5-2 平面向量的数量积及坐标运算（精讲）（基础版）（解析版）

5.2平面向量的数量积及坐标运算（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一坐标运算【例1-1】（2022·广东广州·三模）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】，A正确；，B正确；，则，C正确；，D错误.故选：ABC.【例1-2】（2022·福建·三明一中）（多选）已知向量，，其中，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为钝角，则 D．若，向量在方向上的投影为【答案】ABD【解析】对于A选项，若，则，解得，A对；对于B选项，若，则，所以，，B对；对于C选项，若与的夹角为钝角，则，可得，且与不共线，则，故当与的夹角为钝角，则且，C错；对于D选项，若，则，所以，向量在方向上的投影为，D对.故选：ABD.【一隅三反】1．（2022·辽宁·沈阳市）（多选）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（

）A． B． C． D．向量，夹角为【答案】AC【解析】由，可得，又，则，即，则.则选项A判断正确；选项D判断错误；，则选项B判断错误；，则选项C判断正确.故选：AC2．（2022·福建省福州格致中学）（多选）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（

）A． B．C． D．与可以作为平面内的一组基底【答案】ABD【解析】据题意因为所以,所以对因为,所以,所以对.因为所以,所以错因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确故选：ABD3．（2022·浙江·海宁中学）（多选）设是两个非零向量，若，则下列结论正确的是（

）A． B．C．在方向上的投影向量为 D．【答案】ABC【解析】因为，所以，所以，所以选项A正确；因为，所以，即有，所以，所以选项B正确；因为，所以在方向上的投影向量为，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知，，所以，所以选项D错误.故选：ABC.4．（2022·江苏·模拟预测）（多选）已知向量，，，，则（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是【答案】ABC【解析】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.对于B，由，得，则解得，故，所以B正确.对于C，因为，所以，则当时，取得最小值，为，所以C正确.对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，所以，解得；当向量与向量共线时，，解得，所以的取值范围是，所以D不正确.故选：ABC考点二巧建坐标【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）如图在中，，为中点，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，又，，，则，即，即，则，则，，则；故选：C．【例2-2】（2022·河南）在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，，，，则，，，设，则，则，，，，，，，，其中，，当时，，当时，，当时，取得最大值，最大值为．故选：A．【例2-3】．（2022·上海松江·二模）已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，建立平面直角坐标系，则，，当在上时，设，，，当时，，当时，，即，当在上时，设，则，，知，当在上时，设，，，当时，，当时，，即，当在上时，设，，，当时，，当时，，即.综上可得，，故选：C【一隅三反】1．（2022·贵州贵阳）在边长为2的正方形中，是的中点，则（

）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】在平面直角坐标系中以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，所以，故选：A2．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，，，设，则，，，所以，所以；所以当，时，取得最小值是．故选：B．3．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，圆方程为，在圆上，设，，，，，所以．故选：B．4．（2022·全国·高三专题练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D

考点三平面向量与其他知识综合【例3-1】（2022·四川成都）已知向量，，，若，则（

）A．2 B．-2 C．3 D．【答案】C【解析】由题意可得，即，即，故，即，由于，故（舍去），故选：C【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）在△中，“”是“△为钝角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，即，又，所以，不能推出△为钝角三角形，充分性不成立；△为钝角三角形时，若，则，不能推出，必要性不成立.所以“”是“△为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D【例3-3】（2022·广东东莞）已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过点，则等于（）A．1006 B．2012 C． D．【答案】A【解析】，且、、三点共线（该直线不过点，；数列是等差数列，；．故选：A【例3-4】（2022·安徽六安一中）过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是()A．2. B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为，由得到，由得到，而，，即点A是线段FB的中点，所以，所以.故选：D【一隅三反】1．（2022·河北·高三专题练习）在中，，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．三边均不相等的三角形 D．等腰非等边三角形【答案】D【解析】在中，，的角平分线与垂直，为等腰三角形；又，，，为等腰非等边三角形.故选：D2．（2022·浙江·高三专题练习）下列有关四边形的形状判断错误的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，且，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形【答案】D【解析】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.故选：D3．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知向量，则下列命题正确的是（

）A．存在，使得 B．当时，与垂直C．对任意，都有 D．当时，【答案】BD【解析】对于选项A：若，则，即，所以不存在这样的，故A错误；对于选项B：若，则，即，得，故B正确；对于选项C：，当时，，此时，故C错误；对于选项D：，两边同时平方得，化简得，等式两边同除以得，即，所以，故D正确.故选：BD.4（2021·全国高三专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】点、、是直线上不同的三点，存在非零实数，使；若，，；；数列是等差数列，；．故选：A．5．（