版八年级数学上册第12章整式的乘除

12.1幂的运算第12章整式的乘除1.同底数幂的乘法学习目标1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.（重点）2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.（难点）导入新课问题引入一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103s可进行多少次运算？（1）怎样列式？1015×103（2）观察这个算式，两个因式有何特点？

我们观察可以发现，1015

和103这两个因数底数相同，是同底的幂的形式.

所以我们把1015×103这种运算叫做同底数幂的乘法.同底数幂的乘法（1）上题中的10，3，103分别叫什么？103表示的意义是什么？=10×10×103个10相乘103底数幂指数(2)10×10×10×10×10可以写成什么形式?10×10×10×10×10=105忆一忆讲授新课1015×103=？=(10×10×10××10)（15个10）×(10×10×10)(3个10)=10×10×…×10(18个10)=1018=1015+3(乘方的意义)(乘法的结合律)(乘方的意义)议一议…（1）23×24=2（）根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？试一试=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2×2×2×2×2×2×2=27（2）53·54=5（）=(5×5×5)×(5×5×5×5)=5×5×5×5×5×5=5777（3）a3×a4=a（）=(a·a·

a)

·(a·a·a·a)=a

·

a·

a·a·a·a·a=a77注意观察：计算前后，底数和指数有何变化?猜一猜am·an

=a（？）=a(

)

证一证=(aaa)·

(

个a)(aaa)(

个a)=(aaa)(

个a)(乘方的意义)(乘法的结合律)(乘方的意义)mn

m+nm+n

·

·

…

·

·

…

·

·

…

am·an

=am+n

(当m，n都是正整数).同底数幂相乘,底数，指数.不变相加同底数幂的乘法法则：说一说结果：①底数不变②指数相加注意条件：①乘法②底数相同典例精析(1)x2·x5=__________________;(2)(3)(4)例

计算下列各式x2+5=x7a1+6=a7xm+3m+1a=a1=x4m+1a7·a3=a10a·a6·a3=__________________.xm·x3m+1=__________________;a·a6=__________________;a·a6·a3类比同底数幂的乘法公式am

·an=am+n(当m，n都是正整数)am·

an·

ap=am+n+p（m、n、p都是正整数)想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示等于什么呢？am·an·ap比一比=a7·a3=a10当堂练习

1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正.(1)b3·b3=2b3(2)b3+b3=b6(3)a·a5·a3=a8(4)(-x)4·(-x)4=(-x)16××××b62b3=x8a9(-x)8(1)x·x2·x()=x7(2)xm·（）=x3m(3)8×4=2x，则x=()23×22=2545x2m2.填空：A组（1）（-9）2×93（2）（a-b)2·（a-b)3（3）-a4·（-a)2

3.计算下列各题：注意符号哟

B组(1)xn+1·x2n(2)(3)a·a2+a3公式中的底数和指数可以是一个数、字母或一个式子.注意=95=（a-b)5=-a6=x3n+1=2a3（1）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值;（2）已知xa=2,xb=3,求xa+b的值.公式逆用：am+n=am·an公式运用：am·an=am+n

解：n-3+2n+1=10,n=4;解：xa+b=xa·xb

=2×3=6.4.创新应用课堂小结同底数幂的乘法法则am·an=am+n

(m,n都是正整数）注意同底数幂相乘，底数不变，指数相加am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）直接应用法则常见变形：(-a)2=a2,(-a)3=-a3底数相同时底数不相同时先变成同底数，再应用法则12.1幂的运算第12章整式的乘除2.幂的乘方学习目标1.理解并掌握幂的乘方法则.（重点）2.会运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算.（难点）导入新课问题引入10＝（边长）2S正＝10×10＝边长×边长S正103S正＝102＝103×103S正S正＝（103）2（103）2（10的3次幂的2次方）＝103×103＝103+3＝106（103）2讲授新课幂的乘方（1）（a3）2=a3·a3（4）请同学们猜想并通过以上方法验证：am·am·amamn个am

…

··…=am+m++m

n个m=am·am

（2）（am）2=amn（am）n==a3+3=a6=am+m=a2m(m是正整数)（3）请你观察上述结果的底数与指数有何变化？自主探究幂的乘方法则符号语言：(am)n=amn

(m，n都是正整数）文字语言：幂的乘方，底数＿＿，指数＿＿.不变相乘归纳总结例

计算：（1）（103）5

；

解:(1)(103)5=103×5

=1015；(2)(a2)4

=a2×4=a8；(3)(am)2

=am·2=a2m.（3）（am）2；（2）（a2）4；典例精析解：－(x4)3

=﹣x4×3

=﹣x12;解：[(﹣x)4]3

=(﹣x)4×3

=(﹣x)12=x12;(5)[(﹣x)4]3；（6）﹣

(x4)3；相反数(4)[(x+y)2]3；解：[(x+y)2]3

=(x+y)2×3

=(x+y)6;(7)a2·a4+(a3)2.解:原式=a2+4+a3×2=a6+a6=2a6.解本小题要注意什么？里面涉及到哪些运算?想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？幂的乘方的乘方[（am）n]p=amnp

[

]4=？（a2）3[

]4（a2）3＝(a6)4=a24当堂练习1.判断下面计算是否正确？正确的说出理由，不正确的请改正.（1）(x3)3=x6原式=x3×3=x9×（2）x3.x3=x9×原式=x3+3=x6（3）x3+x3=x9×原式=2x32.请小组合作自编一道有关“幂的乘方”的计算题.=(am)n=(an)mx12＝（x

4

）（3）＝（x

3

）（4）＝（x

2）（6）＝（x

6）（2）…3.请你把x12

写成“幂的乘方”的形式.amn(m，n都是正整数）4.已知am=2，an=3,

求：（1）a2m

，a3n的值；解:(1)

a2m=(am)2=22=4，a3n=(an)3=33=27；(3)a2m+3n=a2m.a3n=(am)2.(an)3=4×27=108.（3）a2m+3n

的值.（2）am+n

的值.

(2)am+n=am.an=2×3=6；amn=(am)n=(an)mam+n=am.an5.已知44×83=2x，求x的值.解：∵44×83=(22)4×(23)3=28×29=217,∴x=17.课堂小结幂的乘方法则（am）n=amn(m,n都是正整数）注意幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am﹒an=am+n幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m12.1幂的运算第12章整式的乘除3.积的乘方学习目标1.理解并掌握积的乘方法则及其应用.（重点）2.会运用积的乘方的运算法则进行计算.（难点）导入新课问题引入

1.计算:（1）

10×102×103=______

；（2）

(x5)2=_________.x101062.（1）同底数幂的乘法：am·an=

(m，n都是正整数).am+n（2）幂的乘方：(am)n=

(m,n都是正整数）.amn底数不变指数相乘指数相加同底数幂的乘法幂的乘方其中m,n都是正整数（am）n=amnam·an=am+n想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？讲授新课积的乘方运算一思考下面两道题:(1)(2)我们可以根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行运算.这两道题有什么特点？底数为两个因式相乘，积的形式.这种形式为积的乘方我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？自主探究同理：（乘方的意义）（乘法交换律、结合律）（同底数幂相乘的法则）(ab)

n=(ab)·(ab)·····(ab)n个ab=(a·a·····a)·(b·b·····b)n个a

n个b=anbn.证明：思考问题：积的乘方(ab)n=?猜想结论：

因此可得：(ab)n=anbn

(n为正整数).

(ab)n=anbn

(n为正整数)推理验证

积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.(ab)n=anbn

（n为正整数）

想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？

(abc)n

=anbncn

（n为正整数）知识要点积的乘方法则例1

计算:(1)(2a)3

；(2)(-5b)3

；

(3)(xy2)2

；(4)(-2x3)4.

解：(1)原式=

(2)原式=(3)原式=

(4)原式==8a3；=-125b3；

=x2y4；=16x12.23a3(-5)3b3x2(y2)2(-2)4(x3)4典例精析an·bn=(ab)n

am+n=am·anamn=(am)n作用：使运算更加简便快捷！积的乘方法则的逆用二解：原式逆用幂的乘方的运算性质幂的乘方的运算性质逆用同底数幂的乘法运算性质逆用积的乘方的运算性质例2

计算:(1)（ab2)3=ab6()×××(2)(3xy)3=9x3y3()×(3)(-2a2)2=-4a4()(4)-(-ab2)2=a2b4()1.判断:

2.下列运算正确的是（）

A.x.x2=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x4C当堂练习(1)(ab)8;(2)(2m)3

;(3)(-xy)5;

(4)(5ab2)3;

(5)(2×102)2

;(6)(-3×103)3.3.计算:

解：(1)原式=a8·b8;(2)原式=23

·m3=8m3;(3)原式=(-x)5·y5=-x5y5;(4)原式=53

·a3

·(b2)3=125a3

b6;(5)原式=22×(102)2=4×104;(6)原式=(-3)3×(103)3=-27×109=-2.7×1010.（1)2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;

（2）(3xy2)2+(-4xy3)·(-xy);

（3）(-2x3)3·(x2)2.解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7

=2x9-27x9+25x9

=0;解：原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4;解：原式=-8x9·x4=-8x13.

注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.4.计算:5.如果（an•bm•b)3=a9b15,求m,n的值.（an）3•（bm）3•b3=a9b15,a

3n•b3m•b3=a9b15,a

3n•b

3m+3=a9b15,3n=9

,3m+3=15.n=3,m=4.解：∵（an•bm•b)3=a9b15,课堂小结幂的运算性质性质

am·an=am+n

(am)n=amn

(ab)n=anbn(m，n都是正整数)反向运用am·an=am+n、(am)n=amnan·bn=

(ab)n可使某些计算简捷注意运用积的乘方法则时要注意：公式中的a，b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）12.1幂的运算第12章整式的乘除4.同底数幂的除法学习目标1.理解同底数幂的除法法则.（重点）2.能运用同底数幂的除法法则进行运算.（难点）导入新课情境引入问题

木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想：你还有哪些计算方法?地球木星讲授新课同底数幂的除法探究发现1.计算：（1）25×23=？（2）x6·x4=?（3）2m×2n=？28x102m+n2.填空：（1）（）（）×23=28

（2）x6·（）（）=x10（3）（）（）×2n=2m+n25x42m本题直接利用同底数幂的乘法法则计算本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算相当于求28÷23=？相当于求x10÷x6=？相当于求2m+n÷2n=？4.试猜想：am÷an=?(m,n都是正整数，且m>n)3.观察下面的等式，你能发现什么规律？（1）28÷23=25（2）x10÷x6=x4（3）2m+n÷2n=2m同底数幂相除，底数不变，指数相减am÷an=am-n

=28-3=x10--6=2(m+n)-n验证一：因为am-n

·an=am-n+n=am,所以am÷an=am-n.验证二：一般地，我们有

am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，且m>n)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.知识要点同底数幂的除法试一试用同底数幂法则计算：例

计算：以后，如果没有特别说明，我们总假设所给出的式子是有意义的.本例中我们约定典例精析解：

1.计算：解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=方法归纳：

底数只是符号不同时，应先化成底数相同的形式，再运用同底数幂的除法法则进行计算.当堂练习2.你会计算下式吗？本题中底数相同，我们可以把a+b当作一个整体来对待.解：3.计算：(2a-b)7÷(b-2a)4.解：方法1：(2a-b)7÷(b-2a)4=-(b-2a)7÷(b-2a)4

=-(b-2a)3；方法2：(2a-b)7÷(b-2a)4=(2a-b)7÷(2a-b)4=(2a-b)3.4.已知，你能算出的值吗？解：5.已知飞船的飞行速度约为104米/秒，地球的周长约为4×107米，求飞船绕地球一周大约需要多少秒？解：（4×107）÷104=4×（107÷104）=4×103（秒）.答：飞船绕地球一周大约需要4×103秒.课堂小结同底数幂的除法法则am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，且m>n）同底数幂相除，底数不变，指数相减同底数幂相除法则的逆用：am-n=am÷an(a≠0,m,n都是正整数，且m>n）12.2整式的乘法第12章整式的乘除1.单项式与单项式相乘学习目标1.理解并掌握单项式与单项式相乘的运算法则.（重点）2.能熟练运用法则进行运算及解决有关化简求值问题.（难点）导入新课复习引入1.幂的运算性质有哪几条？

同底数幂的乘法法则：am·an=am+n

(m，n都是正整数).幂的乘方法则：(am)n=amn(m，n都是正整数).积的乘方法则：(ab)n=anbn(m，n都是正整数).同底数幂的除法法则：am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，且m>n)2.计算：（1）x2·x3·x4=

;(2)(x3)6=

;(3)(-2a4b2)3=

;(4)(a2)3·a4=

；（5）

.x9x18-8a12b6a101讲授新课单项式与单项式相乘问题1

光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km想一想：（1）怎样计算（3×105）×（5×102）？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2,怎样计算这个式子？（2）

ac5·bc2=（a·b)·(c5·c2)(乘法交换律、结合律）=abc5+2(同底数幂的乘法）=abc7.（1）利用乘法交换律和结合律有：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107.这种书写规范吗？不规范，应为1.5×108.单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.知识要点单项式与单项式的乘法法则

（1）系数相乘；（2）相同字母的幂相乘；（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.注意例

计算：（1）3x2y·（-2xy3）;（2）（-5a2b3）·

（-4b2c）；

解：（1）3x2y·(-2xy3)

=[3·(-2)]·(x2·x)·(y·y3)

=-6x3y4；（2）(-5a2b3)·(-4b2c)=[(-5)·(-4)]·

a2·(b3·

b2)·

c

=20a2b5c

；

典例精析(3)(-5a2b)(-3a)；

(4)

(2x)3(-5xy3).解:

(3)(-5a2b)(-3a)=[(-5)×(-3)](a2•a)b=15a3b；(4)(2x)3(-5xy2)=8x3(-5xy2)=[8×(-5)](x3•x)y2=-40x4y2.单项式与单项式相乘有理数的乘法与同底数幂的乘法乘法交换律和结合律转化单项式相乘的结果仍是单项式问题2小明的步长为a厘米，他量得一间房子长15步，宽14步，这间屋子占地面积有多少平方厘米？14a15a长是15a，宽为14a的长方形的面积是15a·14a反过来说：15a·14a表示什么？a1.a·a表示什么几何意义？2.你能说出3a·2ab的几何意义吗？

2ab3a2a3ab讨论大课堂a当堂练习1.辨析题：下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）3a3·2a2=6a6()改正：

.(2)2x2·3x2=6x4()改正：

.(3)3x2·4x2=12x2()改正：

.

(4)5y3·3y5=15y15()改正：

.3a3·2a2=6a5

3x2·4x2=12x45y3·3y5=15y8

×××2.计算：（1）3x2·5x3

；(2)4y·(-2xy2)；（3）(-3x)2·4x2

；

(4)(-2a)3(-3a)2.解：原式=（3×5）（x2·x3)=15x5；解：原式=[4×(-2)]（y·y2)·x=-8xy3；解：原式=9x2·4x2=(9×4)(x2·x2)=36x4；解：原式=-8a3·9a2=[(-8)×9](a3·a2)=-72a5.单独因式x别漏乘漏写有积的乘方怎么办？运算时应先算什么？有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.注意3.若长方形的宽是a2，长是宽的2倍，则长方形的面积为_____.【解析】由题意可知长方形的长是2a2，所以长方形的面积为a2·2a2=2a4.答案：2a44.一个三角形的一边长为a，这条边上的高的长度是它的那么这个三角形的面积是_____.【解析】因为三角形的高为

所以这个三角形的面积是答案：课堂小结单项式与单项式相乘单项式×单项式实质上是转化为同底数幂的运算注意（1）不要出现漏乘现象

（2）有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.12.2整式的乘法第12章整式的乘除2.单项式与多项式相乘学习目标1.理解并掌握单项式与多项式的乘法法则，并能熟练运用法则进行运算及解决有关化简求值问题.（重点）2.结合几何图形的面积计算，帮助理解整式乘法的意义.（难点）如图，试求出三块草坪的的总面积是多少？

如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____.

ppabpcpapcpb导入新课ppabpccbappa+pb+pcp(a+b+c)p(a+b+c)pb+pcpa+根据乘法的分配律试一试：计算：2a2·(3a2－5b).解：原式=２a2·3a2

+2a2·(－5b)

=6a4－10a2b.根据乘法分配律,乘以它的每一项．单项式与多项式相乘讲授新课知识要点单项式乘以多项式的法则单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.

（1）依据是乘法分配律；（2）积的项数与多项式的项数相同.注意mbpapc例

计算：(-4x)·(2x2+3x-1).

解：(-4x)·(2x2+3x-1)＝＝-8x3-12x2+4x.典例精析(-4x)·(2x2)+(-4x)·3x+(-4x)·(-1)当堂练习1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的________,再把所得的积________.2.4（a-b+1)=________________.每一项相加4a-4b+43.3x（2x-y2)=_________________.6x2-3xy24.（2x-5y+6z)(-3x)=________________.-6x2+15xy-18xz5.(-2a2)2（-a-2b+c)=_________________.-4a5-8a4b+4a4c6.计算：－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2).

（1）将2x2与5x前面的“-”看成性质符号；（2）单项式与多项式相乘的结果中，应将同类项合并.

注意解：原式=(-2x2)·xy+(-2x2)·y2+(-5x)·x2y+(-5x)·(-xy2)=-2x3

y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2=-7x3y+3x2y2.7.先化简，再求值3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中a=-2.解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a.当a=-2时，原式=-20×（-2）2+9×（-2）=-98.住宅用地人民广场商业用地3a3a+2b2a-b4a8.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.解：4a[(3a+2b)+(2a-b)]＝4a(5a+b)＝4a·5a+4a·b=20a2+4ab.答：这块地的面积为20a2+4ab.课堂小结整式乘法单项式×多项式实质上是转化为同底数幂的运算实质上是转化为单项式×单项式四点注意（1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负（2）不要出现漏乘现象

（3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减（4）对于混合运算，注意最后应合并同类项12.2整式的乘法第12章整式的乘除3.多项式与多项式相乘学习目标1.理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则.（重点）2.能够用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.（难点）导入新课复习引入1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？②再把所得的积相加.①将单项式分别乘以多项式的各项；2.进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么?①不能漏乘:即单项式要乘遍多项式的每一项；②去括号时注意符号的确定.多项式乘多项式问题1

(a+b)X=?(a+b)X=aX+bX(a+b)X=(a+b)(m+n)当X=m+n时,(a+b)X=?提出问题讲授新课问题2

某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米，请你表示这块林区现在的面积.ambnmanambnbambn你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？这块林区现在长为（m+n）米，宽为（a+b）米.由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.如何进行多项式与多项式相乘的运算？实际上，把(m+n)看成一个整体，有：=ma+mb+na+nb.(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。知识要点多项式乘以多项式1234(a+b)(m+n)=am1234+an+bm+bn多乘多顺口溜：多乘多，来计算，多项式各项都见面，乘后结果要相加，化简、排列才算完.典例精析例

计算:（1）（3x+1)(x+2)；(2)(x-8)(x-y)；(3)(x+y)(x2-xy+y2).解：(1)原式=3x·x+2×3x+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2；(2)原式=x·x-xy-8x+8y=x2-xy-8x+8y；

(3)原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.注意需要注意的几个问题:(1)漏乘;(2)符号问题;(3)最后结果应化成最简形式.当堂练习1.判别下列解法是否正确，若错请说出理由.解：原式解：原式

2.计算：(1)(x−3y)(x+7y)；(2)(2x

+5y)(3x−2y).解:

(1)(x−3y)(x+7y)+7xy−3yx=x2+4xy21y2；

21y2（2）(2x

+5

y)(3x−2y)==x22x•3x−2x•2y+5

y•3x−5y•2y=6x2−4xy+

15xy−10y2=6x2+11xy−10y2.−−3.计算求值：（4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)，其中x=1,y=-2.解:原式=当x=1,y=-2时，原式=22×12-7×1×（-2）-14×(-2)2=22+14-56=-20.观察上面四个等式，你能发现什么规律？并应用这个规律解决下面的问题.56(-3)(-4)2(-8)(-5)6口答：4.计算：5.小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？八年级(上)姓名：____________数学cbaabcmbm面积：(2m+2b+c)(2m+a)解：(2m+2b+c)(2m+a)=4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca.答：小东应在挂历画上裁下一块（4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca）平方厘米的长方形.课堂小结多项式×多项式运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn注意不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简实质上是转化为单项式×多项式的运算(x-1)2在一般情况下不等于x2-12.12.3乘法公式第12章整式的乘除1.两数和乘以这两数的差学习目标1.理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点）2.理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.（难点）导入新课情境引入

王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式.”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了.讲授新课平方差公式探究发现5米5米a米(a-5)(a+5)米相等吗？原来现在a2(a+5)(a-5)面积变了吗？①(x

＋1)(x－1)；②(m

＋2)(m－2)；③(2m＋1)(2m－1)；④(5y

＋z)(5y－z).计算下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：看谁算得又快又准.②（m＋2)(m－2）=m2－22③（2x＋1)(2x－1)=4m2－12④（5y

＋z)(5y－z)=25y2－z2①（x

＋1)(x－1）=x2－1，想一想：这些计算结果有什么特点？x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式.有时也简称为平方差公式.公式变形:1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2知识要点平方差公式=－(a+b)(a－b)a2b2几何解释b2aabb(a-b)(a+b)a2观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式,也可以是两个多项式等,．(a+b)(a-b)=a2-b2

相同为a

相反为b适当交换合理加括号练一练：口答下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)=

_________.(2)(a-b)(b+a)=__________.(3)(-a-b)(-a+b)=________.(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)例1填一填：

aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)典例精析例2

计算1998×2002.19982002=（2000-2）（2000+2）=4000000-4=3999996.解

例3街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？解:答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.当堂练习1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）(x+2)(x-2)=x2-2（2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4不对改正：（1）(x+2)(x-2)=x2-4不对改正方法1：(-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2)(3a-2)]=-(9a2-4)=-9a2+4;改正方法2：(-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a)=(-2)2-(3a)2=4-9a2.（1）(a+3b)(a-

3b)；=4a2－9；=4x4－y2;=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2；=(2a)2－32=(-2x2)2－y2=(50+1)(50-1)=502－12=2500-1=2499；=(9x2－16)

－(6x2+5x

-6)=3x2－5x－10.=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）51×49；（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).（4）(－2x2－y)(－2x2+y)；2.利用平方差公式计算：3.计算：

20182－

2017×2019.解：20182

－

2017×2019=20182－

(2018－1)(2018+1)=20182－（20182－12)=20182－

20182+12=1.4.利用平方差公式计算:（1）(a-2)(a+2)(a2+

4)

解:原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.

（2）(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.课堂小结平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b22.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用12.3乘法公式第12章整式的乘除2.两数和（差）的平方学习目标1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.（重点）2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.（难点）导入新课情境引入一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b

米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.aabb直接求：总面积=（a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？（a+b)2=a2+2ab+b2完全平方公式计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4（3）（p-1)2=(p-1)(p-1)=

.p2-2p+1（4）（m-2)2=(m-2)(m-2)=

.m2-4m+4根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？（a+b)2=

.a2+2ab+b2讲授新课知识要点完全平方公式（a+b）2=

.a2+2ab+b2也就是说，两个数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.这个公式叫做两数和的平方公式.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”.

公式特征：4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.1.积为二次三项式；2.积中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍；

a2b2abab

aba+ba+baba2ababb2

(a+b)2=

a2+2ab+b2(a+b)2a2+2ab+b2=试一试观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：例1

计算：(1)(2x+3y)2;

解：（1）(2x+3y)2

=(2x)2+2•2x•3y+(3y)2

=4x2+12xy+9y2；典例精析试一试推导两数差的平方公式（a-b）2注意到a-b=a+(-b),也可以利用两数和的平方公式来计算这样就得到了两数差的平方公式：（a-b)2=

.a2-2ab+b2两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.例2

计算：(1)(3x-2y)2;

解：（1）(3x-2y)2

=(3x)2-2•3x•2y+(2y)2

=9x2-12xy+4y2；例3运用完全平方公式计算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2•(4m)•n+n2+8mn+n2；(a-b)2=a2-2ab+b2y2(2)(y-)2.=y2-y+解：(y-)2=+()2-2•y•思考(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2;(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2;(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=(100–1)2=10000-200+1=9801.

1.运用完全平方公式计算：解题小结：利用完全平方公式计算:1.先选择公式;3.化简.2.准确代入公式;当堂练习2.运用乘法公式计算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2

原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.解:(1)原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第(2)题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.(1)(6a+5b)2；

=36a2+60ab+25b2；

(2)(4x-3y)2

；

=16x2-24xy+9y2；(3)(2m-1)2

；

=4m2-4m+1；(4)(-2m-1)2

.

=4m2+4m+1.3.运用完全平方公式计算:4.若a+b=5,ab=-6,

求a2+b2,a2-ab+b2.5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.解：∵x+y=8,∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;∵x-y=4,∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;由①-②，得4xy=48，∴xy=12.解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.4.若a+b=5,ab=-6,

求a2+b2,a2-ab+b2.5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.解：∵x+y=8,∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;∵x-y=4,∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;由①-②，得4xy=48∴xy=12.解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.课堂小结两数和（差）的平方公式两数和的平方公式两数差的平方公式两个数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.符号表示：

简记为：首平方，尾平方，积的2倍放中间两个数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.符号表示：

12.4整式的除法第12章整式的乘除1.单项式除以单项式学习目标1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、准确地进行计算.（重点）2.通过总结法则，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.（难点）1.用字母表示幂的运算性质：2.计算：(1)

a20÷a10；(2)

a2n÷an；(3)(−c)4÷(−c)2；(4)

(a2)3·(-a3)÷a3；

(5)

(x4)6÷(x6)2·(-x4)2.=a10=an=c2=−a9÷a3=−a6=x24÷x12·x8=x24—12+8=x20复习引入导入新课单项式除以单项式探究发现（1）计算：4a2x3·3ab2=

;（2）计算：12a3b2x3÷3ab2=

.12a3b2x3

4a2x3

解法2：原式=4a2x3·3ab2÷3ab2=4a2x3.理解：上面的商式4a2x3的系数4=12÷3；a的指数2=3-1，b的指数0=2-2，x的指数3=3-0.解法1：12a3b2x3÷3ab2相当于求（）·3ab2=12a3b2x3.由（1）可知括号里应填4a2x3.单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.

知识要点单项式除以单项式的法则理解商式＝系数•同底的幂

•被除式里单独有的幂底数不变，指数相减.保留在商里作为因式.被除式的系数除式的系数典例精析例

计算：（1）28x4y2÷7x3y；（2）-5a5b3c÷15a4b.商式＝系数•同底的幂

•被除式里单独有的幂底数不变指数相减保留在商里作为因式被除式的系数除式的系数解：（1）28x4y2÷7x3y=（28÷7）x4-3y2-1=4xy；（2）-5a5b3c÷15a4b=(-5÷15)a5-4b3-1c=ab2c.当堂练习1.下列计算错在哪里？应怎样改正？××××（1）4a8÷2a2=2a4()（2）10a3÷5a2=5a

()（3）(-9x5)÷(-3x)

=-3x4()（4）12a3b

÷4a2=3a

()系数相除同底数幂的除法，底数不变，指数相减只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.求系数的商，应注意符号2a62a3x43ab2.计算：（1）6a3÷2a2；（2）24a2b3÷3ab；（3）-21a2b3c÷3ab.解：（1）6a3÷2a2＝（6÷2）（a3÷a2）=3a；（2）24a2b3÷3ab

=(24÷3)a2-1b3-1=8ab2；（3）-21a2b3c÷3ab

=(-21÷3)a2-1b3-1c

=-7ab2c.3.计算：（6x2y3)2÷(3xy2)2.=36x4y6÷9

x2y4=4x2y2.注意：运算顺序：先乘方，再乘除.4.计算12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c3，其结果正确的是()(A)－2(B)0(C)1(D)2【解析】选A.12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c3=［12÷(-3)÷2］·(a5÷a2÷a3)·(b4÷b2÷b2)·(c4÷c÷c3)=-2.5.你能用（a-b）的幂表示12(a-b)5÷3(a-b)2的结果吗？将（a-b）看作一个整体,可用同底数幂相除的法则解：原式=（12÷3）(a-b)5-2

=4(a-b)3课堂小结单项式除以单项式运算法则1.系数相除；2.同底数的幂相除；3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式注意1.不要遗漏只在被除式中有而除式