小波变换h5双正交小波课件

第五章双正交小波正交小波的性质对称性（√），紧支撑（×）对称性（×），紧支撑（√）对称性（√），紧支撑（√）光滑性（×）→Harr小波紧支撑且线性相位(对称性)？双正交小波！5.1滤波器的相位特性在线性系统理论中,滤波器的传递函数可表达为

为幅频特性，为相频特性。如果可以表示为

式中α和β为常数，那么称为具有线性相位特性当滤波器具有线性相位特性时,输出信号将不产生相位畸变。这一点对图像信号十分重要，因为视觉对于相位畸变非常敏感

线性相位，振幅畸变非线性相位，振幅无畸变滤波器如何具有线性相位特性？

定理5.1

滤波器具有线性相位的必要与充分条件是它的脉冲响应函数具有如下关于的共轭对称性：证明：必要性：……充分性：推论5.1如果限定脉冲响应为实函数，那么由式(5.1.3)可知，这时必为实数,即

所以实脉冲响函数具有线性相位的必要与充分条件是任何实值脉冲响应的数字滤波器具有线性相位的必充条件是5.2双正交小波的基本性质如果有两对函数与，其中，尺度函数和分别生成MRA和MRA，而和则分别张成在下述意义上的补空间和：

并且它们之间还满足如下正交关系：

那么这两对函数称为互为对偶的双正交小波。5.2.2双正交小波的二尺度关系二尺度关系令则双正交基本条件若令则正交基本条件

和的长度和之间的关系

（1）两者长度均为奇数，并且长度相差２的奇数倍，因而两者不可能等长。小波和是一对偶对称双正交小波。（2）；两者长度均为偶数，并且长度相差２的偶数倍，两者等长是可能的。小波和是一对反对称双正交小波。（3）L为奇数,为偶数或为L偶数,为奇数序列的终点下标和起点下标关于奇偶性出现矛盾，故此种情况不存在function[y,t]=biofilter1(n)t(1)=sym(1);%syms是定义符号变量；sym则是将字符或者数字转换为字符。fori=1:nt(i+1)=t(i)*(n+1-i)/i;endfori=1:nt=t/2;endy=sym(0);symsz;n2=floor(n/2);%朝负无穷方式舍入fori=-n2:n-n2y=y+t(n2+i+1)*z^i;endfunctiony=biofilter2(n,m)k=(n+m)/2;t(1)=sym(1);forp=2:kt(p)=sym(1);forj=1:p-1t(p)=t(p)*(k-1+p-1+1-j)/j;endendm0=sym(0);symsz;forj=1:km0=m0+t(j)*((z^(-1/2)-z^(1/2))/(2*i))^(2*(j-1));endifn/2==fix(n/2)%fix(n)的意义是取小于n的整数(是向零点舍入）m0=m0*((z^(1/2)+z^(-1/2))/2)^m;elsem0=m0*z^(1/2)*((z^(1/2)+z^(-1/2))/2)^m;endy=collect(m0);%返回系数整理后的多项式

>>biofilter2(2,4)ans=1/4/z+1/2+1/4*zans=3/128*z^4-3/64*z^3-1/8*z^2+19/64*z+45/64+19/64/z-1/8/z^2-3/64/z^3+3/128/z^4

>>biofilter2(4,2)

ans=1/16/z^2+1/4/z+3/8+1/4*z+1/16*z^2ans=3/32*z^3-3/8*z^2+5/32*z+5/4+5/32/z-3/8/z^2+3/32/z^3

>>biofilter2(1,5)ans=1/2+1/2*zans=3/256*z^5-3/256*z^4-11/128*z^3+11/128*z^2+1/2*z+1/2+11/128/z-11/128/z^2-3/256/z^3+3/256/z^4

>>biofilter2(5,1)ans=1/32/z^2+5/32/z+5/16+5/16*z+5/32*z^2+1/32*z^3ans=3/16*z^3-15/16*z^2+5/4*z+5/4-15/16/z+3/16/z^2

5.4基于双正交小波的分解与重构任给重构基分解基在双正交小波情况下，信号的分解与重构采用不同的基

(a)分解(b)重构5.5小波函数的消失矩性质定义5.1当小波函数满足如下条件时称具有N阶消失矩定理5.4具有N阶消失矩，则以为其N重零点。推论5.2具有N阶消失矩，则以为其N重零点。

定理5.6

对于一对给定的双正交尺度函数和，其相应的二尺度系数序列为和，那么所有满足如下条件的序列将与序列也满足双正交关系。式中是一个三角函数多项式。提升方案的基本公式简单的提升步骤：已知：任何一对双正交尺度函数和(对应于和)，步骤：选择合适的三角多项式并根据下式获得新的和新的

用户定制（custom_design)从haar小波出发的提升已知：要求：提升后小波具有二阶消失矩提升：依据定理5.4，提升后的小波所对应的在应具有二重零点，由此获得三角多项式的具体表达式，并代入提升方案的基本公式即可。将Lazy小波提升到具有二阶消失矩的过程与此相同交替提升：第一次提升：（和不变）第二次提升：（和不变）

Sweldens分解和重构算法

1、分解算法推导按照（5.6.3）提升则对应的序列根据标准分解算法有（5.6.3）（4.1.5）一次提升的分解步骤关于（提升和）：第一步：用和对输入信号按标准算法作一次分解得

第二步：更新

一次提升的分解步骤关于（提升和）第一步：用和对输入信号按标准算法作一次分解得

第二步：更新

交替提升的分解步骤2、重构算法针对图示的分解算法，推导其重构过程按照（5.6.4）提升则对应的序列根据标准重构算法有（5.6.4）（4.2.4）一次提升的重构步骤第一步：计算（去提升）第二步：计算一次提升的Sweldens重构算法交替提升的Sweldens重构算法作业利用Sweldens算法实现信号的分解与重构可参考第四章示例程序的信号和模式给出图形结果使用haar小波或lazy小波的一次提升整型小波变换提升方案为扩展小波变换的应用领域提供了更多的灵活性。常规的小波变换都是采用浮点运算的，但利用提升方案所带来的便利，可十分方便地构造整数到整数的小波变换。将整数小波变换用于图像压缩就可以用小波变换进行无失真的图