《概率论与数理统计》典型例题

学习好资料 欢迎下载学习好资料 欢迎下载#分析：这显然是独立性、全概率公式、贝叶斯公式的综合应用口解：设"恰有f弹击中飞机”，f=0,L2,3。设外“飞机坠毁二由于甲，乙，丙三弹是否击中飞机是相互独立的，则P(Aj=(l-04)(1-0.5)(!-0.7)=0.09,)=0.4x(1-05)x(1-0.7)+(1-0.4)x0.5x(l-0.7)十(1—0.4)x(l-0.5)x0.7=0.36P(A2)=0.4X0.5X(1—0.7)十(1—0.4)x0.5x0.7+0,4x(l-0.5)x0.7=0.41f产(AJ=O,4xO,5xO.7=O.I4,P(B4J=0,p®A)=0.2、P(B42)=0.6, &)=0.9,⑴尸(b)=£p(a)p(Ma)=0.09x0+0.36乂02+0.41x().6+0J4x().9=0.444,⑵P(A2B)=出⑵P(A2B)=出0.5540尸⑶—0.444注：在这类实际问题中独立性是分析题意得到的例13.将两信息分别编码为A和8传送出去，接收站受到时，A被误收作日的概率为0：02,而6被误收作A的概率为0“01.信息4与信息月传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是4.问原发信息是A的概率是多少？分析：贝叶斯公式的应用解：设。表示「将信息A传递出去”，则后表示事件“将信息B传递出去工设/?表示:“接收到信息A”，则我表示：“接收到信息B'按题意需求概率P(D\R)O已知尸(R|D)=0,02,尸(足忸)=0,01,且有P(D)/P5)=2/1,由于P(O)+P0)=1,得知P(D)=1P5)=屋由贝叶斯公式得到p(DR)=P①R)= P(R]O)P(D)_ _P(R) P(R\D)P(D)±P(R\d)P(D)_ (1-0.02)x(2/3) _196"(1-O,()2)x(2/3)4*0.01x(1/3)-TgV注：解决此问题的关犍还在于将题设条件用合适的条件概率表示清楚例14.设4、月为两个随机事件,已知P(4)=0.4,户伊)=0.3二⑴若」(4U8)=66,求P(AB),P(4⑻,P(A同,F(Z⑶,P(而)；⑵若A和B互不相容.求尸(4U8)，P(A-B):

⑶若A和B相互独立.求尸(AU8),P(A-B).分析:利用事件关系以及常用的加法，乘法公式，条件概率的定义，性质计算简单的概率,解：(1)由加法公式P{AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)得到P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=(14+0.3—0.6=0.1,从而P(A\B)=P(AB)

P(B)P(A\B)=P(AB)

P(B)「=3Jd一叽尸⑷TA叽「之P(B)l-P(S)1—P01-0.3 7P(砌_P4-A)_P(R)-P(AB)_S3-I_2P(B)~P(B)~P[B}-03~3汽乳国〜汽HU国T-H/U第=i-o漉-0.40⑵因为丛和8互不相容.所以产(AB)=0口于是P(AUB)=P(A)^P(B)-P(AB)=0.4+03-0=0.7，P{A—B)=P(A)-P[AB)=0.4—0=0.4口(3)因为八和S相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=04x0.3=0.12,于是产(另U8)=P(A)+P(B)-P(AB)=04+0.3—0.12=058,P(A-B)^P(A)-P(AB)=0.4-0.12=0.28a注,本例除了考察概率性质，以及常用的加法、乘法公式，条件概率等，还有事件关系中常用到的一些公式，例如4—3=4耳=4—4B,B-A^BA^B-AB等，另外，(2)与⑶的计算，旨在让学生体会到事件不相容与独立性的区别巾例15.如图所示的电路，假设每个元件正常工作的概率为/,，且所有元件都独立地工作“求该系统能正常工作的概率.分析：系统可靠性的计算是典型的应用题之一.解题关键是事件关系的表述,电路的串联对应于事件交，并联对应于事件并口解法一:设A：”系统正常工作”，“第，个元件正常工作"，…5则=P,A=（A&）u&U・p（4）=p（（a&）UAU（AAJ+p（A444&）=〃+2,-2/―/+/解法二：设“系统正常工作“，4,“第，个元件正常工作"，i=l,…,5,则p（4）=p,a=（a&）U&U（&4J,p（4）=p«A4）U&U（Aaj）-1--（｛4&）UAU（a&））=1-p（而n《n*）=1T1-P（AH）］R—P（4）］］JP（AH）］-p+2p2-2P3-p4+p5注:本例