空间向量法在立体几何中的运用

用空间向量法解决立体几何问题II高考定位II对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.II应对策略II空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性必备方法空间角的范围n异面直线所成的角⑹：0＜定2；例如：n直线与平面所成的角(0)：0W0W2；例如(3)二面角(0)：0W0Wn.例如用向量法证明平行、垂直问题的步骤建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；通过向量运算研究平行、垂直问题；根据运算结果解释相关问题.空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析关于这两点，下面会详细谈到。01BlBEIZHISHIFANGFA 01必考必记：教学相长》必备知识方法必考必记：教学相长必备知识一、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l，m的方向向量分别为a=(。］，外，％)，b=(a2，b2，c2).平面a、的法向量分别为〃=(%，b3，c3)，v=(a4，妇c4)(以下相同).(1)线面平行 l〃aOaL〃Oa/=0Oa1a3+b1b3+c1c3=0.操作步骤：(2)线面垂直 l±a^a//^^a=k^^a^=ka3，b=kb3,c1=kc3.操作步骤：

(3)面面平行a〃Ko〃〃vo〃=加0。3=如4，"3="4，c3=^c4'操作步骤：(4)面面垂直 a±Ko〃LvO"V=OOa3a4+b3b4+c3c4=0.操作步骤：二、空间角的计算两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,5,其夹角为仇贝0\a-b\cos9=\cos0\=a\5j(其中9为异面直线a,b所成的角).操作步骤：直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为g,平面a的法向量为〃，直线l与平面a所成的角为9,两向量\。血\e与n的夹角为0,则有sin9=\cos0\=g商.注意：求出直线l的方向向量l与平面a的法向量n的夹角P(锐角)并不是直线与平面所成角，应取其余角.操作步骤：二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈次，n〉即为所求二面角的平面角.J3②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示，二面角a-l书，平面a的法向量为n1,平面&的法向量为n2,(n1,n"=0,则二面有a-l-^的大小为0或先0.注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量n、n2方向相反时，则二面角的大小等于<n,n>，若两个面的法向量n、n方向相同时，则二面角大小为兀-<n,n>.2 2 1 2 2 2操作步骤：三、空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离.点P到平面a点P到平面a的距离，d=成nl

lnl(其中n为a的法向量，M为a内任操作步骤：利用向量法求空间角要破“四关”利用向量法求解空间角，可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程，利用法向量求解空间角的关键在于“四破”.第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角.I真题体验I例1.(2012-山东)在如图所示的几何体中，四边形A8CD是等腰梯形，AB〃CD—DAB=60。，FCTOC\o"1-5"\h\z上平面ABCD，AE±BD，CB=CD=CF. 』求证：BDL平面AED； \求二面角F-BD-C的余弦值.证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB〃CD，/DAB=60。，所以ZADC=ZBCD=120°,又CB=CD，所以ZCDB=30°，因此ZADB=90°，ADXBD，又AE±BD，且AEHAD=A， 人" *AE，AD平面AED，所以BDL平面AED.解连接AC，由(1)知ADXBD，所以ACXBC,又FCL平面人8。。，因此CA，CB，CF两两垂y轴，z轴，建立如图所示的空间直角直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，坐标系，不妨设CB=y轴，z轴，建立如图所示的空间直角则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D( )，F(0,0,1)，因此BD=( )，BF=(0，—1,1).设平面BDF的一个法向量为m=(x，y，z)，则m-BD=0，m-BF=0，所以x=*y=\^z，取z=1，则m=(x/3，1,1).由于CF=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，

则cos〈m,CF）— _一r—5\m\\CF\*5下面说明〈m,CF〉是否就是二面角F-BD-C的平面角:m和STCF的值，可知两个值取BD的中点S、FC的中点「求出ST的坐标，再分别计算ST异号，从而〈m,CF〉就是二面角Fm和STCF的值，可知两个值所以二面角F-BD-C的余弦值为例2.如图，四边形PCBM是直角梯形，ZPCB=90，PM//例2.如图，四边形PCBM是直角梯形，ZPCB=90，PM//BC，PM=1，BC=2，又AC=1，ZACB=120，AB±PC，直线AM与直线PC所成的角为60.（1） 求证：平面PAC上平面ABC；（2） 求二面角M-AC-B余弦值的大小.解：（1）..・PC1AB,PC1BC,A^yBC=B:.PC1平面ABC，又・.・PCu平面PAC:•平面PAC1平面ABC.（2）在平面ABC内，过C作CD1CB，建立空间直角坐标系C-xyz.…（后1J3二…2,2I22）p31］亍-2,Z由直线am与直ePC所成的解为60°，得AMfP=兀即z02=—由题意有A—,-2,0,设P（0,0,z0）（z0＞0）则M（0,1,%）,AM=,CP=（0,0,%）AM|-|CP|-cos6023+3侦°，解得％=1，已一、g,-1,0卜设平面MAC的一个法向量为n—y+z=0_,吏y-1z=0'取T1,I2121平面ABC的法向量取为m=（0,0,1）（正方向），:.CM=（0,0,1）,CA==｛气,y「"｝，得n=｛八/如一心｝（正方向），...cos＜m,n＞=帛三=旦.m|・|n| ＜7 7下面验证二面角M-AC-B的大小为＜m,n＞的补角:ST^，可知两个值同号，取AC中点S,取MB中点T,计算ST的坐标，然后计算STmST^，可知两个值同号，：.二面角M-AC-B的大小为＜m,n＞的补角，故二面角M-AC-B的余弦值的大小为、七」.7评注：如果n，n分别是二面角a-l-0的面a,p的法向量，则＜n,n＞就是所求二面角的革面甬或其补角的大小. 12何时就是二面角的平面角？何时又是其补角?

资料上（包括高考试题的答案上）是这样说的：由图形不难（显然）得出依据2篇学求二面寐平面角繇理曙*说的含致旗的结判催入了解题的一个个误区.为了让同学们思维走入清淅化，能得到一个正确的结果.在此例题1、2介绍了“二面角棱中点向量数量积符号判断法"确定法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系.例3.如图，是一个直三棱柱（以ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，111AB=BC=1,/ABC=90,AA=4,BB=211 11 111 1 1（1） 设点0是AB的中点，证明：OC//平面ABC；111（2） 求二面角B一AC一A1的大小；解：（1）以Bi为原点建立空间直角坐标系，1(10,—,32OC=易知，/ 1\1，—?，0.k2n=(0，0,1)是平面ABC的一个法向量.111解：（1）以Bi为原点建立空间直角坐标系，1(10,—,32OC=易知，/ 1\1，—?，0.k2n=(0，0,1)是平面ABC的一个法向量.111因为Orn=0,OC⑦平面ABC，所以OC〃平面ABC.111 111(2)AB=(0,-1，-2),BC=(L01)设m=(x,y,,乙）是平面ABC的一个法向量，则[—y一2z=0B^m=0得：<[x+z=0m=（1,2，一1）（负方向）.则JA^m=0取x=-z=1,显然—l=(1,1,0)为平面AACC的一个法向量(正方向).11 _, m] 1+2+0<3 一一一而cos<m,l>= = ——=1； 1=|77 产 广 —，故<m,1>=30|叫‘]<2X.6 2下面验证<m,I>大小即为二面角B一AC一A]的大小，取AC中点S,取BA1的中点T,计算ST的坐标。再分别计算STm与STI的值，可知两个值异号，所以二面角B一AC一Ai的大小是30°.02REDIANMINGTIJIAODU 02权威透析:权威透析:热点突破向量法证明垂直与平行多以多面体（特别是棱柱、棱锥）为载体，求证线线、线面、面面的平行或垂直，其中逻辑推理和向量计算各有千秋，逻辑推理要书写清晰，“充分”地推出所求证（解）的结论；向量计算要步骤完整，“准确”地算出所要求的结果.

【例1】►如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，^ABC为等腰直角三角形，/BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F分别为B]A、QC、BC的中点.求证：(1)DE〃平面ABC；(2)B1F±平面AEF.(2)在平面AEF内寻找两个不共线的[审题视点]建系后，(1)在平面ABC(2)在平面AEF内寻找两个不共线的向量与"垂直.=4证明如图建立空间直角坐标系Av令AB=AA「贝0A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).=4取AB中点为N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),...DE=(—2,4,0),NC=(—2,4,0),「・DE=NC,:・DE〃NC，又•:NCU平面ABC,DEG平面ABC.故DE〃平面ABC.B]F=(—2,2,—4),—•一-―•一-―EF=(2,—2,—2),AF=(2,2,0).B]F・EF=(—2)X2+2X(—2)+(—4)X(—2)=0,B]F・AF=(—2)X2+2X2+(—4)X0=0._/.B1F±EF,B1F±AF,即B/'EF,B1F±AF,又VAFHFE=F,.B1F±平面AEF.的法向量垂直；另一个思路则是根据共面方法锦襄》⑴要证明线面平行，只需证明DE与平面ABC的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量左与无相等.(2)要证明线面垂直，只要证明斯与平面AEF的法向量平行即可；也可根据线面垂直的判定定理证明B1F1EF,B1F1AF.用向量法求线线角、线面角TOC\o"1-5"\h\z多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体，考查线线角、线面角的求法，正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键. _【例2】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，P4L底面ABCD,AC=2\2,PA=2,E是PC上的一点，PE=2EC.P证明：PCL平面BED； /!'\设二面角APBC为90°,求PD与平面PBC所成角的大小. /,，"\[审题视点〕(1)由祭=萼可得^FCEs'PCA，则ZFEC=90°， // '、FCEC易得PCIEF、PC1BD. .0、—[.4\(2)作AG1PB于G，由二面角APBC为90°， 三三：3二]二二三上易得底面ABCD为正方形，可得AD//面PBC， ＜弋"一，丁二二二二一5°则点D到平面PCB的距离d=AG，找出线面角求解即可.也可利用法向量求解，思路更简单，但计算量比较大.

,n・BE=0(1)证明以A为坐标原点，射线AC为x,n・BE=0C(A''2，0,0)，设D('h，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，3)，B(V2，—b,0).于是PC=(A''2，02、一2 2、b，3)，DE=(首，一b，3)，E（432E（432，0BE=（亨，从而PC•BE=0,PC•DE=0,故PC±BE，PCADE.又BEHDE=E，所以尸。上平面BDE.（2）解Ap=（0,0,2），AB=（血，一b,0）.设m=（x，y，z）为平面PAB的法向量，则m•AP=0,m•AB=0,即2z=0且\'2x—by=0，令x=b，则m=（b，S0）.设n=（p，q，尸）为平面PBC的法向量，即2\；2p—2r=0且3"+bq+；r=0，令p=1，贝0r=*2，q=—b，n=（1则nPC=0,2因为面PABA面PBC，故mn=0，即b一方=0，故b='2,于是n=（1，—1，%'2），DP=（一寸2，—1'2，2）.cos〈n，DP〉DP〉=60°.nD1,cos〈n，DP〉DP〉=60°.因为PD与平面PBC所成角和方法锦囊》〈n,DP〉互余，故因为PD与平面PBC所成角和方法锦囊》(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论.(2)求直线与平面所成的角仇主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角a求得，即sine=Icosal.用向量法求二面角用空间向量法求二面角的大小是高考的热点.考查空间向量的应用以及运算能力，题目难度为中等.【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA上平面ABCDPA=AD=2,AC=1.(1)证明：PC±AD；(2)求二面角APCD的正弦值.［审题视点］建立空间坐标系，应用向量法求解.解如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B—2，?，0，⑴证明：易得PC=(0,1，—2)，AD=(2,0,0).于是PCAD=0，所以PC±ad_(2)二面角APCD的正弦值为碧.解答如下:

方法锦囊》借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法.求解过程中应注意以下几个方面：两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求；求平面的法向量的方法：①待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程解之;②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量.当平面的垂线较易确定时，常考虑此方法.利用向量法解决立体几何中的探索性问题此类问题命题背景宽，涉及到的知识点多，综合性较强，通常是寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题，全面考查考生对立体几何基础知识的掌握程度，考生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力.【例4】►如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MDL平面ABCD,NBL平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点.e(2,1,0).求异面直线NE与e(2,1,0).在线段AN上是否存在点S,使得ESL平面AMN?若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.［审题视点］建立以D为原点的空间直角坐标系，利用向量法求解，第(2)问中＜AS=AAN，由ESI平面AMN可得A值.解(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz..•.ne=(—*1230，•「cos〈NE，AM〉依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N.•.ne=(—*1230，•「cos〈NE，AM〉TOC\o"1-5"\h\z__ _1Ne・AM —2 _而..•异面直线NE与AM所成角的余弦值为端.iNEi.iAMi..•异面直线NE与AM所成角的余弦值为端.(2)假设在线段AN上存在点S，使得ESL平面AMN.方法锦襄》空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，因此使用问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.03YUEJUANLAOSHIDINGNING・•・‘03注重细节：力争满分》阅卷老师叮咛

注重细节：力争满分:.CD±平面B48.又AB平面PBA,^ABLCD.又•.•CDCPC=C,「・ABL平面PBC.(4分)(2)PCI平面ABC,^ZPAC为直线PA与平面ABC所成的角.于是NP4C=45°,设AB=BC=1，则PC=AC=巫,以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),P(1,0,<2),AP=(1,-1,出)，BC=(1,0,0),,一一、apbC1'/cos〈AP,BC〉=——=2,iAPi-iBci异面直线AP与BC所成的角为60°.(8分)⑶取AC的中点E,连接BE,贝0BE=2,2，0，•..AB=BC,「・BELAC.又••平面PCAL平面ABC,:.BEL