2020年中考数学模拟试卷(含答案)

2020年中考数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．下列各数中，倒数最小的是（）A．﹣5 B． C．5 D．2．2020年3月12日，中科院宣布国内学者已经掌握了用“纳米”画笔“绘制”各种需要的芯片，针对于此，厚度仅为0.3nm的低维材料应运而生.已知1nm＝10﹣9m，则0.3nm用科学记数法表示为（）A．0.3×10﹣10m B．3×10﹣10m C．0.3×10﹣11m D．30×10﹣11m3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，过点O作OF⊥OE，若∠AOC＝42°，则∠BOF的度数为（）A．48° B．52° C．64° D．69°4．下列运算正确的是（）A． B． C． D．5．如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．6．关于x的一元二次方程，下面说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个实数根 D．没有实数根7．若一组数据4，9，5，m，3的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．9，3 B．4，5 C．4，4 D．5，38．某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时.设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程（）A． B．C． D．9．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°.按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径做弧，交CB、CD于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交BD于点O,交AD边于点F；则BO的长度为（）A.B．C．D．10．如图1，点P为△ABC边上一动点，沿着A→C→B的路径行进，点P作PD⊥AB，垂足为D，设AD＝x，△APD的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则依据图中的数量关系计算△ACB的周长为（）A.B.15C.D.二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：＝．12．不等式组的解集为．13．国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是.14．△ABC为等边三角形，点O为AB边上一点，且BO=2A0=4，将△ABC绕点O逆时针旋转60°得△DEF，则图中阴影部分的面积为．15．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P为AB边中点，点E为AC边上不与端点重合的一动点，将△ADP沿着直线PD折叠得△PDE，若DE⊥AB，则AD的长度为.三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：，请从-2，-1,0,1,中选择一个合适的值代入求值．17．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG,已知AG=EG.（1）求证：AG为⊙O的切线；（2）已知AG＝2，填空：①当∠AEG＝°时，四边形ABOF是菱形；②若OC=2DC，当AB＝时，△AGE为等腰直角三角形．18．（9分）某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学”活动，借助某软件平台随机抽取了该校部分学生的在线学习时间,并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请你根据以上信息回答下列问题（1）本次调查的人数为，学习时间为7小时的所对的圆心角为；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校共有学生1800人，估计有多少学生在线学习时间不低于8个小时.19．（9分）如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的C点观察篮板上沿D点的仰角为45°，在支架底端的A点观察篮板上沿D点的仰角为54°，点C与篮板下沿点E在同一水平线，若AB=1.91米，篮板高度DE为1.05米，求篮板下沿E点与地面的距离.（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.60，tan54°≈1.33）20．（9分）为了迎接体育理化加试，九（2）班同学到某体育用品商店采购训练用球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球需付210元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球需付费130元.（优惠措施见海报）（1）求A，B两品牌足球的单价各为多少元？（2）为享受优惠，同学们决定购买一次性购买足球60个，若要求A品牌足球的数量不低于B品牌足球数量的3倍，请你设计一种付费最少的方案，并说明理由.21．（10分）如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数与坐标轴交于A、B两点，反比例函数（x＞0）经过一次函数上一点C（2，a）.（1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图像；（2）依据图像直接写出当时不等式的解集；（3）若反比例函数与一次函数交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10.22．（10分）．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是．类比探究：（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？；拓展延伸：（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度．23．（11分）已知：如图，直线交坐标轴于A、C两点，抛物线过A、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA,PC，试问△PAC是否存在最大值，若存在，请求出△APC取最大值以及点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标.一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1．下列各数中，倒数最小的是（）A．﹣5 B． C．5 D．B【解析】﹣5，，5，的倒数依次为：，﹣5，，5；∵，∴倒数最小的为．故选：B．2．2020年3月12日，中科院宣布国内学者已经掌握了用“纳米”画笔“绘制”各种需要的芯片，针对于此，厚度仅为0.3nm的低维材料应运而生.已知1nm＝10﹣9m，则0.3nm用科学记数法表示为（）A．0.3×10﹣10m B．3×10﹣10m C．0.3×10﹣11m D．30×10﹣11mB【解析】0.3nm用科学记数法表示为：3×10﹣10m，故选：B．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，过点O作OF⊥OE，若∠AOC＝42°，则∠BOF的度数为（）A．48° B．52° C．64° D．69°D【解析】∵∠AOC＝42°，∴∠BOD＝∠AOC＝42°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝21°，∵OF⊥OE，∴∠BOF＝90°﹣21°＝69°．故选：D．4．下列运算正确的是（）A． B． C． D．D【解析】A、，非同类项，无法合并，故此选项不合题意；B、＝＝，故此选项不合题意；C、，故此选项不合题意；D、＝＝，故此选项符合题意；故选：D．5．如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．D【解析】依据“长对正、高平齐、宽相等”画如图所示的几何体的三视图为：故选：D．6．关于x的一元二次方程，下面说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个实数根 D．没有实数根D【解析】将方程化为一般形式为：，∵△＝9﹣4×1×5＜0，∴该方程没有实数根．故选：D．7．若一组数据4，9，5，m，3的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．9，3 B．4，5 C．4，4 D．5，3C【解析】∵一组数据4，9，5，m，3的平均数是5，∴4+9+5+m+3=5×5，解得：m=4，这组数据按从从小到大排列为：3，4，4，5，9,故则中位数是：4，众数是4．故选：C．8．某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时.设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程（）A． B．C． D．D【解析】设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩1.5x个，根据题意，得方程为：．故选：D．9．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°.按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径做弧，交CB、CD于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交BD于点O,交AD边于点F；则BO的长度为（）A.B．C．D．C【解析】过点D作DG⊥BC的延长线，垂足为G.由做图痕迹可知，CF为∠BCD的角平分线，∴∠BCF=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠BCF=∠DFC,∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC=4，∵AB∥CD，∴∠DCG=∠ABC=60°，∴CG=CD·cos60°=2，DG=CD·sin60°=，在Rt△BGD中，BG=5+2=7,DG=，∴BD==，∵AD∥BC，∴，∴BO=BD=.故选C.10．如图1，点P为△ABC边上一动点，沿着A→C→B的路径行进，点P作PD⊥AB，垂足为D，设AD＝x，△APD的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则依据图中的数量关系计算△ACB的周长为（）A.B.15C.D.C【解析】由图像可知函数图像的拐点处坐标为（4,6）,结合图3可知，当点P运动到C点时，y有最大值6，可知：y=AD·CD，代入数据得CD=3,在Rt△ADC中，AC==5，当点D运动到B点时，函数值为0，故AB=，∴BD=4+-4=，在Rt△BDC中，CD=3,BD=,tanB=,得∠B=60°，由BD=BC·cos60°，得BC=,∴△ABC的周长为：5++4+=.故选:C.二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：＝．-1【解析】原式＝1+（-2）＝-1．故答案为：-1．12．不等式组的解集为．【解析】，解不等式①得；解不等式②得；∴原不等式组的解是，故答案为：．13．国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是.【解析】依据题意，画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的汉字恰为相反意义的有4种结果，所以“抽到的汉字恰为相反意义”的概率为P==，故答案为：．14．△ABC为等边三角形，点O为AB边上一点，且BO=2A0=4，将△ABC绕点O逆时针旋转60°得△DEF，则图中阴影部分的面积为．【解析】连接OC，OF，作CG⊥AB，OM⊥BC，FH⊥AB的延长线于点H．∵BO=2A0=4，∴AO=2，AB=6，∵CG⊥AB，∴BG=AG=AB=3，CG=BC·sin60°=，∴OG=3-2=1，Rt△OGC中，OG=1，CG=，∴OC==，易证△NEC，△AOD，△BOE为等边三角形，四边形AOEF为等腰梯形，∴AF=OE=4，CE=AO=2，OM=HF=4×sin60°=，∵′==，===,==,==,∴=++--=.故答案为．15．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P为AB边中点，点E为AC边上不与端点重合的一动点，将△ADP沿着直线PD折叠得△PDE，若DE⊥AB，则AD的长度为.或【解析】分类讨论如下：①当点E在直线AC上方时，如图1，设DM=x.∵∠A=∠A，∠AMD=∠C，∴△AMD∽△ACB，∴AM:MD=AC:BC=2，∴AM=2x,在Rt△AMD中，AM=2x,DM=x,∴AD==，∴DE=AD=,∴ME=,在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，∴AB==,∴AP=AB=,∴MP=∵∠E=∠A，∴tan∠E==,即：，解得：，∴AD==；②当点E在直线AC上方时，如图2，设DN=y.∵DN=y,同①可得AD=，AN=2y，∵AP=,∴PN=，EN=,∵tan∠E==,∴，解得：，∴AD==；故答案为：或．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：，请从-2，-1,0,1,中选择一个合适的值代入求值．解：原式===；∵当x取-2，-1，1，原分式无意义，∴x只能取0,当x＝0时，原式==1．17．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG,已知AG=EG.（1）求证：AG为⊙O的切线；（2）已知AG＝2，填空：①当∠AEG＝°时，四边形ABOF是菱形；②若OC=2DC，当AB＝时，△AGE为等腰直角三角形．证明：（1）如图，连接OA，OF，AF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠GDC=90°，∴∠ACO+∠DEC=90°，∵∠DEC=∠GEA，∴∠GEA+∠ACO=90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO+∠GAE=90°，即∠GAO=90°，∵OA为半径，∴AG为⊙O的切线；（2）答案为：60°；.提示如下：①若四边形ABOF为菱形，∴AB=AO，又∵AO=BO，∴△AOB为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ACB=90°-60°=30°，∴∠AEG=∠DEC=90°-30°=60°；②如图所示，若△AGE为等腰直角三角形，∴∠AEG=∠DEC=∠DCE=45°，∴△EDC和△BAC都是等腰三角形，在等腰Rt△BAC中，AO为斜边中线，∴∠AOC=90°，∵∠AOC=∠ODG=∠AGE=90°，∴四边形AODG为矩形，∵OC=2DC，∴OD=DC=AG,易证△AGE≌△CDE，∴AE=EC=AG=，∴AB=AC=2AE=.故答案为：60°；.18．（9分）某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学”活动，借助某软件平台随机抽取了该校部分学生的在线学习时间,并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请你根据以上信息回答下列问题（1）本次调查的人数为，学习时间为7小时的所对的圆心角为；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校共有学生1800人，估计有多少学生在线学习时间不低于8个小时.解：（1）50，86.4°，解答如下：本次调查的人数为:20÷40％=50（人），学习时间为9小时的人数为:50×30％=15（人），学习时间为7小时的人数为:50-15-20-3=12（人），所对的圆心角为:360°×=86.4°；故答案为：50，86.4°；（2）依据（1）中相关数据，补全频数分布直方图如下：（3）1800×（30％+40％）=1260（人）.答：估计全校有1260在线学习时间不低于8个小时.19．（9分）如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的C点观察篮板上沿D点的仰角为45°，在支架底端的A点观察篮板上沿D点的仰角为54°，点C与篮板下沿点E在同一水平线，若AB=1.91米，篮板高度DE为1.05米，求篮板下沿E点与地面的距离.（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.60，tan54°≈1.33）解：过D作DF⊥AB的延长线于F，连接CE.在Rt△DEC中，∠DCE=45°，DE=1.05（米），∴CE=DE=1.05（米），∵∠CBF=∠F=∠CEF=90°，∴四边形CBFE为矩形，∴CE=BF=1.05（米），∴AF=AB+BF=2.96（米），在Rt△AFD中，AF=2.96（米），∠DAF=54°，由DF=AF·tan54°得DF≈3.94（米），∴EF=3.94-1.05≈2.9（米）.答：篮板下沿E点沿与地面的距离为2.9米.20．（9分）为了迎接体育理化加试，九（2）班同学到某体育用品商店采购训练用球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球需付210元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球需付费130元.（优惠措施见海报）（1）求A，B两品牌足球的单价各为多少元？（2）为享受优惠，同学们决定购买一次性购买足球60个，若要求A品牌足球的数量不低于B品牌足球数量的3倍，请你设计一种付费最少的方案，并说明理由.解：（1）设A品牌足球的单价为x元，B品牌足球的单价为y元，根据题意得：，解得，答：A品牌足球的单价为50元，B品牌足球的单价为30元；（2）设购买A品牌足球为a个，则购买B品牌足球为（60﹣a）个，根据题意得：，解得，故A品牌足球可享8折，B品牌足球原价；设购买A，B两品牌足球的总费用为W元，则W＝0.8×50a+30（60﹣a）＝10a+1800，∵k＝10＞0，∴W随x的增大而增大，∴当a＝45时，花费最少，最少费用为：10×45+1800＝2250（元）．答：购买A品牌足球45个，B品牌足球15个花费最少，最少费用为2250元．21．（10分）如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数与坐标轴交于A、B两点，反比例函数（x＞0）经过一次函数上一点C（2，a）.（1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图像；（2）依据图像直接写出当时不等式的解集；（3）若反比例函数与一次函数交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10.解（1）由图知点A坐标为（0,4），点B的坐标为（8,0），一次函数经过A、B两点，∴，解得：，∴一次函数解析式为：，∵经过点C（2，a）,∴，∴点C坐标为（2,3），∵反比例函数经过点C（2，3），∴，∴反比例函数解析式为：；（2）描绘出反比例函数（x＞0）的图像如下：依据函数图像可得，当时,不等式的解集为；（3）由图像可知点C的坐标为（2,3），点D的坐标为（6,1），依据勾股定理可得CD==,已知矩形面积为10的情况下，分类讨论：若以CD为边构造矩形，则矩形的另一边为；若以CD为对角线的情况下构造矩形，此时矩形为正方形，得其边长为，故构造符合题意的矩形共有两个，如图所示.22．（10分）．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是．类比探究：（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？；拓展延伸：（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度．解：（1）如图3，过点D作DE⊥BC，垂足为E，设BC=m.在Rt△ABC中，∠BAC=30°，由BC=AB·tan30°，BC=AC·sin30°，得AC=2m,BC=m，∵AC=AD，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m，∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt△DEC中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m，∴CE=CD·cos60°=m，DE=CE·tan60°=m，∴在Rt△BED中，BD==，∴==,故BD=AC.故答案为：120°；BD=AC.（2）不成立，理由如下：设BC=n，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m，AC=BC=n，∵AC=AD，∠CAD=90°，∴△CAD为等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，CD=AC=2n，∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt△BCD中，BD==，∴==，,故BD=AC.答案为：90°；BD=AC.故结论不成立.（3）AP的长为或.；解答如下：∵PB=PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A、B、C、P四点共圆，以线段BC的中点为圆心构造⊙O，如图4，图5，分类讨论如下：①当点P在直线BC上方时，如图4，作PM⊥AC，垂足为M，设PM=x.∵PB=PC，∠BPC=90°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP为等腰直角三角形，∴AM=PM=x，AP=PM=x，在Rt△ABC中，AB=2,AC=4，∴BC==，∴PC=BC·sin45°=，在Rt△PMC中，∵∠PMC=90°，PM=x，PC=，CM=4-x，∴，解得：，（