代数系统的一般性质嘉应

代数系统的一般性质嘉应1第1页，共19页，2023年，2月20日，星期三例6.1<Z+,+>是半群。<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群和独异点，其中+表示普通加法。幺元是0。<N,+,0>,…,<R,+,0><Mn(R),·>是半群和独异点,其中·表示矩阵乘法。矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E.<Mn(R),·,E><Σ*,˚>是半群和独异点,其中Σ是有穷字母表,˚表示连接运算.连接运算的幺元是空串.<∑*,˚,><P(B),>是半群和独异点,其中表示集合的对称差运算．对称差运算的幺元是.<Zn,>是半群和独异点,其中Zn={0,1,…,n-1},表示模n加法。模n加法的幺元是0.<Zn,,0>.2第2页，共19页，2023年，2月20日，星期三因为半群V=<S,˚>中的运算˚是可结合的,可以定义运算的幂．对任意的x∈S,规定xn是

x1=x,

xn+1=xn˚x,n为正整数。易证x的幂遵从以下规律：

xn˚xm=xn+m,(xn)m=xnm,n为正整数．半群中运算的幂3第3页，共19页，2023年，2月20日，星期三在独异点V=<S,˚,e>中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成

x0=e

xn+1=xn˚xn为非负整数．而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。独异点中运算的幂4第4页，共19页，2023年，2月20日，星期三例5第5页，共19页，2023年，2月20日，星期三6第6页，共19页，2023年，2月20日，星期三子半群半群的子代数叫做子半群．如果V=<S,˚>是半群,<T,˚>就是V的子半群,需要满足：

T是S的非空子集，

T对V中的运算˚是封闭的，即可。7第7页，共19页，2023年，2月20日，星期三独异点的子代数叫做子独异点.对独异点V=<S,˚,e>,<T,˚,e>构成V的子独异点，需要满足：

T是S的非空子集，

T要对V中的运算˚封闭，

e∈T，即可。子独异点8第8页，共19页，2023年，2月20日，星期三9第9页，共19页，2023年，2月20日，星期三试证上述定理并思考：

若干个子半群的并是子半群吗？10第10页，共19页，2023年，2月20日，星期三积半群定义设V1=<S1,˚>,V2=<S2,*>为半群,则V1×V2=<

S1×S2,·>也是半群,且对任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有

<a,b>·<c,d>=<a˚c,b*d>称V1×V2为V1和V2的积半群.11第11页，共19页，2023年，2月20日，星期三半群同态定义设V1=<S1,˚>,V2=<S2,*>为半群,

:S1→S2，且对任意x,y∈S1有

(x˚y)=(x)*(y)则称为半群V1到V2的同态．12第12页，共19页，2023年，2月20日，星期三例半群V=<S,.>,其中S=.是矩阵乘法。令

:S→S,那么有

==

=这说明是半群V的自同态,但不是满自同态13第13页，共19页，2023年，2月20日，星期三独异点的积代数设V1=<S1,˚,e1>,V2=<S2,*,e2>是独异点,则它们的积代数是

V1×V2=<S1×S2,.,<e1,e2>>其中的·定义与积半群一样．即：对任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有

<a,b>·<c,d>=<a˚c,b*d>14第14页，共19页，2023年，2月20日，星期三V1=<S1,˚,e1>,V2=<S2,*,e2>是独异点,设

:S1→S2,如果对任意x,y∈S1都有

(x˚y)=(x)*(y)

(e1)=e2,则称为独异点V1到V2的同态˚独异点的同态15第15页，共19页，2023年，2月20日，星期三例独异点V=其中S=，.是矩阵乘法。令

:S→S,那么对任意x,y∈S都有

16第16页，共19页，2023年，2月20日，星期三但是而不是独异点V的么元,因此,不是独异点V的自同态。这就是说,如果把V看作半