第十八章平行四边形全章教案

第十八章平行四边形本章概述本章分为平行四边形、特别的平行四边形两节、是在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形;并通过平行四边形角、边的特别化,研究矩形、菱形和正方定理,进一步明确命题及其逆命题的关系,不断发展学生的合情推理和演绎推理能力、定定理;在平行四边形概念和性质定理的基础上,介绍两条平行线之间距离的概念;作为性质定理和判定定理的应用,探究并证明三角形中位线定理、们的特别情况,即同时具有两个特别条件的平行四边形--正方形,它是有一个角是直角的特别菱形,又是有一组邻边相等的特别矩形,因此正方形具有各种四边形所具有的性质、最后给出了正方形的概念,并让学生自己研究它的性质和判定方法、教学目标、2。探究并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,并能运用计算、3。了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离、学生的数学活动经验和体验,进一步培养学生的合情推理能力、6、通过平行四边形以及特别平行四边形的性质定理、判定定理以及相关问题的证明和计算,进一步培养和发展学生的演绎推理能力。7。通过分析平行四边形与各种特别平行四边形概念之间的联系与区别,使学生进一步认识特别与一般的关系。课时安排本章教学时间约需15课时,具体安排如下:数学活动ﻩ7课时18、1平行四边形教案A教学内容教学目标2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证、教学重点行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用。教学难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算、教学过程一、导入新课问题:平行四边形是常见的图形、观察下列图片,您能找出平行四边形的形象不？您还能举出其他例子不?设计目的:通过图片,让学生感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程、二、新课教学教师引导学生回顾往常的知识,给出定义。四边形ABCD记作“□ABCD"、注意:教师在教学时要结合图形,让学生认识清楚什么是四边形的对边？三角形中有没有对边的概念？四边形中不相邻的边叫做对边;三角形中没有对边的概念,只有角所对过渡:关于平行四边形,从定义出发,您能得出它的性质不?它的角之间有什么关系？度量一下,和您的猜想一致不？教师引导学生证明猜想,体会证明思路的分析方法和把四边形问题转化成三角形问分析:上述猜想涉及线段相等、角相等、我们明白,利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等,是证明线段相等、角相等的一种重要的方法、为此,我们通过添加辅助线,构造两个三角形,通过三角形全等进行证明、作对角线是解决四边形问题常用的辅助线,通过作对角线,能够把未知问题转化为已问题、证明:如右图,连接AC、∵AD∥BC,AB∥CD,又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA、∴AD＝CB,AB＝CD,同理能够证明∠BAD=∠DCB、平行四边形具有以下性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等、三、实例探究ABBFCDEFAECF证明:∵四边形ABCD是平行四边形,又∠AED=∠CFB＝90°,四、课堂小结您学习了什么,还有那些问题?五、布置作业教学内容教学目标教学重点平行四边形性质的灵活应用。教学难点平行四边形性质的灵活应用。教学过程一、导入新课通过复习导入新课的教学。二、新课教学性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB＝CD、也就是说,两条平行线之间的任何两条由此,我们能够明白,假如两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等,从而得出概念:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离。如图,a∥b,A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间点与点之间的距离、点到直线之间的距离有什么联系和区别呢?三、实例探究例已知:如下图,四边形ABCD是平行四边形,且∠EAD=∠BAF,(2)若CE＝8,求四边形ABCD的周长、证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥EC,∠E＝∠FAB。∴∠F=∠EAD、∴∠E＝∠F,△CEF是等腰三角形、(2)∵∠E=∠F＝∠EAD,∴AD＝ED、∵CE＝8,∴AD+DC=8,C=2×8=16、□ABCD四、课堂小结任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在这两条平行线间最短的线五、布置作业教学内容教学目标教学重点教学难点综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算、教学过程一、导入新课1、什么叫平行四边形？我们差不多学习了它的哪些性质?过渡:在证明“平行四边形对角相等"这一性质时,是通过连结一条对角线,把它分成两个全等三角形来证明的、假如把平行四边形的两条对角两条对角线都连结起来,那么这两条对角线之间又有什么关系呢？下面来研究这个问题、二、新课教学上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质,下面我们研究平行四边探究:如下图,在□ABCD中,连接AC,BD,并设它们相交于点O,OA与OC,OB与OD教师先引导学生观察图形,获得对角线互相平分的感性认识,然后引导学生写出已知、我们猜想,在□ABCD中,OA＝OC,OB＝OD。与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似,我们也能够通过三角形全等证明这个猜想、请您结合下图完成证明、由此我们又得到平行四边形的一个性质:平行四边形的对角线互相平分、例如下图,在□ABCD中,AB=10,AD＝8,AC⊥BC。求BC,CD,AC,OA的长,以及□ABCD的面积、解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD=8,CD＝AB＝10、∵AC⊥BC,∴△ABC是直角三角形、依照勾股定理,又OA＝OC,OAAC=3,□ABCDS＝BC·AC=8□ABCD三、课堂小结四、布置作业教学内容教学目标4、使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法,进一步提高学生分析问题、解决问题的能力、、教学重点教学难点判定定理和性质定理的区别、教学过程一、导入新课复习平行四边形的性质,导入新课的教学、二、新课教学考虑:通过前面的学习,我们明白,平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平等,或对角线互相平分的四边形是平行四边形不？请学生依照自己的猜想填写下表:猜想3:论,填写表格、学生完成表格后,教师进一步提出问题:原命题正确,逆命题一定正确不？通过问题,能够证明,这些逆命题都成立。如此我们得到平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形、下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例,通过三角形全等进行证如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且OA＝OC,OB＝OD。求证:四边证明:∵OA＝OC,OB＝OD,∠AOD＝∠COB,∴△AOD≌△COB、∴AD∥BC、同理AB∥DC、∴四边形ABCD是平行四边形、小结:通过推理论证的真命题能够成为定理,我们把上述三个结论称为平行四边形的判定定理,加上平行四边形的定义,我们有四种判定平行四边形的方法。三、实例探究例如下图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,同时AE＝CF、求证:四边形BFDE是平行四边形、证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝CO,BO＝DO、∵AE＝CF,ECOCFEOFO又BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形、四、课堂小结五、布置作业教学内容定。教学目标使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系、一步提高学生分析问题,解决问题的能力、教学重点教学难点判定定理和性质定理的综合应用、教学过程一、导入新课复习平行四边形的三个判定定理。过渡:我们明白,两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形、假如只考虑四边二、新课教学我们明白,假如一个四边形是平行四边形,那么它的任意一组对边平行且相等、反过来,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形不?我们猜想这个结论正确,下面进行证明、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD。求证:四边形ABCD是平行四边形。∵AB∥CD,∴∠1=∠2。又AB=CD,AC＝CA,∴△ABC≌△CDA、因此我们又得到平行四边形的一个判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行三、实例探究例1如下图,在□ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点、求证:四边形ABCD是平行分析:依照平行四边形的判定定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、四、课堂小结今天学习了什么？还有什么问题?五、布置作业习题18。1第6题、教学内容、教学目标经历探究、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力。4、能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论、理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。教学重点掌握和运用三角形中位线的性质、教学难点三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法)。教学过程一、导入新课问题:平行四边形的性质;平行四边形的判定;它们之间有什么联系？平行四边形性质与判定的用途有哪些?答:平行四边形知识的运用包括三个方面:一是直截了当运用平行四边形的性质去解决某些问题。例如求角的度数,线段的长度,证明角相等或线段相等等;二是判定一个四边形是平行四边形,从而判定直线平行等;三是先判定一个四边形是平行四边形,然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题、二、新课教学前面我们研究平行四边形时,常常把它分成几个三角形,利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题。下面我们利用平行四边形研究三角形的有关问题、如下图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE、像DE如此,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。探究:观察上图,您能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系不？度量一下,DE与BC之间有什么数量关系?如下图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点、求证:DE∥BC,且DE＝BC、分析:本题既要证明两条线段所在的直线平行,又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半、将DE延长一倍后,能够将证明DE=BC转化为证明延长后的线段与BC相等。又由于E是AC的中点,依照对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,同时等于第三边的一三、课堂练习如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于O,则图中全等三角形有()分析:由平行四边形的对边平行、对角线互相平分,可得全等三角形有:△ABD和△CDB,△ADC和△CBA,△AOD和△COB、△AOB和△COD、四、布置作业习题18、1第11题、教学内容平行四边形判定定理、三角形中位线定理的应用。教学目标能运用平行四边形判定定理、三角形中位线定理进行证明和计算。教学重点平行四边形判定定理、三角形中位线定理的应用、教学难点平行四边形判定定理、三角形中位线定理的应用、教学过程一、导入新课复习平行四边形判定定理、三角形中位线定理,从而导入新课的教学、二、新课教学例1已知:如图,E,F分别为□ABCD的边CD,AB上一点,AE∥CF,BE,DF分别交CF,AE于H,G。求证:EG=FH、AECF四边形、∵AB=CD,∴BF＝DE。∴四边形BFDE是平行四边形、∵AE∥CF,∴四边形GFHE是平行四边形、∴EG＝FH、说明:本题考查平行四边形的判定定理,解题关键是设法证四边形GFHE是平行四边例2如图,已知:四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,E,F为垂足,且AE＝CF,∠BAC＝∠DCA。求证:四边形ABCD是平行四边形、证法1:∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∵∠BAC=∠DCA,∴∠BAE=∠DCF、在Rt△AEB和Rt△CFD中,∵∠AEB＝∠CFD＝90°,AE＝CF,∠BAE=∠DCF,∴△AEB≌△CFD,∴四边形ABCD是平行四边形、在△AOE和△COF中,∴△AEO≌△CFO,在△ABE和△CDF中,∵∠BAE＝∠DCF,AE＝CF,∠AEB=∠CFD＝90°,∴△ABE≌△CDF,∴BE＝DF,BE+OE=DF+OF,说明:由垂直得到平行是关键、三、课堂练习1。下列条件,能判断四边形是平行四边形的是()A。一组对角相等,一组对边相等C、一组对边平行,另一组对边相等、分析:A答案无法证明结论;B答案不能证得对角线互相平分;C答案可举等腰梯形反例;D答案可证得两组对边分别平行,符合定义、答案:D、说明:判断一个命题是否正确,可采纳反例法,即举出一个符合题设但不符合结论的例子、判断一个四边形是否是平行四边形,一定要得到四个条件中的一个。参考答案:不一定是平行四边形、如下图,△ADC≌△DAE,AB=AC=DE,则在四边形ABDE中有AB=DE,∠B=∠E,但四边形ABDE显然不是平行四边形、四、布置作业ﻬ容教学目标1。理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质、教学重点四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用、教学难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算、教学过程一、导入新课在四边形中,我们常见的实用价值最大的就是平行四边形,如小区的伸缩门、庭院的竹篱笆,还有载重汽车的防护栏杆等,都是平行四边形的形象,平行四边形有什么性质呢？这是我节课研究的主要内容、二、新课教学1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形、注意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角、而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角、教学时要结合图形,让学生认识清楚。一个四边形必须具备有两组对边分别平行才是平行四边形,反过来,平行四边形就一定方法(定义判定法)又是平行四边形的一个性质、2、平行四边形的表示:平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD”、探究:平行四边形是一种特别的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特别的性质呢？我们一起来探究一下、让学生依照平行四边形的定义画一个一个平行四边形,观察这个四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以,它的边和角之间有什么关系？度量一下,是不是和您猜想的一致？(1)由定义明白,平行四边形的对边平行。依照平行线的性质可知,在平行四边形中,相邻的角互为补角、(相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角、注意和第一章的邻角相区别。教学时结合图形使学生分辨清楚、)平行四边形性质1:平行四边形的对边相等、用两个全等的三角形拼凑一个平行四边形,能够证明以上两个性质、分析:作□ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成△ABC和△CDA,证明这两个三得到结论、作对角线是解决四边形问题常用的辅助线,通过作对角线,能够把未知问题转化为已的问题、D质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD。也就是说,两条平行线之间的任何两条平两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离、如图,a∥b,A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的(1)两相交直线无距离可言、(2)连结两点间的线段的长度叫两点间的距离,从直线外一点到一条直线的垂线段的长,叫点到直线的距离。两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离,一定要注意这些概念之间的区别与联系、四、课堂练习2、AD=BC、这时构成四边形ABCD的两组对边分别平行,它是平行四边形。依照平行四边形对边相等的性质,能够明白AD=BC、五、布置作业教学内容教学目标2。能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明教学重点教学难点综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算、教学过程一、导入新课学生2:平行四边形的对角相等,邻角互补。教师:同学们说得特别好,那么平行四边形还有其他性质不？我们今天就学习平行四二、新课教学探究:如下图,在□ABCD中,连接AC,BD,并设它们相交于点O,OA与OC,OB与OD请学生在纸上画两个全等的□ABCD和□EFGH,并连接对角线AC、BD和EG、HF,设它们分别交于点O。把这两个平行四边形落在一起,在点O处钉一个图钉,将□ABCD绕点O旋转180。,观察它还和□EFGH重合不?您能从子中看出前面所得到的平结论:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似,我们也能够通过三角形全等证明这个猜想、由此我们又得到平行四边形的一个性质:平行四边形的对角线互相平分、三、实例探究例如下图,在□ABCD中,AB＝10,AD＝8,AC⊥BC、求BC,CD,AC,OA的长,以及分析:由平行四边形的对边相等,可得BC、CD的长,在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC的长。再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长,依照平行四边形的面积计算公式:平行四边形的面积=底×高(高为此底上的高),可求得□ABCD的面积、(平行四边形的面积小学学过,再次强调“底"是对应着高说的,平行四边形中,任一边都能够作为解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD＝8,CD＝AB=10、∵AC⊥BC,依照勾股定理,□ABCDS=BC·AC=8×□ABCD四、课堂练习的周长长,长6、2。提示:证明△BOE≌△DOF,或者△AOE≌△COF、四、布置作业习题18。1第7题。教学内容平行四边形性质的应用、教学目标教学重点平行四边形性质的应用、教学难点平行四边形性质的应用、教学过程一、导入新课复习平行四边形的概念和性质,导入新课的教学、二、实例分析例1O是□ABCD对角线的交点,△OBC的周长为59,BD=38,AC=24,则AD＝,若△OBC与△OAB的周长之差为15,则AB＝,□ABCD的周长=。解:在□ABCD中,,。∴△OBC的周长∴BC＝28。∴AD＝28。△OBCD的周长－△OAB的周长=(OB＋OC+BC)—(OA+OB+AB)＝BC—AB＝15、∴□ABCD的周长=AB+BC+CD＋AD=2(AB＋BC)=2(13＋28)=82、说明:本题考查平行四边形的性质,解题关键是将△OBC与△OAB的周长的差转化例2已知:如下图,□ABCD的周长是36cm,由钝角顶点D向AB,BC引两条高DE,DF,且DE=4cm,DF＝5cm,求这个平行四边形的面积。解:设AB=xcm,BC＝ycm、∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC。又∵四边形ABCD的周长为36,∴2x+2y＝36。□ABCD□ABCD□ABCD□ABCD∴4x＝5y①②∴S□ABCD＝AB·DE＝10×4=40(cm2)。说明:本题考查平行四边形的性质及面积公式,解题关键是把几何问题转化为方程组例3如下图,已知:四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,已知平行四边形的周长为48cm,而△COD的周长比△AOD的周长多4cm、分析:求平行四边形的对边相等可知,AB=CD,AD＝BC,因此实际上给出的是AB＋AD＝24cm,又由平行四边形的对角线互相平分有,AO=CO,因此△COD的周长比△AOD解答:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等)、又∵AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分),而△COD的周长为CD＋CO+DO即AB+CO+DO,△AOD的周长为AO＋DO＋AD,三、课堂练习2。在□ABCD中,两邻角的比为1:2,则各角的度数分别为_______、3。在□ABCD中,BC=2AB,CA⊥AB,则∠B＝,∠CAD＝,∠BCD＝、4、已知□ABCD中,∠A+∠C=140°,则∠B=。F参考答案:四、布置作业教学内容。教学目标4。使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法,进一步提高学生分析问题、解决问题的能力、、教学重点教学难点判定定理和性质定理的区别、教学过程一、导入新课复习引入,构造逆命题,画图分析,讨论证法,巩固应用、分别相等、对角线互相平分、引入新课:用投影仪打出上述命题的逆命题、上述第一个逆命题显然是正确的,因为它就是平行四边形的定义,因此它也是我们判定一个四边形是否为平行四边形的基本方法(定义法)。那么其他逆命题是否正确呢？假如正确就可得到另外的判定方法(写出命题)、二、新课教学教师让学生写出其他性质的逆命题,并尝试证明、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形、边形是平行四边形不？∴四边形ABCD是平行四边形。分别相等的四边形是平行四边形。类似地,我们还会想到,两组对角相等的四边形是平行四边形不？如上图,在四边形ABCD中,假如∠A=∠C,∠B=∠D,那么∠A+∠B=＝180°、∴四边形ABCD是平行四边形、边形判定定理2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形、得我们再来证明下面定理平行四边形判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四如下图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD。求证:四边形OAOCOBOD∠AOD=∠COB,∴AD∥BC、同理AB∥DC。∴四边形ABCD是平行四边形。小结:通过推理论证的真命题能够成为定理,我们把上述三个结论称为平行四边形的判定定理,加上平行四边形的定义,我们有四种判定平行四边形的方法、判定定理1、2、3分别是相应性质定理的逆定理,相互之间分别为互逆定理,在使用例如下图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,同时AE＝CF、求证:四边形BFDE是平行四边形、ABCD角形全等,用定义或判定定理1、2都能够,还能够连结BD交AC于O、利用判定定理3简证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝CO,BO＝DO。∵AE＝CF,∴四边形BFDE是平行四边形、三、课堂小结别相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形、2、在今后解决平行四边形问题时要尽估计地运用平行四边形的相应定理,不要总是依赖于全等三角形,否则不利于掌握新的知识、四、布置作业教学内容、教学目标一步提高学生分析问题,解决问题的能力、教学重点平行四边形的判定定理4的应用、教学难点判定定理和性质定理的综合应用、教学过程一、导入新课我们明白,假如一个四边形是平行四边形,那么它的任意一组对边平行且相等、反过来,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形不?二、新课教学的四边形ABCD是平行四边形不?结论:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、这个结论正确不,下面进行证明。如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD、求证:四边形ABCD是平行四边形、证明:连接AC、∵AB∥CD,又AB=CD,AC=CA,∴BC=DA。因此我们又得到平行四边形的一个判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行三、实例探究例1如下图,在□ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点、求证:BF=DE、分析:证明BF=DE,能够证明两个三角形全等,也能够证明四边形BEDF是平行四边证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BE∥DF,且BE=AB,DF=CD。∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形)、此题综合运用了平行四边形的性质和判定,先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件,再应用平行四边形的性质得出结论;题目虽不复杂,但层次例2已知:如下图,□ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F。分析:因为BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,因此BE∥DF、需再证明BE＝DF,这需要证ABECDF边即可、证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,且AB∥CD、∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,∴△ABE≌△CDF(AAS)。∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形)、四、布置作业第6课时教学内容定。教学目标2。能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算、4。能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论、理解在证明过程中所运用、转化等思想方法、教学重点掌握和运用三角形中位线的性质、教学难点三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法)、教学过程一、导入新课前面我们研究平行四边形时,常常把它分成几个三角形,利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题、下面我们利用平行四边形研究三角形的有关问题、二、新课教学C分析:所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,能够把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形。方法1:如下图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得AD∥FC,C,DF＝BC,因为DE＝DF,因此DE∥BC且DE＝BC、(也能够过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点,证明方法与上面大体相同)方法2:如下图,延长DE到F,使EF=DE,连接CF、CD和AF,又AE=EC,因此四边形ADCF是平行四边形、因此AD∥FC,且AD=FC、因为AD=BD,因此BD∥FC,且BD=FC、EBC且DE＝BC、定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线、考虑:(1)想一想:①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么(2)三角形的中位线与第三边有如何的关系?答:(1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同。中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线、(2)三角形的中位线与第三边的关系:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边三角形中位线的性质:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半、例2已知:如下图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是ﻩAB、BC、CD、DA的求证:四边形EFGH是平行四边形、分析:因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点,能够设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系、由于四边形的对角线能够把四边形分成两个三角证明:连结AC(如上图),△DAG中,∵AH=HD,CG=GD,∴HG∥AC,HG＝AC(三角形中位线性质)、同理EF∥AC,EF=AC、∴HG∥EF,且HG＝EF、结论:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形、三、课堂练习如图,□ABCD中,∠B、∠C的平分线交于点O,BO和CD的延长线交于E,求证:BO=OE、分析:证线段相等,可证线段所在三角形全等、可证△COE≌△COB、已知OC为公共边,∠OCE=∠OCB,又易证∠E＝∠EBC、问题得证、证明:在□ABCD中,∵AB∥CD,又∵∠ABE＝∠CBE(角平分线定义)、∴△OCB≌△OCE、∴OB=OE。说明:证线段相等通常有两种方法:(1)在同一三角形中证三角形等腰;(2)不在同一三三角形全等、本题也可依照等腰三角形“三线合一”性质证明结论、四、布置作业教学内容平行四边形判定定理、三角形中位线定理的应用。教学目标能运用平行四边形判定定理、三角形中位线定理进行证明和计算。教学重点平行四边形判定定理、三角形中位线定理的应用。教学难点平行四边形判定定理、三角形中位线定理的应用。教学过程一、导入新课复习平行四边形判定定理、三角形中位线定理,从而导入新课的教学、二、新课教学例1已知:如图,A′B′∥BA,B′C′∥CB,C′A′∥AC、求证:(1)∠ABC＝∠B′,∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点、证明:(1)∵A′B′∥BA,C′B′∥BC,边形ABCB′是平行四边形、同理∠CAB=∠A′,∠BCA＝∠C′。∴AB＝B′C,AB=A′C(平行四边形的对边相等)、∴B′C＝A′C、例2小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时,拼成一个六边形、您能在图中找出所有的平行四边形不？并说说您的理由。解:有6个平行四边形,分别是□ABOF,□ABCO,□BCDO,□CDEO,□DEFO,□EFAO、理由:因为正△ABO≌正△AOF,因此AB=BO,OF＝FA、依照“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可知四边形ABCD是平行四边形。其他五个同理、三、课堂练习教材第49页练习1、2、3、四、布置作业习题18、1第12、13题、18。2特别的平行四边形第1课时教学内容教学目标教学重点教学难点矩形的性质的灵活应用、教学过程一、导入新课我们差不多明白平行四边形是特别的四边形,因此平行四边形除具有四边形的性质外,还有它的特别性质,同样关于平行四边形来说,也有特别情况即特别的平行四边形,堂课我们就来研究一种特别的平行四边形--矩形、二、新课教学活动:制一个活动的平行四边形教具,堂上进行演示图,使学生注意观察四边形角的变化,当变到一个角是直角时,指出这时平行四边形是矩形,使学生明确矩形是特别的平行四边形(特别之处就在于一个角是直角,深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别)。既然矩形是一种特别的平行四边形,就应具有平行四边形性质,同时矩形又是特别的平行四边形,比平行四边形多了一个角是直角的条件,因而它就增加了一些特别性质、接着演示教具,当它变成矩形时,学生容易看到它的四个角都是直角;它的对角线也相等(写出这两个结论),指出观察出来的结论不能做为定理,需要证明、引导学生利用平行四边形角的性质证明得出。。BOACBOAC?(这实际上是△的一个重要性质,即△斜边中点到三顶点的距离相等,它在求线段长或线段部分关系时经常用到)∴AC与BD相等且互相平分、又∠AOB＝60°,∴OA＝AB=4。的解题格式,防止学生离开几何元素之间的关系,而单纯三、课堂练习四、布置作业教学内容教学目标生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养教学重点教学难点矩形的判定及性质的综合应用、教学过程一、导入新课什么叫做平行四边形?什么叫做矩形？矩形有哪些性质?矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处?矩形是有一个角是直角的平行四边形,在判定一个四边形是不是矩形,首先看这个四边形是不是平行四边形,再看它两边的夹角是不是直角,这种用“定义"判定是最重要和最基本的判定方法(这体现了定义作用的双重性、性质和判定)、除此之外,还有其他几种判定矩形的方法,下面就来研究这些方法、二、新课教学教师可指导学生证明这两个判定定理、完成后,归纳矩形的判定方法:是直角的平行四边形、四边形。形、除教材中所举外,还能够结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值。OA＝OC＝AC,OB=OD＝BD。∴AC=BD、又∠OAD＝50°,三、课堂小结l、四、布置作业教学内容教学目标2、理解并掌握菱形的定义及性质1、2;会用这些性质进行有关的论证和计算,教学重点教学难点菱形的性质及菱形知识的综合应用。教学过程一、导入新课我们差不多学习了一种特别的平行四边形——矩形,事实上还有另外的特别平行四边形,请看演示:(可将事先按如图做成的一组对边能够活动的教具进行演示)如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念、二、新课教学强调:菱形是平行四边形;一组邻边相等、三、实例探究在Rt△OAB中,AC=2AO＝20(m),例2已知:如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E、求证:∠AFD＝∠CBE、证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB=CD,CA平分∠BCD、∴∠BCE＝∠DCE、又CE＝CE,∴△BCE≌△COB(SAS)。∵在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠AFD=∠FDC,∴∠AFD＝∠CBE、四、课堂练习五、布置作业教学内容教学目标1、理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算;教学重点方法、教学难点判定方法的证明方法及运用、教学过程一、导入新课(1)菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形;(2)菱形的性质1:菱形的四条边都相等;性质2:菱形的对角线互相平分,同时每一条一组对角。(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?(判定:2个条件)照定义判定外,还有其他的判定方法不？二、新课教学∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD、∴□ABCD是菱形、求证:四边形AFCE是菱形、∴△AOE≌△COF、∴EO＝FO。∴四边形AFCE是平行四边形、□AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。这两个题目都是菱形判定方法的直截了当的运用,主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法,并会用这些判定方法进行有关的论证和计算、三、课堂练习一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成,前一个菱形对角线的交点,是后一个菱形的点。画出花边图形、四、布置作业教学内容教学目标义教育,提高学生的逻辑思维能力。教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系、教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用、教学过程一、导入新课教师指导学生用一张长方形的纸片折出一个正方形、学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系、二、新课教学有一组邻边相等同时有一个角是直角的平行四边形叫做正方形、教师指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意思:(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形);(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形)。正方形有什么性质?教师引导学生考虑、讨论。由正方形的定义能够得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角三、实例探究例2已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于分析:要证明OE＝OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,能够得到∠AOE=∠DOF=90°,AO＝DO,再由同角或等角的余角相等能够得到∠EAO=∠FDO,依照ASA能够得到这两个三角形全等,故结论可得。证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOE=∠DOF＝90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等)、O∴△AEO≌△DFO、∴OE=OF、四、课堂练习五、布置作业ﻬ第6课时教学内容平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关知识、教学目标教学重点知识体系的结构化整理和选择性应用、教学难点知识体系的结构化整理和选择性应用。教学过程一、问题导入本章学习了哪些特别的四边形？是依照什么次序来学习的？您能说出四边形之间二、复习整理1、教师有条理地引导学生回顾概念,并建立概念之间的联系,绘制图表进行总结、(1)平行四边形性质:对边分别平行且相等,对角相等;对角线互相平分;是中心对称图形、判定:具有两组对边分别平行,两组对边分别相等;一组对边平行且相等;对角相等;对角线互相平分;其中一种的四边形为平行四边形、(2)矩形性质:对边分别平行且相等;四个角全为直角;对角线互相平分且相等;是中心对称也判定:有三个直角的四边形;有一个直角的平行四边形;对角线相等的平行四边形为性质:对边平行,四边相等;对角相等;对角线互相垂直平分,且对角线平分对角,既是中心对称图形也是轴对称图形、判定:四边相等的四边形;一组邻边相等的平行四边形;对角线互相垂直的平行四边性质:对边平行,四边相等;四个角是直角;对角线互相垂直平分且相等,且对角线平分对角;既是中心对称图形也是轴对称图形、判定:有一个直角一组邻边相等的平行四边形,一组邻边相等的矩形;一个角为直角三、综合应用例1如下图,已知:在矩形ABCD中,DF平分∠ADC,交AC于E,交BC于F,∠BD求:∠DOC和∠COF的度数、分析:四边形ABCD是矩形,那么它的两条对角线把它分成了四个直角三角形和四由已知DF平分∠ADC可得∠ADF=∠CDF=45°,∴∠ODC＝45°＋15°＝60°、在△DCF中,∠FDC=45°,∠DCF＝90°,故CF=DC＝OC,∴△OCF是以∠OCB为顶角的等腰三角形,因此可求得∠COF的度数、解答:∵DF平分直角∠ADC,∴∠ODC＝45°＋15°=60°。又∵OC＝OD(矩形的对角线相等且互相平分),∴△ODC是等边三角形。又∵在Rt△DFC中,∠DFC+∠FDC=90°,说明:矩形的对角线总能够将矩形化为直角三角形和等腰三角形,解题时要注意利用特别三角形的性质、分析:要证明△OEF是等腰直角三角形,只要证OE＝OF,∠EOF＝90°、观察图可知,OE、OF在△OAE和△OBF中,因此只要证明△OAE≌△OBF即可。∴OA＝OB,∠AOB＝90°,∠CAB＝∠CBD＝45°、∵ME⊥AB,MF⊥BC,∴四边形MEBF是矩形,∴ME＝BF。∵ME⊥AB,∴AE＝ME,AE=BF、AOB∴OE=OF,∠AOE=∠BOF、∵∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝∠BOE+∠AOE＝∠AOB=90°,∴△OEF是等腰直角三角形、四、布置作业ﻬ容标概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系。教学重点教学难点矩形的性质的灵活应用、教学过程一、导入新课1。展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等),想一想这个地方面应用了平行四边形的什么性质?察不管如何拉,它依然一个平行四边形不?为什么?(动画演示拉动过程如图)边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形?(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义。矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)、矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象、二、新课教学探究:在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线),拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状、(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度分别是如何变化的?(2)当∠α是直角时,平行四边形变成矩形,此时它的其他内角是什么样的角?它的两操作,考虑、交流、归纳后得到矩形的性质、三、实例探究分析:因为矩形是特别的平行四边形,因此它具有对角线相等且互相平分的特别性质,依照矩形的这个特性和已知,可得△AOB是等边三角形,因此对角线的长度可求、解题过程见教材、D及点A到BD的距离AE的长、分析:(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而此题利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法、略解:设AD=xcm,则对角线长(x＋4)cm,在Rt△ABD中,由勾股定理可知解得x=6。则AD＝6cm、边及斜边上的高的一个基本关系式:AE×DB＝AD×AB,解得AE＝4、8cm。F=BE,只要证明△ABE≌△DFA即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形、∵DF⊥AE,AE∴△ABE≌△DFA(AAS)。∴EF＝EC、此题还能够连接DE,证明△DEF≌△DEC,得到EF＝EC、四、课堂练习五、布置作业教学内容教学目标2。使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养教学重点教学难点矩形的判定及性质的综合应用、教学过程一、导入新课条和两根长度相等的长木条制作,您有什么方法能够检测他做的是矩形像框不？看看谁二、新课教学通过讨论得到矩形的两个判定定理、注意:判定一个四边形是矩形,明白三个角是直角,条件就够了。因为由四边形内角和可知,这时第四个角一定是直角、例2已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4cm,求这个平行四边形的面积、分析:首先依照△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理计算边长,从而得到面积值、∴AO=AC,BO=BD。∵AO＝BO,∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)、∴BC==(cm)、三、课堂练习下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么?(√)7。对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;(×)8、一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形(√)指出:1所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形;2所给四边形添加的条件是三个独立条件,但若与判定方法不同,则需要利用定义和判定方法证明或举反例,才能四、布置作业教学内容教学目标3。通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力、教学重点教学难点菱形的性质及菱形知识的综合应用、教学过程一、导入新课1。什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么?3。矩形的一个角的平分线把较长的边分成5cm、3cm,求矩形的周长、教师引导学生复习上节内容,导入新课的教学、二、新课教学1、菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形、讲解这个定义时,要抓住概念的本质,应突出两条:(1)强调菱形是平行四边形、(2)一组教师强调,菱形既然是特别的平行四边形,因此它就具有平行四边形的一切性质,此外由于它比平行四边形多了“一组邻边相等”的条件,和矩形类似,也比平行四边形增加了一师:同学们依照菱形的定义结合图形猜一下菱形有什么性质(让学生们讨论,并引导学生分别从边、角、对角线三个方面分析)、生:因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形,因此依照平行四边形