天津理工大学大学物理：电介质课件

导体的静电平衡条件当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，该带电体系就达到了静电平衡。导体的特点是其体内存在自由电荷，它们在电场作用下可移动，从而改变原有电荷分布。反过来电荷分布的改变又会影响到原有的电场分布。可见有导体存在时电荷的分布和电场的分布是相互影响、相互制约的。并不是电荷和电场的任何一种分布都是静电平衡分布。导体的静电平衡条件此平衡条件可论证如下：若导体内的电场E不处处为零，则在E不为零的地方，自由电荷将会移动，亦即导体没有达到静电平衡。换句话说，当导体达到静电平衡时，其内部场强必定处处为零。体内场强处处为零1从上述导体静电平衡条件出发，可直接得到以下几点推论：①在达到静电平衡以后，导体是个等势体，导体表面是等势面。因导体内任意两点P、Q之间的电势差为若场强E处处为零，则导体内部所有各点的电势相等，从而导体表面是个等势面。②在达到静电平衡以后，导体外的场强处处与它的表面垂直。

因为电力线处处与等势面正交，所以导体外的场强必定与它的表面垂直。2电荷分布

可用高斯定理证明。假定导体内部某处有未被抵消的净电荷q，则可取一个完全在导体内部的闭合高斯面S，将它完全包围起来。据高斯定理，通过S的电通量为q/0是一非零值。即在S上面至少有些点的场强E不等于零。S面上场强不为零的这些地方就达不到静电平衡，电荷就会重新分布，直到场强处处为零体内电荷完全抵消为止。所以据静电平衡条件的要求，在达到静电平衡状态后，导体内部必定处处没有未被抵消的净电荷，电荷只能分布在导体的表面上。

在达到静电平衡时，导体内部处处没有未被抵消的净电荷（=0），电荷只能分布在导体的表面。Sq.3--++S进一步还需证明，在导体壳的内表面上不仅电荷的代数和为零，而且各处的面电荷密度也为零。利用反证法，假定内表面上不处处为零，由于电荷的代数和为零，必然有些地方＞0，有些地方＜0，而电力线只能从正电荷出发终止于负电荷，不能在没有电荷的地方中断。这样空腔内就有电力线从＞0的地方出发终止于内表面上＜0的地方。5--++S如果存在这样一根电力线，电场沿此电力线的积分必不为零。即这电力线的两个端点之间有电势差，但这电力线的两端都在同一导体上，静电平衡要求这两点的电势相等，因此上述结论与平衡条件相违背。可见在达到静电平衡时，导体壳的内表面上必须处处为零，既然内表面上没有电荷，腔内就不可能有电力线，即腔内的场强为零。没有电场就没有电势差，故腔内空间各点的电势处处相等。6导体壳（壳内有其它带电体）导体壳空腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零。例如腔内有物体带电q，则内表面带电-q。证明：如图，在导体壳内、外表面之间作一高斯面S，由于高斯面处在导体内部，在静电平衡时场强处处为零。所以通过S的电通量为零。据高斯定理，高斯面内∑q=0。若导体壳内有一带电体带电q，则内表面必定带电-q。--------q++++q+S7面电荷密度与场强的关系尖端放电

在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间的场强E与该处导体表面的面电荷密度有如下关系9导体的静电平衡条件:体内场强处处为零几点推论：①导体是个等势体，导体表面是等势面。②导体外的场强处处与它的表面垂直。电荷分布:在达到静电平衡时，导体内部处处没有未被抵消的净电荷（=0），电荷只能分布在导体的表面。导体壳（壳内无其它带电体）在静电平衡条件下，导体壳的内表面上处处没有电荷，电荷只能分布在外表面，空腔内没有电场，或者说空腔内的电势处处相等。导体壳（壳内有其它带电体）导体壳空腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零。例如腔内有物体带电q，则内表面带电-q。101一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R。在腔内离球心的距离为a处(a<R)放一点电荷+q，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心0处的电势为[]D0R∙+qa不接地内表面带电-q，外表面带电+q，接地后再把地线撤去，外表面不带电。q的场在0点产生电势内表面上电荷-q的场在0点产生的电势球心0处总的电势115两个同心薄金属球壳，半径分别为R1和R2(R2>R1)，若内球壳带上电荷Q，则两者的电势分别为（选无穷远处为电势零点）。现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为R1QR2-Q[]D用导线将两球壳相连接后，内球壳变为外球壳内表面的一部分，即电荷Q全部分布在外球壳的表面。134如图所示，在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a。已知立方体中心0处的电势为V0，则立方体顶点A的电势为_________。0AaV0静电平衡，导体等电势141.一均匀带电球体如图所示，总电荷+Q。其外部同心地罩一内、外半径分别为r1、r2的金属球壳，设无限远处为电势零点，则球壳内半径为r处的场强和电势分别为[]２一金属球壳的内外半径分别为R1和R2，带电荷为Q。在球心处有一电荷为q的点电荷，则球壳外表面上的电荷面密度=__________。练习：∙r1+Qpr2rR1R2Q∙q15２一金属球壳的内外半径分别为R1和R2，带电荷为Q。在球心处有一电荷为q的点电荷，则球壳外表面上的电荷面密度=__________。R1R2Q∙q电荷Q分布在外表面，内表面有感应电荷-q，外表面有感应电荷+q，因此外表面有电荷Q+q。球壳外表面上的电荷面密度：171孤立导体的电容

所谓孤立导体，就是说在这导体的附近没有其他导体和带电体。+++++++++++q

设想使一个孤立导体带电q，它将具有电势U。理论和实验都表明，随着q的增加U将按比例地增加。这样一个比例关系可以写成式中C与导体的尺寸和形状有关，它是一个与q、U无关的常数，称为孤立导体的电容。它的物理意义是每升高单位电势所需的电量。18对于一个孤立的导体球故它的电容为电容的国际制单位为法拉，简称法，用F表示，这是一个非常大的单位。如将地球看作孤立导体，其电容只有709×10-6法，所以通常采用微法F(=10-6F)或微微法pF(=10-12F)为单位。19ABCDqA-qA

如图所示，用一个封闭的导体壳B把A包围起来，并将B接地（UB=0）。这样一来，壳外的导体C、D等就不会影响A的电势了。这时若使A带电qA，导体壳B的内表面将带电-qA，随着qA的增加，UA将按比例地增大，因此可定义它的电容为当然这时CAB已与导体壳B有关了。21ABCDqA-qA其实导体壳B也可不接地，此时它的电势UB≠0。虽然这时UA、UB都与外界的导体有关，但电势差UA－UB仍不受外界的影响，且正比于qA，比值不变。这种由导体壳B和腔内的导体A所组成的导体系，叫做电容器。比值叫做它的电容。电容器的电容与两导体的尺寸、形状和它们的相对位置有关，与q和U无关。组成电容器的两导体叫做电容器的极板。22实际中，对电容的屏蔽性的要求并不象上面所述的那样苛刻。如图，一对平行平面导体，A、B的面积很大而且靠得很近，电荷将集中在两极板相对的表面上，电力线集中在两极板之间狭窄的空间里。这时外界的干扰对二者之间电势差的影响实际上是可以忽略的，也可把这种装置看成电容器。+++++++-----AB--23电荷的面密度分别为电场强度两极板间电势差电容对于电容器的电容常略去脚标不写，即+++++++-----AB--d+-S25+++++++-----AB--d+-S此式表明，C正比于极板面积S，反比于极板间隔d。它指明了加大电容器电容量的途径。首先必须使电容器的极板间的间隔小，但由于工艺制作的困难，这有一定的限度；其次要加大极板的面积，势必要加大电容器的体积。为得到体积小、电容量大的电容器，需要选择适当的绝缘介质。这个问题留待下节讨论。261电容器储能如果把一个已充电的电容器两极板用导体短路而放电，可见到放电的火花。利用放电的火花甚至可以熔焊金属，即所谓“电容焊”。放电火花的势能必然是由充了电的电容器中储存的电能转化而来的。那么电容器储存的电能又是从哪里来的呢？下面会看到，在电容器充电的过程中，电源必须作功才能克服静电场力把电荷从一个极板搬运到另一个极板上。这能量以电势能的形式储存在电容器中，放电时就把这部分能量释放出来。七静电场的能量能量密度对于电场的能量以电容器为例来进行讨论+++++++--------029--+-+-设电容器每一极板所带电量的绝对值为Q，两极板间的电压为U。为了计算这电容器储存了多少电能，先分析一下电容器的充电过程。充电过程可用下图表示。电子从电容器一个极板被拉到电源，并从电源被推到另一极板上去。这时被拉出了电子的极板带正电；推上电子的极板带负电。如此逐渐进行下去。设充电完毕时，电容器极板上带电量的绝对值达到Q。完成这个过程要靠电源作功，从而消耗了电源储存的化学能，使之转化为电容器储存的电能。30--+-+-设在充电过程中某一瞬间，电容器极板上带电量的绝对值为q，电压为u，这里的u是指正极板电势u+减去负极板电势u-，若在这一瞬间电源把-dq的电量从正极板搬运到负极板，从能量守恒的观点看来，这时电源所作的功应等于电量-dq从正极板迁移到负极板后电势能的增加，即继续充电时，电池要继续作功。此功不断地积累为电容器的电能，所以在整个充电过程中储存于电容器的电能总量应由下列积分计算31--+-+-积分下限0表示充电开始时电容器的电能总量，上限Q表示充电结束时每一极板上电量的绝对值。由得到这就是电容器储能的公式。利用Q=CU，则可写成及式中Q与U都是充电完毕时的最后值。32--+-+-通常电容器充电后的电压值都是给定的，这时用第三种表达式来讨论比较方便。此式表明：在一定的电压下，电容C大的电容器储能多，在这个意义上说，电容C也是电容器储能本领大小的标志。对同一个电容器来讲，电压越高，储能越多，但不能超过电容器的耐压值，否则就会把里面的电介质击穿而烧毁电容器。332三块互相平行的导体板之间的距离d1和d2比板面积小得多，如果d2=2d1，外面二板用导线连接，中间板上带电。设左右两面上电荷面密度分别为1和2，如图所示，则1/2为(A)1(B)2(C)3(D)4d1d221相当于两电容器并联，U相等。由Q=CU知[]B346当平行板电容器充电后，去掉电源，在两极板间充满电介质，其正确的结果是（A）极板上自由电荷减少（B）两极板间电势差变大（C）两极板间电场强度变小（D）两极板间电场强度不变两极板间电场强度变小两极板间电势差变小[]C去掉电源，极板上自由电荷不变358一个平行板电容器，充电后断开电源，使电容器两极板间距离变小，则两极板间的电势差U12、电场强度的大小E、电场能量W将发生如下变化：(A)U12减小，E减小，W减小．(B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不变，W增大．(D)U12减小，E不变，W减小．

[]Dd减小，则C增大。电源断开，电荷不变。E亦不变。C增大，则U减小。C增大，W减小。369两空气电容器C1和C2串联起来接上电源充电，充满电后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，如图所示。则（A）C1上电荷增加，C2上电荷减少（B）C1上电荷减少，C2上电荷增加（C）C1上电荷增加，C2上电荷增加（D）C1上电荷不变，C2上电荷不变。C1C2E[]D断开电源后总电荷不变。串联，每个电容器极板所带的电量相等。插入介质，C1增大，U1减小。电源断开，Q不变。37C1、C2是两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持连接的情况下，在C1中插入一电介质板，如图所示，则（A）C1极板上电荷不变，C2极板上电荷减少（B）C1极板上电荷不变，C2极板上电荷增加（C）C1极板上电荷增加，C2极板上电荷不变（D）C1极板上电荷减少，C2极板上电荷不变。并联U相同，Q1=C1U，Q2=C2U。电源保持连接，U不变，插入介质板，C1电容增大，Q1增大，Q2不变。[]CC1C2E3811有两只电容器，C1=8F，C2=2F，分别把它们充电到2000V，然后将它们反接（如图所示）此时C1两极板间的电势差为（A）600V（B）200V（C）0V（D）1200VC1C2++--[]D充电后：并联：397一平行板电容器，充电后与电源保持连接，然后使两极板间充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电荷是原来的________倍；电场强度是原来的________倍；电场能量是原来的________倍。充电后与电源保持连接，U不变，两极板间充满电介质，C增大到原来的r倍。r1r409.一平行板电容器充电后切断电源，若使两极板间距离增加，则两极板间电势差为_________，电容为_________。（填增大或减小或不变）d增大，则C减小。电源断开，电荷不变。C减小，则U增大。增大减小413一个平行板电容器，充电后断开电源，使电容器两极板间距离拉大，则两极板间的电势差U12、电场强度的大小E、电场能量W将发生如下变化：(A)U12减小，E减小，W减小．(B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不变，W增大．(D)U12减小，E不变，W减小．

[]练习：4图为一半径为a、带有正电荷Q的导体球。球外有一内半径为b、外半径为c的不带电的同心导体球壳。设无限远处为电势零点，试求内球和球壳的电势。0acbQ423一个平行板电容器，充电后断开电源，使电容器两极板间距离拉大，则两极板间的电势差U12、电场强度的大小E、电场能量W将发生如下变化：(A)U12减小，E减小，W减小．(B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不变，W增大．(D)U12减小，E不变，W减小．

[]Cd增大，则C减小。电源断开，电荷不变。E亦不变。C减小，则U增大。C减小，W增大。434图为一半径为a、带有正电荷Q的导体球。球外有一内半径为b、外半径为c的不带电的同心导体球壳。设无限远处为电势零点，试求内球和球壳的电势。0acbQ解：球壳内表面将出现负的感应电荷－Q，外表面为正的感应电荷Q．按电势叠加原理(也可由高斯定理求场强，用场强的线积分计算)导体球的电势为球壳电势44练习：6

一电容器由两个同心球形导体壳A、B所组成，A、B间为真空。其半径分别为RA和RB（RA＜RB）。设A、B分别带电荷±q，求（1）两同心球形导体壳之间某点p的电场强度大小；（2）两同心球形导体壳A、B间的电势差；（3）此球形电容器的电容。5平行板电容器可看成是由两块彼此靠得很近的平行金属极板A、B所组成，设两极板的面积均为S，分别带有+q、-q的电荷，内表面之间的距离是d，极板面的线度远大于它们之间的距离(S＞＞d2)求（1）两极板之间某点p的电场强度大小；（2）两极板A、B间的电势差；（3）此平行板电容器的电容。RARB0rp455