含参数导数问题的三个基本讨论点

______________________________________________________________________________________________________________含参数导数问题的三个基本讨论点导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式） ，从而引起讨论。1,x1例1（2008年高考广东卷（理科）设kR，函数f(x)1,F(x)f(x)kx,xR，xx1,x1试讨论函数F(x)的单调性。1k121x,x1kx,x1,1x2解：F(x)f(x)kx1x,F'(x)。12kx1x1kx,x12x1,x1考虑导函数F'(x)0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。1k1x2（一）若x1，则F'(x)。由于当k0时，F'(x)0无实根，而当k0时，F'(x)0有实根，1x2因此，对参数k分k0和k0两种情况讨论。（1）当k0时，F'(x)0在(,1)上恒成立，所以函数F(x)在(,1)上为增函数；2kx11x111k1xkk（2）当k0时，F'(x)。1x21x2由F'(x)0，得x111,x211，因为k0，所以x11x2。kk由F'(x)0，得11x1；由F'(x)0，得x11k。k因此，当k0时，函数F(x)在(1(11,1)上为减函数，在,1)上为增函数。kk（二）若x1，则F'(x)12kx1。由于当k0时，F'(x)0无实根，而当k0时，F'(x)0有实2x1根，因此，对参数k分k0和k0两种情况讨论。（1）当k0时，F'(x)0在1,上恒成立，所以函数F(x)在1,上为减函数；精品资料______________________________________________________________________________________________________________kx112kx11（2）当k2k。0时，F'(x)2x1x1由F'(x)0，得x112；由F'(x)0，得1x112。4k4k因此，当k0时，函数F(x)在1上为减函数，在1上为增函数。1,14k214k2,综上所述：（1）当k0时，函数F(x)在(,11)上为减函数，在(11,1)上为增函数，在1,上为减函数。kk（2）当k0时，函数F(x)在(,1)上为增函数，在1,上为减函数。（3）当k0时，函数F(x)在(,1)上为增函数，在1,11上为减函数，在11,上为增函数。4k24k2二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。例2 (2008高考浙江卷理科 )已知a是实数，函数 f x xx a（Ⅰ）求函数 f x的单调区间；（Ⅱ）设ga为f x在区间 0,2上的最小值。（i）写出ga的表达式；（ii）求a的取值范围，使得 6 ga 2。解：（Ⅰ）函数的定义域为考虑a是否落在导函数31）当a0时，则2）当a0时，由

3xaxa3x3a0,，f'xax0'(x)0得xxx2x2x，由f。23f'(x)的定义域0,内，需对参数a的取值分a0及a0两种情况进行讨论。f'(x)0在0,上恒成立，所以fx的单调递增区间为0,。f'(x)0，得xa；由f'(x)0，得0xa。33因此，当a0时，fx的单调递减区间为0,a，fx的单调递增区间为a,。33（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1）当a0时，fx在0,上单调递增，从而fx在0,2上单调递增，所以gaf00。（2）当a0时，fx在0,a上单调递减，在a,上单调递增，所以：33精品资料______________________________________________________________________________________________________________①当a0,2，即0a6时，fx在0,a上单调递减，在a,2上单调递增，333所以gaa2aa2a3a。f3393②当a2,，即a6时，fx在0,2上单调递减，所以gaf222a。30,a0综上所述，ga2aa,0a63322a,a~6（ii）令6ga2。①若a0，无解；②若0a6，由62aa2解得3a6；33③若a6，由622a2解得6a232。综上所述，a的取值范围为3a232。三、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例3（2007年高考天津理科卷）已知函数fx2axa21R，其中aR。x21x（Ⅰ）当a1时，求曲线yfx在点2,f2处的切线方程；（Ⅱ）当a0时，求函数fx的单调区间与极值。解：（Ⅰ）当a1时，曲线yfx在点2,f2处的切线方程为6x25y320。2ax212x2axa212axax10，所以f'xa（Ⅱ）由于a。x212x212由f'x0，得x11,x2a。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a的a取值分a0和a0两种情况进行讨论。（1）当a0时，则x1x2。易得fx在区间,1，a,内为减函数，在区间1,a为增函数。故aa函数fx在x11处取得极小值f1a2；函数fx在x2a处取得极大值fa1。aa精品资料______________________________________________________________________________________________________________（2）当a0时，则x1x2。易得fx在区间(,a)，(1,)内为增函数，在区间(a,1)为减函数。故函aa数fx在x111a2；函数fx在x2afa1aa以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。例4（07高考山东理科卷改编）设函数fxx2blnx1，其中b0，求函数fx的极值点。解：由题意可得fx的定义域为1,，f'x2xb12x2x2xb，f'x的分母x1在定义域1,x1上恒为正，方程2x22xb0是否有实根，需要对参数b的取值进行讨论。（1）当48b0，即b1时，方程2x22xb0无实根或只有唯一根x1，所以gx2x22xb022在1,上恒成立，则f'x0在1,上恒成立，所以函数fx在1,上单调递增，从而函数fx在1,上无极值点。（2）当48b0，即b1时，方程2x22xb0，即f'x0有两个不相等的实根：2x1112b,x2112b。22这两个根是否都在定义域1,内呢？又需要对参数b的取值分情况作如下讨论：（ⅰ）当b0时，x1112b1,x2112b1，所以x1,,x1,。2221此时，f'x与fx随x的变化情况如下表：x1,x2x2x2,f'x0fx递减极小值递增由此表可知：当b0时，fx有唯一极小值点x2112b2。（ⅱ）当0b1时，x1112b1,x2112b1，所以x11,,x21,。222此时，f'x与fx随x的变化情况如下表：精品资料______________________________________________________________________________________________________________x1,x1x1x1,x2x2x2,f'x00f递增极大值递减极小值递增x0b1x1112bx2112b由此表可知：当时，fx有一个极大值点2和一个极小值点2。2综上所述：（1）当b0时，fx112b有唯一极小值点x2；（2）当0b1x有一个极大值点x112bx112b；时，f2和一个极小值点22（3）当b1时，fx无极值点。2从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。（2010重庆文数）(19)( 本小题满分 12分),( Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)已知函数 f(x) ax3 x2 bx(其中常数a,b∈R),g(x) f(x) f(x)是奇函数.(Ⅰ)求f(x)的表达式;(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值 .精品资料______________________________________________________________________________________________________________（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)lnxax1a1(aR)x1（I）当a1时，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（II）当af(x)的单调性.时，讨论2解：（Ⅰ）当a1时，f(x)lnxx21,x(0,),所以f'(x)x2x2,x(0,)xx2因此，f（2）1，即曲线yf(x)在点（2，f(2))处的切线斜率为1，.又 f(2) ln2 2, 所以曲线y f(x)在点（2，f(2))处的切线方程为 y (ln2 2) x 2,即xyln20.（Ⅱ）因为f(x)lnxax1a1，x所以f'(x)1a1ax2x1a)，xa2x2x(0,x令g(x)ax2x1a,x(0,),（1）当a0时,h(x)x1,x(0,)所以，当x(0,1)时,h(x)0,此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1,)时，h(x)0，此时f(x)0,函数f(x)单调递（2）当a0时,由f(x)=0即ax2x1a0，解得x11,x2111a①当a时，x1x2,h(x)0恒成立，2此时f(x)0，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；②当0a1时,11102ax(0,1)时，h(x)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递减；x(1,11)时，h(x)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递增；ax(11,)时,h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；a0时，由于1③当a10ax(0,1)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x(1,)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增。综上所述：精品资料______________________________________________________________________________________________________________当a0时，函数f(x)在（０，１）上单调递减；函数f(x)在（１，＋∞）上单调递增；当a1时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；21当0a时，函数f(x)在（0，1）上单调递减；2函数f(x)在(1,11)上单调递增；a1函数f(x)在( 1, )上单调递减，2010山东理数）(22)(本小题满分14分)已知函数1af(x)lnxax1(aR).x1(Ⅰ)当a 时，讨论 f(x)的单调性；2（Ⅱ）设g(x)x22bx4.当a1时，若对任意x1(0,2)，存在x21,2，使4f(x1)g(x2)，求实数b取值范围.解：（Ⅰ）因为f(x)lnxax1ax1，所以'1a1ax2x1a)，f(x)ax2x(0,xx2令h(x)ax2x1a,x(0,)，①当a1时，x1x2,h(x)≥0恒成立，此时f'(x)≤0，函数f(x)在（0，+）上单调递减；2②当0＜a＜1时，1 1＞1＞0，a(0,1)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；x (1,1 1)时h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数 f(x)单调递增；a(11,)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；a精品资料______________________________________________________________________________________________________________③当a＜0时，由于1 1＜0，ax (0,1)，h(x)＞0,此时f'(x)＜0，函数 f(x)单调递减；x(1,)时，h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数f(x)单调递增.综上所述：0（Ⅱ）因为a=1(0,1)，由（Ⅰ）知，x1=1，x2=3(0,2)，当x(0,1)时，f'(x)p0，函数f(x)单调递42减；g(x)ming(2)84b0b(2,)1b17,当x(1,2)时，f'(x)f0，函数f(x)单调递增，28所以f(x)在（0，2）上的最小值为f(1)1。2由于“对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值1”（*）2又g(x)=(xb)24b2，x11,2，所以①当bp1时，因为g(x)ming(1)52bf0，此时与（*）矛盾②当b1,2时，因为g(x)min4b20，同样与（*）矛盾③当b(2,)时，因为g(x)ming(2)84b，解不等式8-4b1，可得b1728综上，b的取值范围是17,。8（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)(a1)lnxax21.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）设a2，证明：对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，f(x)a12ax2ax2a1xx.当a≥0时，f(x)＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，f(x)＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令f(x)＝0,解得x=a1当x∈(0,a1时,f(x)＞；.)02a2ax∈(a1，+)时，f(x)＜0,故f(x)在（0,a1a12a）单调增加，在（2a，+）单调减少.2a(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以f(x)f(x)4xx等价于1212精品资料______________________________________________________________________________________________________________f(x1) f(x2)≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则a1g(x)2ax+4x＝2ax24xa1.x于是g(x)≤4x24x1＝(2x1)2≤0.xx从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，f(x1)f(x2)4x1x2.（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)(a1)lnxax21（I）讨论函数f(x)的单调性；（II）（II）设a1.如果对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)4|x1x2|，求a的取值范围。a12ax2a1解：（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）.f'(x)x2axx.当a0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加；当a1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得xa1.2a则当x(0,a1)时，f'(x)＞0；x(a1,)时，f'(x)＜0.2a2a故f(x)在(0,a1)单调增加，在(a1,)单调减少.2a2a（Ⅱ）不妨假设x1x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而x1,x2(0,)，f(x1)f(x2)4x1x2等价于x1,x2(0,)，f(x2)4x2f(x1)4x1①令g(x)f(x)a12ax44x，则g'(x)xa12ax40.①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即x精品资料______________________________________________________________________________________________________________从而a4x1(2x1)24x22(2x1)22故a的取值范围为（-∞，-2].12x212x212x2（2010北京理数）(18)(本小题共13分)已知函数f(x)=In(1+x)-x+xx2(k≥0)。2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。解：（I）当k2时，f(x)ln(1x)xx2，f'(x)1112xx由于f(1)ln2，f'(1)3f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为，所以曲线y32yln21)即3x2y2ln230(x2（II）f'(x)x(kxk1)，x(1,).1xx当k0时，f'(x)1.所以，在区间(1,0)上，f'(x)0；在区间(0,)上，f'(x)0.x故f(x)得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).当0k1时，由f'(x)x(kxk1)0，得x10，x21k01xk所以，在区间(1,0)和(1k,)上，f'(x)0；在区间(0,1k)上，f'(x)0kk故f(x)得单调递增区间是(1,0)和(1k,)，单调递减区间是(0,1k).kk当k1时，f'(x)x2故f(x)得单调递增区间是(1,).x1当k1时，f'(x)x(kxk1)0，得x1k(1,0)，x20.1x1k所以没在区间(1,1k)和(0,)上，f'(x)0；在区间(1k,0)上，f'(x)0k(1,1k)和(0,k(1k,0)故f(x)得单调递增区间是)，单调递减区间是kk（2010江苏卷）20、（本小题满分16分）设f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)具有性质P(a)。(1)设函数f(x)lnxb21)，其中b为实数。x(x1(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间。(2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2(1,),x1x2,设m为实数，mx1(1m)x2，(1m)x1mx2，且1,1，若|g()g()|<|g(x1)g(x2)|，求m的取值范围。精品资料______________________________________________________________________________________________________________[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16分。（1）(i)f'(x)1b22x(x12(x2bx1)x(x1)1)∵x1时，h(x)10恒成立，x(x1)2∴函数f(x)具有性质P(b)；(ii)（方法一）设(x)x2bx1(xb)21b2，(x)与f'(x)的符号相同。24当1b20,2b2时，(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；4当b2时，对于x1，有f'(x)0，所以此时f(x)在区间(1,)上递增；当b2时，(x)图像开口向上，对称轴xb1，而(0)1，2对于x1，总有(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；（方法二）当b2时，对于x1，(x)x2bx1x22x1(x1)20所以f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；当b2时，(x)图像开口向上，对