2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，，若，则实数的值可以为（）A． B． C． D．【答案】D2．下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（）A． B． C． D．【答案】D3．已知等差数列的前项和为，若，且，则（）A． B． C． D．【答案】C4．不等式成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．【答案】A5．如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B6．在四边形中，，设.若，则（）A． B． C． D．【答案】B7．已知函数.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A8．设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A二、填空题9．已知向量，且，则_____【答案】10．函数的零点个数是________【答案】11．已知数列的前项和为，则____，_____【答案】0112．如图，网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为____________【答案】13．已知数列的通项公式为，若存在，使得对任意都成立，则的取值范围为__________【答案】【解析】根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．【详解】数列的通项公式为，若存在，使得对任意的都成立，则，设，则，令，解得，所以函数的单调增区间为，函数的减区间为，所以函数在时函数取最大值，由于，所以当时函数最大值为．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．14．已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________.【答案】【解析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积；②利用等腰直角三角形的性质的应用求出的最小值．【详解】函数，其中，是这两个函数图象的交点，当时，．所以函数的交点间的距离为一个周期，高为．所以：．如图所示：①当时，面积的最小值为；②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，解得的最小值为．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题15．已知数列为各项均未正数的等比数列，为其前项和，，.求数列的通项公式；若，求的最大值.【答案】；4【解析】（1）设等比数列的公比为，由，可得，即可求出结果．（2），即可得出结论．【详解】解:在等比数列中，设公比为.因为所以所以.即.则或.因为，所以，所以.因为，所以.所以数列的通项公式在等比数列中，因为所以因为，所以.所以.所以.因为.所以.即的最大值为.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数.求函数的最小正周期；若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】；【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．【详解】解:因为所以的最小正周期为“对恒成立”等价于“”因为所以当，即时的最大值为.所以，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17．已知函数，曲线在处的切线方程为求的值；若函数存在极大值，求的取值范围.【答案】；【解析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定的范围即可．【详解】解：因为在点处的切线方程为，所以解得，①当时，不存在极大值，不符合题意.②当时，.令.(i)当，即时，不符合题意.(ii)当，即时，方程有两个不相等的实数根.设方程两个根为，且.的变化如表所示:极大值极小值所以为极大值.③当时，恒成立.设方程两个根为，且.的变化如表所示:极大值极小值所以，为极大值.综上，若函数存在极大值，的取值范围为.【点睛】本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是一道综合题．18．在中，.求的值；若点为射线上的一个动点（与点不重合），设.①求的取值范围；②直接写出一个的值，满足：存在两个不同位置的点，使得.【答案】；①；②答案不唯一，取值在区间上均正确【解析】（1）利用余弦定理的应用求出的余弦值，进一步求出正弦值；（2）①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出的取值范围；②根据共线的条件求出在区间上即可【详解】解:在中，根据余弦定理所以因为，所以①在中，根据正弦定理，得因为点为射线上一动点，所以所以的取值范围为②答案不唯一.取值在区间上均正确.【点睛】本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．已知函数.判断函数在区间上的单调性，并说明理由；求证：.【答案】单调递增，理由见解析；证明见解析【解析】（1）因为，对求导，可证恒成立，即可证明结果；（2）证明“”等价于证明“”．求的最大值即可证明．【详解】函数在区间上是单调递增函数.理由如下:由，得因为，所以.因此.又因为，所以恒成立.所以在区间上是单调递增函数.证明“”等价于证明“”由题意可得，.因为令，则.所以在上单调递减因为，所以存在唯一实数，使得，其中.极大值的变化如表所示:所以为函数的极大值.因为函数在有唯一的极大值.所以因为，所以因为所以所以【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求函数极值与最值，熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题．20．已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得.【答案】是关联的，关联子集有；是独立的；证明见解析；证明见解析【解析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，，，，，，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合，，且.记，进而利用反证法求解；【详解】解:是“关联的”关联子集有;是“独立的”记集合的含有四个元素的集合分别为:，，，，.所以，至多有个“关联子集”.若为“关联子集”，则不是“关联子集”，否则同理可得若为“关联子集”，则不是“关联子集”.所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.所以一定不是“关联子集”同理一定不是“关联子集”.所以集合的“关联子集”至多为.若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；所以都是“关联子集”所以有，即，即.，即，所以.所以是等差数列.不妨设集合，，且.记.因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素.假设结论错误，即不存在，使得所以任取