（一模）扬州市2026届高三模拟调研测试数学试卷（含答案详解）

扬州市2026届高三模拟调研测试

数学2026年1月

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

I.设J={xez|x2<9},B=R，1，2,3/则集合AU8中元素的个数为

A.3B.4C.5D6

【答案】D

【答案解析】4={-2，-l，0，l，2},AUB={-2，-1，0，1，2,3},共6个元素，选D.

2.已知复数z满足((l—i)・z=1+i,则|z|等于

A.1B.V2C.2D.V3

【答案】A

【答案解析】|l-i||z|=|l+iL.-.V2|z|=A--Iz|=1,选A.

3.若。(.,4)为抛物线.y2=4x上一点，则点2到其焦点的距离为

A.4B.5C.2V5D.6

【答案】B

【答案解析】P(x()，4)在抛物线y2=4x±,.・.16==4,尸到焦点的距离4+1=5,选

B.

2、-明工20,

4.已知函数/(x)〜(1Y为奇函数，则的值为

b—-,x<0.

A.0B.-2C.2D.1

【答案】C

【答案解析】f(x)为奇函数，贝k/(0)=0,.-.2°-a=0,.-.a=l/(-

1)4/(1)=0,・・・62+2一片0,,・・b=a=1,I.a+b=2,选C.

5.已知第一组数据.%1/2，X3，・,b1的平均数为无方差为$2,第二组数据

工1，工2，%3,…，/1，%的平均数为方差为S’?,则

A.x=xr,s2>s'2B.x=x',s2<2

C.xxr,s2>s'2D.x丰x',s2<s

【答案】A

【答案解析】一组数据加上平均数后，平均数不变，方差变小，选A.

6.函数y=sm(2%一cosx在区间［0,2扪上的零点个数为

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【答案解析】画作y=sin(2%-匀与度cosx的图象，两个函数共有4个交点，选B.

7.在无穷正项等差数列｛斯｝中，记即为数列｛｛即｝的前〃项和，则“做=3%+2”是“数

列｛四二｝是等差数列”的

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【答案解析】当g=3%+2时，则即+d=3al+2,d=2al+2

2

Sn=naA+d=71al+(2at+2)=naA+n(n—l)(a1+1)=几2al+n—n

22

S7[+n=n2al4-n=n^+1),yjSn4-n=J%+1几,:.{,S九+n|是等差数列,充

分；当{JSn+九}是等差数列时,yJSn4-n=An+

・・・S=+8)2=422+2{S}}

n(Ann2ABn+B-nfn是等差数列的前〃项和

n(n-l),di(d\

222九,而Qi+z2

B=0,Sn=An—Sn九d=-n+^a1--)nf

.•・Qi-gd=2al+2,a2=3al+2,必要，选C.

3.已知双曲线的左、右焦点为&/为双曲线的右支上一点，直线.。生与左支交于点A,

且4P=力尸2・4"PF2的平分线与x轴交于点B,可=：福，则双曲线C的离心率为

A.42B.y/3C.A/5D.y/7

【答案】D

【答案解析】方法一：PB为.NF1PF2角平分线，.•.普=誓="PF1一

P卜2Bk22

PF2=2Q,PF】=6a,PF2=^a,AF2—AFr=2a

AFZ-(PFX-PA)=2AFZ-6a=2a,：.AFZ==2a,^PAFZ=60°,

2222

.・.乙F1AF2=120°,A4c=4Q2+16Q2―2.2a•4a(-0=28a,:.c=7a,

e=夕，选D.

方法二：由角平分线条件・・,誓=能，

PF2r2D

又F2B=|尸2&=：.2c=尸/=F/2-F2B=2C-^=^

6

-3

5玲

---

■•42则

-=3t,PF2=2t,PF1—PF2=t=2a=>t=2a

PF?5

PFi=6a,PF2=4a.又A,P,&共线且.AP=AF2,若&在PA上,

则AP=PF】+AR=AF2=AF2-4Fi=Pa=6a与AF2-=2Q矛盾

在PR线段上，PF1=AP+力&,又.AP=AF2,：-P&=AF2+A&

AF+4F]=PF[=6a

联立2

MF2—AFr=2a=AF2=4a,Aa=2a,AP=4a

二PF?=0P=/IF?=4aqAPF2为正三角形，乙4PF2=60。,且以与.PF1同线

222

zFtPF2=60°.在△居尸尸2中，(2c)=(6a)+(4a)一2•6a•4Q•cos6Q°

=36a2+16a2-24a2=28a2,：•c2=7a2,e=-=V7,选D.

a

《2026锤子寒假集训网课》：给出“关于加：〃的公式

设最T得”2m3-m2n-n3

(7n-n)2(2m-n)'

本题m:n=3:2=>e=

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分）

9.己知五,都是单位向量，且d•»=0,则下列结论正确的有

A伍+3）•（五-3）=0B.\a-]-b\=\a-b\

C.3与五一茄勺夹角为今

D.存在口使得?=+

【答案】ABD

【答案解析】(d+3)(五一3)=五2一宜=1-1=04对.

\a+b|2=a2+2d-b+b2=2,\a-b|2=a2—2a-b+b2=2,d+b\=\a-b\,B^i.

-b)=-1".cos(b>d-b)==一学,.,•方与a-B夹角为|TT

c2=—a2+—a-b+—b2=—4--=1,D对，选ABD.

2525252525

10.已知直线/:(%—l)cos8+ysinO—2=0与圆C:(%—2)2+(y-l)2=16相交于A,8两

点，则下列结论正确的有

A.直线/过一定点

B.直线/与圆工2+丫2-2》一3=0相切

C.点C到/的最大距离为2+V2

D.△ABC的面积恒小于8

【答案】BC

【答案解析】直线/不可能过定点，A错.

圆/+y2-2%—3=0,圆心(1,0),半径2,直线1I:xcos3+ysinO—cos3-2=0

4=总鬻=2=信.直线/与/+y2_2_3=。相切，3对.

C（2,1）到直线/距离C=\2cos0-¥sin0-cos0-2\=1cosO+sinB-2I=|

i

V2sin-2区鱼+2,C对.

S^ABC=1-2yli6一由由=J—d*+16击=，—(宙-8—+64,da=8即d1=2口时,

(SMBC)max=8,。错，选BC.

1.对于等式c?=c,如果将。视为自变量X,〃视为常数，。记为y,那么y=”为寻函数;

如果将视为常数，人视为自变量x,c记为户那么y=a"

ax

^Mmin=九'(％o)=ae°—e(lnx0+1)=——e(Znx04-1)=e——lnx0-1)

aXQx,

axQe=->e,p[x}=%e(r)O),p(x)=(%+1)靖>0/(1)=e,p(ax0)

>p(l),ax>l,^---IVO,一m％0<0,二讥VO如图力‘(x)有两个零点,/i(x)

0Q%o

有两个极值点，。对，选BCD.

方法二：答案极致秒杀由VV2026锤子网课寒假集训>>〃超越函数12个绝招〃知对于A,

/(x)=6"如,令g(x)=xlnx,g'(x)=Inx+1=0=%=}

工当0<x<%,g'G)VO,g(x)单调递减;当寸,g'(x)>O,g(x)单调递漕，：.f(x)

e€

在(o,3上单调递减；(9+8)上单调递增，A错.

1

对于B,fMmin=/(；)=eN=正确.

对于C,由工=logx=工=炉=Ina=》》x,作出九(x)=的大致图象如下

xaxIna

当OVQVg)时，"QV-：此时y=2九Q与y=xZnx无交点

.,一=/。%汇无实根，。正确.

X

对于。，h(x)=eax—exlnx,"(%)=aeax—e(lnx+1)=0=aeax=e(lnx+1)

分别作出F(x)=ae。”与G(X)=e(lnx+1)的图象如下,

y=ae

j/=e(lnz4-l)

O1

其中F(l)=aea<GW=e,・・/(x)与G(x)有两个不同的交点，

尸/z'G)在(0,+8)上有两个变号零点，O正确，选：BCD.

方法三：答案极致秒杀由<<2026锤子网课寒假集训>>〃超越函数绝招〃知，令/(%)=

xx(x)0),Zn/(x)=xlnx,=Inx+1,

x,z错；/'(%)=

//(x)=x(/nx4-1),0<x<-e=>eInx+l<0=>/(x)<0,%>-=>/(x)>0A

Ox=精(3=(斤，B对;

1.Inx,,YT71

Z|\；

-=logax=—=xlnx=Ina=>=a,乂

xr

OVaVGJ=%”=a无解，C对；

h(x)=eax—eInfix')=eax—eZn(xx)=eax—exlnx,h'｛x｝=aeax—e(/nx+1),hrQ)=

zaa,

aee>0,/i(l)=ae—e<e—eVO,limx_t+ooh(^x)=+8,3xtGg1),x2E(1^4-co),使

九'(％i)=〃3)=0;h,f(x)=a2eax—*

〃〃(x)=Q3*+^>o=h”递增，“6)二0至多两解，故恰有两解，

。对.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.己知等比数列｛｛册｝的前〃项和为，Sn,£La2=3,a5=81.若Sn=40,贝i]n=n=_

【答案】4

【答案解析]—=27=Q3,/.q=3,fli=1,S=40,：・n=4.

a24

13.己知函数/(%)="3+以2-7%+1在(7,3)上单调递减，则整数〃的可能取值

为.(答窠不唯一，只需写出满足条件的一个值)

【答案】。可取-3,-2,T任何一个

【答案解析】尸（x）=/+2ax-7工0在（T,3）恒成立，•e•

y十ba—/SU

—3<a<一］,.，・。可取-3,-2,T任何一个.

点评：由函数的单调性求出参数的范围。

14.圆柱（。。1的轴截面为ABCD,AB为下底面圆的直径，AB=五AD=2.点E为下底面

圆周上的一点，平面4CE与上底面的交线为，若四边形BED产为正方形，则四棱锥

B-CEAF的体积为.

【答案】y

【答案解析】方法一：如图建系，

4（0,一1，0）,8（0,1，0）,C（0>1，&）,。（0,一1，一企）,E（cosasin。，0）

H^4E=0xco§6+(sin6+1)p=0

设平面ACE的法向量w=（x,J,z）,.>

n-AC=02y+0z=O

不妨设y=cosa则x=-sin0—l,z=-y/2cos0,

n=(—sm0—1，cos0>—V2sin0),F(x0^yQ>V2),CF=(x0>y0—1*0),CF•n=0

・•・xQ(-sin0-1)4-cos0(yo-1)=0①①)

BEDF为正方形,BE=(cos。，s讥。-l，0),丽=(一一1一Yo,。)，

X。仇-1,痣），.・・.；：：；二'“③,福而巴

：•x0cos9+(y0-l)(sin0-1)=0,④y

M=

2-

yjcos26+（^sin3-l）2=J/?+（y。-i）2+2⑤，由①②③④⑤解

V3

M=-

CO2

。

E停一？0），F（一今？甸，工=停一|,一企）,而=停？0）7-3甫=

=-2

（寺-1，-鱼）万.而=0面=评,・・・田尸为矩形，

SCEAF=Vs,n=到平面ACE距离4=咋产=金=第.♦.v=：x

而x等="

V103

方法二：4B=2,AD=&,设AE=＞，BE=VT^^,DE=A/2+x2・.・四边形

BEDF为正方形，.・•・BE=DEoV4-x2=VITx2=x=1AE=1,BE=6,・♦.

=

VR-CEAF2UB_.EC=^C-ABE=2X-X-XV3X5/2=.

方法三：由vV2026锤子网课寒假集训>>"立体几何超级公式8"知

四、解答他(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)记△ABC内角A、B、C的对边分别为。，"c,已知a2+

c2—b2=-1ac,sinA=^sinB.

(1)求A：

(2)若Qsi"C=|V5,求AB边上的高.

【答案解析】

(1)COSB="+,=-1•.sEB=—

2ac77

..74x/3V34n

:，sinA=-x——=—,A=

87213

(2)s讥。=sin(A+8)=枭0+如竽=当,.,."苧乂蔑=7

：.AB边上的高h=asinB=7x#=4/5.

16.(15分)在平面直角坐标系中，已知.与(一1，0),尸2。，0),平面内一动点P满足IPF1I,|

&F2I,IPF2I成等差数列，记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

(2)过点.M(0,-2)的直线/交曲线。于A,3两点.

①若点人的坐标为(2,0),求线段4A的长：

②若aOM力的面积是aOMB面积的3倍，求直线/的方程.

【答案解析】

(1)>PFi|,|a尸21,1PF2I成等差数列，・・.|PF1|+|P尸21=2In尸21=4(4)|F1F2|)

；・尸的轨迹为椭圆且2Q=4,a=2,c=力=V5

22

=1

・•・曲线C的方程为V4+T3-

(2)①当A(2,0)时，…kMA=1,直线/方程为.广厂2

y=x-2/、/、2

,=＞7x-2（x-2=0,/.

2（））xB=-,

[3X+4/=12X八/B7

设直线/方程为.)，二乙-2

'二"一彳=＞（3+4A2）x2-16Ax+4=0,A＞0

3X2+4/=1217

12k

寸时

①②A

4k

H产+片剧②a=3+4/

<…备③代入③

48k2=」0仁+小

(3+4/c2)23+4/c2-4

・・・直线/的方程为y=±舁—2.

17.（15分）如图，已知多面体PQA8CO中，PA02属4BCD,PA||QC,底面A8CO为正方形.

⑴求证：平面PAB^QBC;

⑵若止2,%=3,,且平面PQ3与平面A5CD所成角的余弦值为半

①求线段CQ的长；

②线段PA上是否存在点M,使得平面MQAn平面ABCD=l,且满足/〃平面PAC.若存

在，试确定点M的位置;若不存在，请说明理由.

【答案解析】

（1；证明：・・・%_1_平面ABCD,：.PA±BC,又,:8。团48,24门48=4・・・8。_1_平面

PAH,TBCu平面QBC,J平面PABmQBC.

(2)①如图建系，设CQ二".•.尸(0,0,3),Q(2,2,加，夙2,0,0)

所=（2,2，m-3）,方=（2,0，-3）,设直线。。8的一个法向量近=（x，y，z）

2x+2y+-3）z=0

%=（3,T〃,2）,

2x-3z=0

而平面ABCD的一个法向量布=（0,0,1）

TI近II底1=715^=乎=m=1,♦・.CQ=1.

②设MA=AP4当044V争寸，由MA=34，延长QW,CA延长线于点G

..“G=寥,"BG,此时G岛,悬，0）,

若/〃平面PAC=BG||4C,而BG=（念,券，。）

AC=（2,2,0）,此时*=券=4=三舍去

13A—13

当；<1<lRj",仿上，也舍

当4=1时，交线/〃AC,・•・/〃平面%C符合，♦•<=1

：•MA=1,M为应上靠近A的三等分点.

18.（17分）某地文旅部门为了解天气状况对某景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天

在该景点调查了200位游客，调查结果如下表.

满意不满意合计

晴天80

阴雨天40

合计140200

（1）完善上述表格，并判断能否有99%的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影

响;

(2)从这200位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对

该景点均满意的概率;

(3)当地天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1天为晴天,

则第2天为晴天的概率为方为阴雨天的概率为若第1天为阴雨天，则第2天为阴

雨天的概率为|,为晴天的概率为1.已知第1天是晴天，求第〃天仍是晴天的概率

Pn，并求前〃天晴天的天数X的期望E(X).

2

附录：/2n(ad-bc'\

(+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.8791().828

【答案解析】

(1)2X2列联表如下:

满意不满意合计

晴天8020100

阴雨天6040100

合计14060200

黑制黑膏32Q6.635

，有99%的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响.

⑵记事件A为两个调查当天的天气状况一致，事件3为他们对该景点均满意

...p(B14)=^2=-+C备=493

J"⑷Cfoo+^ioo990

⑶由题意知Pn+i=|七+式1一%)=[4+]

・・・--；乂匕-22=1,”-；:0

匕-；成首项为:，公比为1的等比数列

2J23

71

n11小"Tn1,1小T

其一天要么是晴天，要么是雨天，它符合两点分布

1,第i天为晴天

记第i天为与,且4=，

0,第i天为雨天

.Spn

fE(犷出n

:・E(X)=E

=¥©)=卒-2+

3

注：一行秒杀：由VVV2026锤子网课寒假集训>>〃概率绝招16〃知:

2

33

T"-'=-1+=p取第一分量)

22m

133>

19.(17分)已知函数.f(x)=ax+伍x,直线2x-y-l=0与曲线y=f(x)相切.

(1)求4的值;

(2)若对任意xe[j2,存在ce[-e>0],(%+1)/(%)>x2+bx+c成立，求b的最

大值;

⑶若0=e"/(x),求证：对任意s,t€(l，+8),有@(s+£)>(s)+(£).

【答案解析】

方法一：常规(1)设切点为(x*ax+/nxo),/^%)=a+-,k=a+—・•.

00xXQ

,a4--=2=1

{XO={。，・•.Q=1

2x0—axQ-lnx0—1=0ci=1

(2)对V%E[}'"J,Sc6[—ef0]使(%+l)(x+Inx)>x2+bx+c

先处理于固定住x,E[—e，0]使之成立，即.%+①%Nbx+c成立

只需.xlnx