7-1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）（解析版）

7.1空间几何中的平行（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一三角形中位线【例1】（2022·浙江）已知四棱锥的底面是菱形，为的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】连接交于，连接,是菱形，是中点，又是中点面,面面【一隅三反】1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面【答案】证明见解析；【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.2．（2022·山东）如图，在三棱柱中，点M为的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】连接与交于点O，则O为的中点，连接OM，因为点M为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；3．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC【答案】证明见解析【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以.又因为面EAC，面EAC，所以平面EAC；考点二构造平行四边形【例2】（2022·重庆巴蜀中学）如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，求证：平面【答案】证明见解析【解析】（1）设，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面平面，所以平面.【一隅三反】1．（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；2．（2022·河北保定）如图，已知多面体，平面平面，且，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：因为平面平面，所以.因为，所以四边形为平行四边形，则.又平面平面，所以平面.3．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD,因为E为中点,故,又,F为中点,故,所以四边形EDAF为平行四边形，故,因为平面，平面,故平面；考点三等比例【例3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面【答案】证明见解析【解析】在上取一点，使得，连接，，，又平面，平面，平面；，，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面.【一隅三反】1．（2022·广东）如图所示，是所在平面外的一点，、、分别是、、的重心，求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】连接、、，∵、、分别是、、的重心，∴、、分别为、、的中点，且，∴，，平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，且，∴平面平面.2（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面【答案】见解析【解析】过点作，交于点，连接，由题意得，故，，而平面，平面，平面，同理得平面，而，平面平面，平面3．（2022·湖南·长沙一中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=3，G为AB的中点，E，F分别在线段A1C1，AC上，且，求证：平面BB1F【答案】证明见解析【解析】取的中点，连接，故为的中位线，得，而平面，平面，从而平面，①又，结合长方体的对称性知，即四边形为平行四边形，故，又，所以，而平面，平面，从而平面，②，结合①②知，平面平面，从而平面.考点四线面平行的性质【例4】（2022·北京海淀）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点，求证：【答案】证明见解析；【解析】因为平面，平面，平面平面，所以.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，是边的中点，过作截面交于点．求证：；【答案】证明见解析【解析】证明：如图，在直三棱锥中，因为平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.2．（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线【答案】证明见解析【解析】直线平面，，平面平面，．3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；【答案】证明见解析【解析】证明：在梯形中，，平面，平面，平面.又平面，平面平面，所以.考点五面面平行的性质【例5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形为菱形，，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：因为四边形为菱形，则，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因为平面，平面.2．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面【答案】证明见解析【解析】∵P，D分别为，的中点，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分别为，BC的中点，∴，且平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面.3．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四棱锥中，F，M，N分别为的中点，求证：∥平面【答案】证明见解析【解析】取的中点G，连接，则由M，G分别为的中点易得∥平面，平面∴∥平面同理：∥平面又，所以平面∥平面，所以∥平面考点六线面垂直的性质【例6】（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：平面ECD【答案】证明见解析【解析】证明：取CD的中点G，连接EG∵△CDE为腰长为的等腰三角形，∴又∵平面CDE⊥平面BCD，平面ECD，平面平面,∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴又∵平面ECD，平面CDE，∴平面CDE【一隅三反】1．（2022·江苏·高一课时练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【答案】证明见解析【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．2．（2022·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：【答案】证明见解析【解析】证明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因为，，平面，所以平面，在中，，在中，，则，因为，所以平面，所以；3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形是菱形，平面，平面，且