空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA]=2，底面ABCD是直角梯形，/A为直角，AB〃CD,AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BQ与DC所成角的余弦值.解析：如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD]所在直线为心》、z轴建立空间直角坐标系，则C]（0，1，2）、B（2，4，0），ABC=（—2,—3,2），CD=（0,-1，0）.设叫与8设叫与8所成的角为S，二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2如图2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB±侧面BB&C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA±EB1.已知AB=<2，BB1=2,BC=1，ZBCC1=3.求二面角A-EB-A]的平面角的正切值.解析：如图2，以B为原点，分别以BB]、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB]的直线为x轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB]=2，AB=^2，/BCC]=3，...在三棱柱ABC-A]B]C]中，有B（0,0,0）、A（0,0,，；2）.B（0,2,0）、cc） 1 3"c） 1 3"，。且―2<a<2由EALEB^^EAEBi=°',—a\,2-a,0J3八——+a(a—2)=由EALEB^^EAEBi=°',—a\,2-a,0J3八——+a(a—2)=a2—2a+—=0,43\a——2)3 …即a—或a—元(舍去).2(W1)故E芋'2'0V)由已知有EA上EB,BA上EB,故二面角A~EB—A的平面角9的大小为向量BA与111 1 1 1 11EA的夹角.因BA=BA=(0,0,2),11rEA=V—■-EA,故cos9==1AEA|B]q云 2=志'即tan9=TVADL底面ABCD.证明ABL平面VAD；求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.解析：(1)取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系设AD=2,则A(1,0,0)、D(—1,0,0)、B(1,2,0)、V(0,0,寸3),.'.AB=(0,2,0),VA=(1,0,—侦3).由AB^A=(0,2,0耳10,—寸3)—0,得ABLVA.又ABLAD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA.AD都垂直，.LABL平面VAD；

J1J3)(2)设E为DV的中点，则E-5，。，三22・・・e^dv=k 7・・・e^dv=(3]r3。)—，0,—，EB=，，2，k227k227DV=(1,0,3).,,:.EA=?，2,-毛:.EBTDV.又EA又EA±DV,因此ZAEB是所求二面角的平面角.・・・cos；EA，EB‘\=|EADEB=旦EAEB—a;21故所求二面角的余弦值为二7四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4已知正四棱锥V—ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2s高为h.(1)求ZDEB的余弦值;(2)若BELVC，求ZDEB的余弦值.解析：(1)如图4,以V在平面AC的射影0为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox〃BC,sO)、D(-a，-sO)、V(0，0，Oy〃AB，则由AB=2a，sO)、D(-a，-sO)、V(0，0，ABE=r3ahABE=r3ah、ra3h)—a，——，，DE=，，,a，——k222J[222J./ .•BEAcos；BE，DE)：=BEDE\-6a2+h210a2+h2'-6a^+h即cosZDEB= 10a2+h2（2）因为E是VC的中点，又BE1VC,所以B^yc=所以B^yc=o,即-‘3 ah\—a,——,-

v2 22/2廿-a,a,-h)=0,a2 h2a2——————=0,.・.h=\2a.2 2 2这时co^；BE这时co^；BE,DE—6a2+h2_10a2+h2——1,^"os/DEB=—-3 3五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都为2,AB=4.（1） 证明：PQ±平面ABCD；（2） 求异面直线AQ与PB所成的角;（3） 求点P到平面QAD的距离.(2)CA,由题设知，ABCD是正方形，且AC1BD.由（1）,PQ±(2)CA,DB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图1）,易得AQ=(-2旬,-2),PB=(0,2寸2,-2),cos<AQPB>=

所求异面直线所成的角是arccos1.(3)由(2)知，点D(0,-2^2,0)AD=(-2^2,-2.部PQ=(0,0,—4).设n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，则＜n=(1-1,-^2).点P到平面QAD的距离d=”把顼，得卜云+z=°