恒定电流的电场和磁场-4课件

第三章静态电磁场II：恒定电流的电场和磁场3.1恒定电场的基本方程与场的特性

1．恒定电场

而流通稳定直流的前提是：闭合面内不能有自由电荷的增减又由麦克斯韦组的另一旋度方程而导电媒质的构成方程为由此可见，导电媒质中(电源区域外)恒定电场具有无散无旋场。电荷守恒定律图扇形导电片中的恒定电流场2

=0

仿照静电场的处理，引入标量电位函数(r)作为辅助场量，即令E=-

，可得电位满足拉普拉斯方程，即例1：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电位差为U0。试求导电片内电流场分布及其两端面间的电阻。[解]：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位，其边值问题为：

积分，得

=C1+C2

由边界条件，得故导电片内的电位

电流密度分布为对于图示厚度为t的导电片两端面的电阻为平行板电容器板间距离为d，其中媒质的电导率为，两板接有电流为I的电流源，测得媒质的功率损耗为P。如将板间距离扩为2d，其间仍充满电导率为的媒质，则此电容器的功率损耗是多少？如果是接有电压为U的电压源，重复上问题。要在导电媒质中维持一恒定电场从而维持一恒定电流，必须将导电媒质与电源相接，由电源不断得提供维持电流流动所需的能量。1、电源电源是一种能将其它形式的能量（机械能、化学能、热能等）转换成电能的装置。电源内部有将正负电荷分离开来的力，从而使正负电极间电压恒定，也使与电源相接的导体间的电压也恒定。2、电源电动势——局外力局外场强电源电动势与局外场强电源内部：含源导电媒质电流电源电动势局外场是非保守场良导体与不良导体分界面上的边界条件：

当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设1

2，由折射定律可知，只要1

90，就有2

0。这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体(20)。换句话说，这时可以不计良导体内部的电压降，而把良导体表面可近似看作为等位面。图由良导体(1)到不良导体(2)的电流流向P1J2en2J121导体与理想介质分界面上的边界条件：此时，由于Jc2n=0，必然有Jc1n=0；且E1t=E2t，电场强度的切向分量连续。应指出的是，虽然E1n=Jc1n/1=0，但E2n0，其结果将使导体外表面处的电场强度E2，与导体表面不相垂直，如图所示。然而，分量E2t与E2n相比是极其微小的，因而在研究导体外表面附近的电场时，可以略去E2t分量的影响。即近似为静电场中导体的边界条件。也就是说，当分析载有恒定电流的导体周围电介质中电场时，可以应用静电场分析方法。图输电线电场示意图++++++++UE2tE2nE2E2E2tE2nJc1Jc112两种有损电介质分界面上的边界条件：图两种有损电介质的分界面PJ2J12,21,1如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有同时，还有联立求解，得分界面上自由电荷面密度为(2)两非理想介质中的电场能量密度分别为相应的单位体积中的功率损耗分别为(3)分界面上的自由电荷面密度为图非理想介质的平板电容器中的恒定电流场2,

21,

1U0d2d1例：试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上的面电荷分布。不同媒质弧形导电片解：通解为：代入条件场强电荷面密度：显然，只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位、电场强度E和电流密度Jc的分布将分别与静电场中的电位、电场强度E和电位移矢量D的分布相一致。如果场中两种媒质分区均匀，当恒定电场与静电场两者边界条件相似，且两者对应的电导率与介电常数之间满足如下物理参数相似的条件时：则两种场在分界面上的Jc线与对应的D线折射情况相同。根据以上相似原理，就可以把一种场的计算和实验结果，推广应用于另一种场。这就是静电比拟法。由静电比拟法，有图同轴电缆中的泄漏电流SBAPb,U0oaJc

因此，可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。即例1：内外导体半径分别为a和b的同轴电缆，如图所示导体间外施电压U0。试求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。[解]：（1）解法一：恒定电场分析法

电场强度E和泄漏电流密度Jc均只有径向分量，作一半径为的同轴单位圆柱面，且令单位长泄漏电流为I，则内外导体间电压为由此可知泄漏电流密度为电缆的单位长绝缘电阻为图同轴电缆中的泄漏电流SBAPb,

U0oaJc镜像法的比拟：＝＋恒定电场模拟静电场实验因为电流场中的电流、电位分布容易测定，所以可以利用相应的电流场模型来实测待求的静电场问题。2．接地电阻接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施。计算接地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜像法得：

(a)电流线J的分布(b)镜象法图示

图半球形接地器土壤土壤aai2i土壤深埋球形接地器深埋球形接地器aobrIJAB

rP图跨步电压与危险区的分析3．跨步电压

电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地面上存在电位分布。此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨步电压。当跨步电压超过允许值时，将威胁人的生命。对于如图所示的半球形接地器，

由镜象法，地面上任意点P的电位为如图绘出了地面电位分布。设人的跨步距离为b，在距半球中心距离r点的跨步电压为设U0为人体安全的临界跨步电压（通常小于5070V），可以确定危险区半径r0为3.3恒定磁场的基本方程与场的特性1．恒定磁场的基本方程由麦克斯韦方程组，描述恒定磁场的基本方程为媒质的构成方程为

2．恒定磁场的有旋性在自由空间中，由基本方程可以得出，磁感应强度矢量B与传导电流密度Jc之间的关系为恒定磁场为有旋、无源场体电流Jc：面电流K：

线电流I：

5．磁感应强度表达式上段讨论表明，自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数A的旋度。若已知Jc(r)，可以先计算矢量磁位A，然后再通过计算A旋度计算磁感应强度B。即由矢量恒等式，得将上式代入B，得这正是毕奥—沙伐定律。由该定律可以直接计算电流源在自由空间的磁感应强度B。对于不同形式的电流源，有：体电流Jc：

面电流K：

线电流I：

3.4自由空间中的磁场计算

思路一：利用毕奥—沙伐定律直接计算电流源在自由空间的磁感应强度。或者使用真空中的安培环路定律。思路二：先求矢量磁位，再利用B=A，求磁感应强度。此外，在无电流分布的恒定磁场区域中，由于H=0，也可以引入一个类似于静电场标量电位函数的标量磁位m作为辅助函数，以简化恒定磁场的计算。1．由毕奥—沙伐定律计算磁感应强度应该注意，由毕奥—沙伐定律计算磁感应强度时，积分均为矢量积分。而对于具有对称性场分布特征的问题，应用安培环路定律更加简单。

图有限长直线电流I的磁场(a)场点P距端点垂直距离为(b)任意场点P1、P2和P3的位置示意图zLdzIIdz(dz,eR)RP(,0,0)eRzz1IP1P2P312212312o例1：计算真空中载流I的有限长直导线所引起的磁感应强度。[解]：首先，计算图(a)所示场点P处的B；然后，推广至图(b)所示任意场点P1、P2和P3处的B的计算。(1)场点P处的磁感应强度

采用圆柱坐标系，取元电流Idz，在点P处产生的dB为从而(2)场点P1、P2和P3处的磁感应强度

基于场点P处B的解答，不难理解图(b)中任意场点P1、P2和P3处的B分别为图有限长直线电流I的磁场(a)场点P距端点垂直距离为(b)任意场点P1、P2和P3的位置示意图zLdzIIdz(dz,eR)RP(,0,0)eRzz1IP1P2P312212312o(3)推论：对于P1点，若L→∞，则B为这正是应用安培环路定律的计算结果。图有限长直线电流I的磁场(a)场点P距端点垂直距离为(b)任意场点P1、P2和P3的位置示意图zLdzIIdz(dz,eR)RP(,0,0)eRzz1IP1P2P312212312o例2

无限大导体平面通有面电流,试求磁感应强度B的分布。解：导体平面放置在XOZ面上，取宽度dx的一条无限长元电流，就可以看成无限长线电流根据对称性,By

=0例3：计算真空中半径为a，载流为I的无限长直圆柱导体内部和外部的磁场。[解]：应用安培环路定律，得

(a)长直圆柱形铜导体截面(b)导体内、外|B|的变化曲线I00aloBao图无限长直圆柱形载流导体的磁场(1)导体内部(

<a)故有(2)导体外部(

>a)故有圆柱导体内、外B值随坐标的变化曲线示于图(b)。图长直载流导线的磁场LBdAAoP(x,y,0)zIdzdzLxyzR2．由矢量磁位计算磁感应强度

由于元电流矢量产生相同方向的元矢量磁位A，这使得在一些问题中A的计算比B的计算更加简单。例1：计算空气中长度为2L的长直载流导线在空间P点的矢量磁位和磁感应强度。[解]：取圆柱坐标系，由于电流沿z轴方向，故矢量磁位只有z方向分量，即当L>>

时，可表示为从而得与例1结果相符。讨论：从上例可以看出，尽管B的结果与例1相同，但当L时A不存在。其原因在于，在我们给出的标量电位和矢量磁位的计算公式中，均假定电荷和电流分布在有限区域，此时，它们的参考点选择在无限远处。但是，例2不满足这个条件，电流延伸到了无限远，这时，它们的参考点应选择在有限区域内的任意一点。仍以例2为例讨论如下，此时线电流的矢量磁位公式修改为式中C为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电流I相距0的Q点为矢量磁位参考点，应有故有

P点的矢量磁位为相应的磁感应强度为与上例结果相符。例2：试求载流短铜线产生的磁感应强度（r>>l）。位于坐标原点的短铜线解：r>>l，短载流导线可视作为一个线电流元转化为球坐标系下例3：图示无限长直平行输电线，半径为a、线间距离为2b且远大于a。试计算矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁通量。图无限长直平行输电线的磁场QoxyzII

A

P(0,-b,0)(0,b,0)120201[解]：本例为平行平面磁场，故只需计算xoy平面中任一场点P处的矢量磁位即可。由例1且设矢量磁位参考点位Q，则P点的矢量磁位A为为计算穿过输电线间单位长的磁通量，将矢量磁位参考点选在原点上，则01=02，得穿过输电线间单位长的磁通量为另外，也可以应用安培环路定律计算，即与由矢量磁位直接计算结果相同。

由本例可以看出：穿过任意曲面S的磁通量也可以直接利用矢量磁位A在该曲面S的曲线l上的环量来计算，曲面S的法线方向与曲线l的绕向满足右手螺旋关系，即例