4-1 等差数列（精讲）（基础版）（解析版）

4.1等差数列（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一等差数列基本量的计算【例1】（2022·福建三明）已知等差数列{}的前n项和为，且，，则＝（

）A．6 B．10 C．12 D．20【答案】B【解析】因为，，所以解得，所以，故选：B1.1.方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．2.整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．3.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．温馨提示【一隅三反】1．（2022·陕西汉中）已知等差数列的前项和为，，，则等差数列的公差是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为，由题意可得，解得.故选：D.2．（2022·内蒙古呼和浩特）已知在等差数列中，，则（

）A．30 B．39 C．42 D．78【答案】B【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，故，故选：B3．（2022·陕西·西安工业大学附中）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．20 B．23 C．24 D．28【答案】D【解析】因为是等差数列，所以，又，所以公差为，，故选：D.考点二等差中项【例2-1】（2022·北京通州·一模）设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．60 B．70 C．120 D．140【答案】B【解析】在等差数列中，，则，故，选：B【例2-2】（2022·浙江杭州·二模）设等差数列的前n项和为，若，则（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】C【解析】由等差中项的性质得，，即，，故选：C.【例2-3】（2022·安徽滁州）已知是公差不为零的等差数列，若，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】由等差数列的性质得，所以,即故选:A【一隅三反】1．（2022·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（

）A．3033 B．4044 C．6066 D．8088【答案】C【解析】由等差数列知，，所以，故选：C2．（2022·河南平顶山）已知为正项等差数列的前n项和，若，则（

）A．22 B．20 C．16 D．11【答案】A【解析】由题意设正项等差数列的首项为，公差为故由得：，即，故，故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足且，则（

）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列，，，，，故选：B.考点三前n项和的性质【例3-1】（2022·北京石景山）记为等差数列的前项和，若，，则（

）A．36 B．45 C．63 D．75【答案】B【解析】因为为等差数列的前项和，所以成等差数列，即成等差数列，所以，解得，故选：B.【例3-2】（1）（2022·江西·临川一中）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（

）A． B． C． D．（2）（2022·四川师范大学附属中学二模（理））设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（

）A．B．C．D．3【答案】（1）B（2）B【解析】（1）对于等差数列的前n项和满足，知道，故.故选：B.（2）由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.故选：B.【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】设的公差为d，∵∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒【例3-4】（1）（2022·内蒙古赤峰）已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时正整数n的值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12（2）（2022·重庆·二模）（多选）设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（

）A． B．当时，取得最小值C． D．当时，的最小值为29【答案】（1）B（2）ABC【解析】（1）设公差为，有，解得，，有，当，可得，可知当时，，故取最大值时正整数n的值为10．故选：B（2）根据题意，由.故A正确；因为，故当时，，，当时，，当或时，取得最小值，故B正确；由于，故C正确；因为，，所以由，可得：，因此n的最小值为，故D错误.故选：ABC1.等差数列前1.等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.2.在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列温馨提示【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（

）A．-3 B．-12 C．-21 D．-30【答案】D【解析】由等差数列的性质知：成等差数列，∴，则，可得.同理：，即，得.故选：D2．（2022·全国·高三）若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为等差数列和的前n项的和分别是和，且，所以.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，.故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，又，解得：，又，，.选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则（

）A．d<0B．a16<0C．Sn≤S15D．当且仅当n≥32时，Sn<0【答案】ABC【解析】对于A，设等差数列{an}的公差为d，由S10＝S20，得10a1＋d＝20a1＋d，化简得a1＝d.因为a1>0，所以d<0，故A正确；对于B，因为a16＝a1＋15d＝d＋15d＝d，又d<0，所以a16<0，故B正确；对于C，因为a15＝a1＋14d＝d＋14d＝－d>0，a16<0，所以S15最大，即Sn≤S15，故C正确；对于D，，若Sn<0，又d<0，则n>30，故当且仅当n≥31时，Sn<0，故D错误．故选：ABC6．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【解析】由，得，因为是等差数列，所以，，，，，，所以，使得的正整数n的最小值为.故选:D.考点四等差数列定义及其运用【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列数列是等差数列的是（

）A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…【答案】AC【解析】根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数，故选：AC．【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）在数列中，有,证明：数列为等差数列，并求其通项公式.【答案】证明见解析，【解析】设数列的前n项和为，则已知转化为当时,，上述两式相减并整理，得.又因为时，，适合上式，所以.从而得到，所以，所以数列为等差数列，且其通项公式为.【例4-3】（2022·四川·泸县五中模拟预测（理））下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（

）A． B．C．通项公式 D．【答案】C【解析】对于A：数列是等差数列，∴A选项为“数列是等差数列”的一个充要条件，故A错误；对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：∵，∴，∴，∴数列是等差数列，反之若为等差数列，则，此时不一定为2，所以必要性不成立，∴C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；对于D：若数列是等差数列，则，∴成立，反之当，，，时，满足，但不是等差数列，∴D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．故选：C．【例4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【解析】因为不全相等的实数，，成等比数列，所以该等比数列的公比，显然有，，A：若，，成等差数列，显然成立，即，化简为，解得，或（舍去），所以假设成立，故，，有可能是等差数列；B：若，，成等差数列，显然成立，即，化简为：，解得：，显然或，所以假设成立，故，，有可能成等差数列；C：若，，成等差数列，显然，即，化简为：，解得，因为，所以，因此假设成立，故，，有可能成等差数列；D：若，，成等差数列，显然，即，化简为：，解得，而，因此假设不成立，故，，一定不可能成等差数列，故选：D等差数列的判定与证明的方法等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列温馨提示【一隅三反】1．（2022·全国·课时练习）（多选）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】设等差数列的公差为d，当时，.对于A，，为常数，因此是等差数列；故A正确对于B，，不为常数，因此不是等差数列；故B错误对于C，，为常数，因此是等差数列；故C正确对于D，，为常数，因此是等差数列.故D正确故选：ACD.2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）在数列中，，且对任意大于的正整数，点在直线上，则（

）A．数列是等差数列B．数列是等差数列C．数列的通项公式为D．数列的通项公式为【答案】BD【解析】点在直线上，，数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确；，D正确；，C错误；，不是等差数列，A错误.故选：BD.3．（2022·全国·课时练习）（多选）下列数列中是等差数列的是（

）A．，a，B．2，4，6，8，…，，C．，，，D．【答案】ABD【解析】对于A选项，由于，故是等差数列，正确；对于B选项，2，4，6，8，…，，中，，是等差数列，正确；对于C选项，因为，，又，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，故不是等差数列；对于D选项，由得，满足等差数列定义.故选：ABD.4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，当n≥2时，.求证:数列是等差数列.【答案】证明见解析；【解析】当n≥2时，，因，显然，否则，由此可得，矛盾，两边同时除以，得，而=1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.考点五等差数列的实际应用【例5】（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）《周髀算经》是中国古代天文学与数学著作，其中有关于24节气的描述，将一年分为24个节气，如图所示，已知晷长指太阳照射物体影子的长度，相邻两个节气的晷长变化量相同（即每两个相邻节气晷长增加或减小量相同，其中冬至晷长最长，夏至晷长最短，从夏至到冬至晷长逐渐变大，从冬至到夏至晷长逐渐变小.周而复始，已知冬至晷长为13.5尺，芒种晷长为2.5尺，则一年中秋分这个节气的晷长为（

）A．6.5尺 B．7.5尺 C．8.5尺 D．95尺【答案】B【解析】冬至到夏至晷长记为数列，数列为等差数列，公差，冬至晷长，若芒种晷长所以，所以夏至晷长夏至到冬至晷长记为数列{}，数列{}为等差数列，公差，夏至晷长秋分这个节气的晷长故选：B【一隅三反】1.（2022·江苏南通·模拟预测）《张邱建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同