插板法原理及应用

插板法原理及应用理论分析：假定M个元素，分成N组。M个元素中间有(M-1)个空，如果想分为N组的话需要插入(N-1)个木板，所以方法数为：C (M-1，N-1)；注意插板法的三要件：①相同元素分配；②所分组是不相同的；③每组法的三种基本形式：(1)将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法●△●△●△●△●△●△●△●对于不满足第三个条件---即“每组至少一个”的情况，要先转化为标准形式，再使用插板法。(2)将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放两个球，一共有多少种方法个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C(42)=6(3)将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法楚香凝解析：此时因为每个盒子可以分0个，先让每个盒子提供一个球子，每个盒子至少一个，插板法C(102)=45种，选D此时也可以根据八个球之间9个空，两个板子插不同的空有C(92)=36对比三种不同的考法，其实它们之间是存在密切联系的。(102)种；(72)种；(42)种；这三种基本形式，要牢牢掌握。例2：某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多例3：某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有()种。★插板法技巧进阶篇子，每个盒子至少一个球，插板法C(62)=15种，选B个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况个盒子至少一个球，插板法C(82)=28种，选D例6：现有9块巧克力(其中5块有夹心)，若将这些巧克力分给3个小3块即可，选A对于插板法的基础题型来说，最关键的一步就是把题中的条件转化成插板法的标准形式，即“每组至少一个”。①在直接使用插板法时，有时会出现不满足题意的情况，需要减掉。用。已知每个部门都需要新电脑,且每个部门最多得到5台，那么电脑分配方法共有()种。【广东2013】楚香凝解析：插板法C(92)=36种；然后去掉不满足题意的情况(即有的部门多于5台)：选一个部门C(31)、先分给这个部门5台，再3个部门，插板法C(42)，则不满足题意的情况有C(31)×C(42)=18种，满足题意的情况有36-18=18种，选C②有时直接正面使用插板法，因为需要减掉的情况比较多，可以考虑从反面入手，利用“先全部分下去再收回一部分”的思想。那么有多少种分法【河南招警2011】B．19C．20D．21例4：某快问快答节目第一关设置4道题，选手答错任意一题则立即停止答题。比赛规定：第一题到第四题的答题时间分别限定在10、8、6、3秒内(选手每题的答题时间都计为整秒且至少为1秒)，某位选手通过道题，每道题至少分0个，再去掉三个名额都分给第四题的情况，插板如果对于以上知识都已理解，可以通过下面几道练习题进行巩固。 练习2：某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得分到多于9份的情况(即10+1+1)、有C(31)=3种，则满足题意的情练习3：某办公室接到18份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得每人至少1个，有C(31)×C(32)=9种，则满足题意的情况有55-9=46种，选B练习4：某办公室接到16份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也三种颜色的球都有，有多少种不同的抽法楚香凝解析：相当于16个名额分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，C色C(31)、先分给它10个，剩下6个名额再分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C(52)=10，则满足题意的情况有105-3×10=75★插板法技巧之比赛得分计算 (1)某社区组织开展知识竞赛，有5个家庭成功晋级决赛的抢答环节，么，一个家庭在抢答环节有可能获得()种不同的分数。楚香凝解析：有没有基础分并不影响得分的情况数；相当于把5道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C(7通过分类可以看的更加清楚，答对一道和答错一道相差5+2=7分；(2)某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是答对一道得4分，答楚香凝解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C(122)=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是4×1+(-1)×4=0，即答对一道+答错0分的情况有两种，所以在对剩余的五道题进行插板分配时C(72)重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-21=45种，也可以结合一个具体的得分进行说明，比如8这个得分，8=4×2=4×3+ (-1)×4，有两种可能：(1)答对两道、不答八道，(2)答对三道、答错四道、不答三道；两种可能性进行对比，消掉相同部分(答对两道、不答三道)后，(1)不答五道，(2)答对一道、答错四道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答五道=答对一道+答错四道，即如果先拿出五道题，对剩下五道题进行插板，这C(72)=21种情况都会出现重复、(3)某测验包含10道选择题，评分标准为答对得3分，答错扣1分，不答得0分，且分数可以为负数。如所有参加测验的人得分都不相同，楚香凝解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱得分是重复的，出现重复的原因是3×1+(-1)×3=0，即答对一道+答错0分的情况有两种，所以在对剩余的六道题进行插板分配时C(82)重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-28=38种，15=3×5=3×6+(-1)×3，有两种可能：(1)答对五道、不答五道， (2)答对六道、答错三道、不答一道；两种可能性进行对比，消掉相同部分(答对五道、不答一道)后，(1)不答四道，(2)答对一道、答错三道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答四道=答对一道+答错三道，即如果先拿出四道题，对剩下六道题进行插板，这C(82)=28种情况都会出现重复、需要减掉。对于加分和减分不互质的情况，需要进行一步转化。(4)某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是答对一道得4分，答应等于多少楚香凝解析：相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱得分是重复的，出现重复的原因是4×1+(-2)×2=0，即答对一道+答错0分的情况有两种，所以在对剩余的七道题进行插板分配时C(92)重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-36=30种，(5)某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是回答完全正确得5楚香凝解析：先做一步转化，使之转化为标准型。鸡兔同笼思想：假设(6)在一次数学考试中，有10道选择题，评分办法是：答对一题得4人得分相同。那么，参加考试的学生至少有多少人楚香凝解析：先求得分情况有多少种；插板法，C(122)-C(72)=45(7)学生参加数学竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3少人得分相同楚香凝解析：先求得分情况有多少种；插板法，C(222)-C(182)=78种，抽屉原理之平均分配问题，1978÷78=25…28，所以每种得分先(8)小梁买了一个会走路的机器猫玩具，这个机器猫只能走直线不能拐弯，并且只有向前走1cm、3cm、5cm这三种步伐。小梁可以通过遥控器控制机器猫的每一种步伐。若在小梁的控制下机器猫走了4步，该机器猫可以到达()种不同的距离。解法一：最少走4cm、最多走20cm，所以4~20之间的偶数都可以到多少种可能★插板法技巧之常见应用模型(1)方程a+b+c=10有多少组正整数解楚香凝解析：相当于把10个相同的苹果分给三个人，每人至少一个，插(2)不等式a+b+c≤10有多少组非负整数解法(3)(A+B+C)10的展开式中共有多少项楚香凝解析：对于(A+B+C)10的展开式中的任何一项Ax×By×Cz，都 (4)有10颗糖，如果每天至少吃一颗(至多不限)，吃完为止，问有多少种不同的吃法若3天吃完，插板法有C(92)种…，共C(90)+C(91)+C(92)+…+C(99)=29=512种，选C糖数就不同，共29=512种，选C (5)有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257、303369、1347等等，这类数共有多少个楚香凝解析：前两位固定，则第三位及之后的数都固定，首位+第二位(6)有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之差，直至不能再写为止，如7523、9817、63303等等，这类数共有多少个楚香凝解析：从最后两位考虑，若个位和十位固定，则往前依次固定， 补充：这类自然数中最大的为(7)4位同学分五个苹果、1个梨，每位同学至少分到一个水果，有多少种不同的分法种种种种楚香凝解析：先分梨有C(41)=4种，假设分给了甲；接下来把五个苹水果，有多少种分配方式一：先分梨，分类；个梨分给同一个人，C(41)=4种，假设都分给了甲；接下来5个苹果分给甲乙丙丁，乙丙丁每人至少分1个苹果，插板法C(53)=10个梨分给了两个人，C(42)×2=12种，假设分给甲2个、乙1 到-至少3人没分到=C(83)×C(63)-C(41)×C(72)×C(52)+C(42)×C(61)×C(41)-C(43)=420种，选B(9)有一个两位数A，将其个位数字与十位数字互换得到与之不同的两楚香凝解析：ab+ba=11(a+b)，则2＜a+b＜10，补上百位、用百位去凑C(92)=36种，去掉a=b的四种(11、22、33、44)，满足题意的有(10)小明将一颗质地均匀的正六面体骰子，先后抛掷2次，两次点数618618楚香凝解析：总情况数有6×6=36种；不满足题意的情况数，两次点数概率=(36-10)/36=13/18，选D★插板法技巧应用之取球问题(1)箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合结：三种颜色的球各一颗，取三颗，有C(3，3)=1种取法。三种颜色的球足够多，取三颗，【取三补二】，有C(3+2，3)=C(5果，有多少种取法(3)一个袋里有四种不同颜色的小球若干个，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次 0种，抽屉原理，每种情况分9次，此时刚好不满足题意，再解法二：四种颜色的球足够多、取两个，取2补1，C(4+1，2)=10种，抽屉原理，每种情况分9次，此时刚好不满足题意，再分一次必然(4)有四种颜色的文件夹若干，每人可任取1~2个文件夹，如果要保证有3人取到完全一样的文件夹，则至少应该有()人去取。C时刚好不满足题意，再分一个人必然满足，14×2+1=29次，选D解法二：补上第五种颜色，不论前四种颜色总共取了几个，用第五种去凑满2个(注意取的2个不能都是第五种颜色)；相当于五种颜色的文人，此时刚好不满足题意，再分一个人必然满足，14×2+1=29次，选D (5)某公司年终晚会有一节目：A、B、C三种盒子各有若干，盒子装有持人将所拿盒子数量与种类完全相同的员工分为一组。则人数最多的一楚香凝解析：补上D种盒子，不论前三种盒子总共取了几个，用D种盒取三个，有C(4+2，3)=20种；抽屉原理，32120=16…1，人数最多的组至少有16+1=17名员种颜色的球都有，有多少种不同的抽法个名额分到红白黑三个箱子，每个箱子至少一个、至多个箱子C(31)=3，提前分10个给这个箱子，剩下六个名额分三个箱子，每个箱子至少一个，插板法C(52)=10种；满足题意的方法有★插板法技巧应用之数码和篇(1)在1~999这999个数中，数码和是9的数有多少个(比如36，数当于把9个名额分到百位、十位、个位，每位至少分0(2)数码和是9的三位数有多少个(