机电控制工程第1章课件

第1章状态反馈控制及二次型最优控制

1.1简介

1.1.1状态反馈控制的概念

线性控制理论已发展为现代控制理论的一个非常重要的独立分支，其本质是一种时域分析法，即状态空间法，它的目标是要揭示系统的内在规律，实现系统在一定意义下控制的最佳化。 严格来讲，纯粹的线性控制系统并不存在。但在一定条件下，将某些系统近似按线性化的方法处理，并不会带来太大误差，应用线性控制理论设计，基本可以满足工程要求。状态反馈控制系统主要以线性控制理论为基础，是线性控制理论综合应用最成熟、最实用的部分之一。状态反馈控制系统的分析和综合，既涉及系统的稳定性，可控性与可观性，状态反馈与状态估计等基本概念，又包括极点配置、状态观测器的理论与设计等基本内容，而这些也均是现代控制理论的重要基础。

应用状态反馈方法，可以实现系统在二次性能指标函数意义下的控制的最优化，即二次型最优控制。

1.1.2可控性与可观性的概念

系统的可控性（能控性）与可观性（能观性）是现代控制理论中两个非常重要的基本概念。是卡尔曼(Kalman)在60年代初提出来的。可控性研究的是系统的输入变量U对系统的状态变量X的控制作用；可观性则研究的是系统的输出变量y对系统的状态变量X的观测能力；现代控制理论中的状态反馈，最优控制和最优估计都是以系统具有可控性和可观性为先决条件的。

图1-1可控性与可观性

用数学的语言来讲，可控性的定义是：“在有限的时间内(t。→tf)，通过改变系统的控制量U,如果能使系统的全部状态变量X，由任意的初态X(t。)转移到终态X(tf)=0，则系统的状态

是完全可控的”，简称“可控”。如图1—2；如果在有限时间内(t。→tf)，通过改变控制量u，能使系统的全部状态变量X，由初态X(t。)=0转移到终态X(tf)为任意值，则系统的状态是“完全

可达的”，简称“可达”。如图l-3。对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。图1-2

可控性图1-3可达性

可观性的定义是：“在有限的时间内(t。→tf)通过对系统的输出变量y的不断观测，如果能把系统全部初态X(t。)都唯一的确定下来，则该系统是完全可观测的”，简称“可观”。“如果在有限的时间内(t。→tf)，通过对Y的不断观测，能把系统的全部终态X(tf)都唯一的确定出来，则称该系统是完全可检测的”．简称“可检”。对于线性定常连续系统，可观测性与可检测性也是完全等价的。判定线性定常系统可观的充要条件是矩阵 的秩为n,即N满秩.对于单输入系统，单输出系统或单输入单输出系统，使系统是可控并可观的充要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。

1.2输出反馈与状态反馈

控制系统最基本的形式是由受控系统和反馈控制环节所构成的反馈系统。在古典控制论中。习惯于采用输出反馈；而在现代控制理论中，通常采用状态反馈，这就构成了反馈的两种基本形式。1.2.1输出反馈反馈能改变系统的动、静态性能，是自动控制的一个基本原理。

图1-6未加反馈之前系统的状态变量图图1．7引入反馈后系统的状态变量图

由图可知u=r-FX所以=AX+Bu=AX+B(r-FX)即=(A-BF)X+Br (1-4) 加入状态反馈后，系统的状态变量图变成了图l.7

式(1-4)就是加入状态反馈后，闭环系统的状态方程。式中，A、B矩阵都是原系统给定的，是不能任意改变的。但反馈矩阵F却是可以人为改变的，只要改变F，就可以使(A-BF)发生改变，从而可以改变系统的动态性能。例如，当r=0时，系统的状态方程就简化成=(A-BF)X(1-5)其解为x(t)=exp[(A-BF)t]X(0)(1-6)如果原系统A所对应的特征根不完全具有负实部，则系统将是不完全稳定的，这时，只要适当选取反馈阵F，使(A-BF)所对应的特征根均为负实部，就可以使原来不稳定的系统转化为稳定系统

状态反馈不改变受控系统的可控性，但不保证系统的可观性不变

1.3.1.1任意极点配置

为了简单起见，我们只研究单输入、单输出系统。设系统的状态空间表达式为

以上所讲的过程，只适用于状态方程具有可控标准型的情况。利用MATLAB软件很容易将一般的状态方程转换为标准型：sys1=ss(A,B,C,D)csys=canon(sys1,’companion’)用co1=ctrb（A，B）可计算出系统的可控性矩阵co1=[B，AB，…An-1B]用n1=rank(co1)可以计算出co1的秩n1,如果n1=n,则系统sys1可控同样,用ob1=obsv(A,C)可计算出系统的可观性矩阵ob1用n2=rank(ob1)可以计算出ob1的秩n2,如果n2=n,则系统sys1可控另外,用co1=gram(sys1,’c’)和ob1=gram(sys1,’o’)也可求出可控性和可观性矩阵。实际上，不用转换成可控标准型也可进行极点配置,具体办法如下：

1.3.1.2极点配置举例

例1．2设线性定常连续系统的传递函数为

试确定反馈矩阵F，使闭环系统的极点配置在S1=-2,S2=-1+j,S3=-1-j位置上.解：因为给定的传递函数无零极点对消现象，所以给定系统为状态完全可控且可观。与给定传递函数对应的状态方程为利用MATLAB可以方便地进行极点配置对于SISO系统（单输入单输出系统），若采用全反馈u=-Kx的反馈系统，且要使其具有指定的极点p，

即p=eig（A-BK）可由表K=acker（A，B，p）得到需添加的反馈矩阵K。例如例1.2要确定反馈矩阵F，使闭环系统的极点配置在S1=-2,S2=-1+j,S3=-1-j位置上.p=[-2,-1-j,-1+j];num=[10];den=[1,3,2,0];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)K=acker（A，B，p）得到:K=1,4,4注意反馈矩阵次序要倒过来写K=[4,4,1],和上页推导结果一致.另外注意这里的K是反馈矩阵,而不是反馈传递函数模块.对于MIMO系统(多输入多输出系统)可采用函数K=place(A,B,p)二次型最优控制就是使上述二次型目标函数为最小的控制。 若系统的输入信号u为已知，求解满足J为最小(如误差为最小)时系统的某些参数时，则这是属于参数最优控制问题；若系统处于某平衡状态，要寻找一控制信号u(t)，使系统受外来干扰等后，系统回复到原来的平衡状态过程中，J为最小，则这是最优调节器的研究；如果输入信号是一理想的(所要求的)信号，使系统输出信号跟踪该输入信号时满足J为最小，则这时是关于最佳跟踪控制问题。在最优调节和最佳跟踪控制问题中，J还表示了在调节或跟踪过程中，将对控制量u的能量加以约束，这在工程中意味着防止出现过大的能量输入，而导致被控设备的损伤。

上式中x1,x2…等变量代表各种物理量，在机电控制中它们可代表位移、速度、加速度、压力等。如取系统的平衡状态X=0，那么X=[x1,x2，…，xn]T便表示系统偏离平衡状态的偏差(或误差)，加一积分即为偏差的累积。式中采取各变量的平方可以避免累积(积分)时正负偏差相互抵消。

在最优控制时，通常给出的条件是：系统的动态方程，控制(或输入)向量，约束条件，目标函数，系统除动态方程外的其他一些必要参数。所谓最优控制问题就是根据以上这些条件找出最优控制规律。最优控制规律通常取决于：确定的性能指标及控制目的，约束条件，初始状态及初始输出，希望状态或希望输出以及代表系统动态特性的方程式。

Q及R为权矩阵，一般要求为正定实对称矩阵，用来确定状态变量与控制变量在性能指标中所占的比重。最后所得的控制作用函数与Q、R有关，合理的选择它们的数值十分重要，通常要凭经验多次反复选择，使其既能很好满足目标函数J的要求，又能使系统在调节过程中有优良的动态特性。在系统的设计阶段，可通过对系统的控制仿真来初步确定。

1.4.1代数Riccati方程求解

设线性系统的状态方程模型(A，B，C，D)已知，如果希望这样一个系统能够满足某种最优的要求，最简单的可以引入线性二次型最优控制指标，即J=

其中Q(t)和R(t)分别是对状态变量和控制量的加权矩阵。一般情况下，假定这两个矩阵为定常矩阵(即不随时间变化)，并简记Q(t)=Q，R(t)=R。线性二次型最优控制就是求出J最小时的控制量u(t)，从而获得性能最优。为了达到这一目的，首先构造一个Hamilton函数：

对u求偏导数

可以求出最优控制信号u(t)为：其中P(t)矩阵就是以下Riccati方程的解：

某控制系统的状态方程描述以及Q、R矩阵如下。试求解其代数Riccati方程的解和最优控制信号U(f)，并绘制系统对两个输入量的阶跃响应曲线。

本例是一个2×2的多输入多输出系统，因此最优控制信号是二维的。Q是状态变量的加权矩阵，R是控制信号的加权矩阵，其意义是衡量二者在性能指标J里的权重。除了要求它们必须是正定矩阵之外没有什么特殊要求。不过不同Q和R会得出不同的代数Riccati方程的解，进而会得出不同的最优控制信号u（t）。求解过程：本例的解题步骤分为以下几步：1．求解代数Riccati方程调用care()函数可以很快得到代数Riccati方程的解。程序如下:

得到系统的二维最优控制信号如图1—19所示。

图1．19最优控制信号变化曲线从图l—19中可以看出，在阶跃输入下，控制信号基本上在0．5s。0．7s左右就趋于稳定，也就是说，系统的过渡过程时间不会大于这个值。当然，在实际的控制系统中，最优信号的值是不必我们手工计算的，只需求出状态反馈矩阵，也就是最优控制器即可。

3．系统对输入的响应曲线

紧接上一步，在MATLABCommandWindow键入下列语句即可获得图1.20和图1.21所示的曲线：图1．20系统对第一个输入量的阶跃响应曲线图1．21系统对第二个输入量的阶跃响应曲线这里求解系统的闭环参数矩阵时用的是A+B*K而不是A-B*K，这是因为在计算状态反馈矩阵K时已经包含负号了。从图1.20和图l.21中还可以看出，系统的过渡过程时间都在0．5s一0．7s之间.

1.3.2线性二次型最优控制器设计举例

使用线性二次型最优控制器进行控制系统设计和校正的最大优点就是不必根据要求的性能指标确定闭环极点的位置，只需根据系统的响应曲线寻找出合适的状态变量和控制量的加权矩阵即可。因为求得的控制器是误差指标J最优意义下的控制器，所以系统的性能也是J指标意义下最优的。某倒立单摆系统如图1.22所示，其中小车的质量为M=0.5kg，倒立单摆的质量为m=0.2kg，小车的摩擦系数为b=0.1，端点与倒立单摆质心的距离为l=0.3m，倒立单摆的惯量为I=0.006kg·㎡，输入量u=F是施加在小车上的外力，四个状态变量分别是小车的坐标x，x的一阶导数，倒立单摆的垂直角度θ，及θ的一阶导数。输出的被控量分别是小车的坐标x和倒立单摆的