(高清打印版)上海中考数学自招试卷及答案要点

*************高中自主招生练习卷数学试卷考生注意：本试卷共18题.试卷满分150分，考试时间100分钟.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本 试卷上答题一律无效.除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）1.的最小值是.2.不等式的解是全体实数，则的取值范围是.3.如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝3cm，AB＝6cm，且MN∥PQ∥AB，DM＝MP＝PA，则MN＝cm，PQ＝cm.4．已知关于的不等式>的解是一切实数，则的取值范围为___________.5.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是.6.若多项式分解因式的结果中有一个因式为，则的值为.7.若为正实数，且，则的最小值为.8.对任意A中任取两个元素x，y，定义运算x*y＝ax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A中存在一个非零常数m，使得对任意x，都有x*m＝x，则称m是集合A的“钉子”．集合A＝{x|0≤x≤4}的“钉子”为．二、简答题（共109分）9.（8分）已知实数,满足,,求的值.10.（8分）已知集合A＝{0，1}，B＝{a2，2a}，其中a∈R，我们把集合{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，记作A×B，若集合A×B中的最大元素是2a+1，求a的取值范围.11.（8分）设，且，求的取值范围。12.（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是（1）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．（2）已知二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为，求关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集．13.（10分）已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．14.（10分）已知a∈R且a≠1，试比较与1+a的大小．15.（12分）求代数式的最小值16.（14分）等腰直角三角形PQR的斜边QR的长为2.正方形ABCD的边AB在QR上,边DC过点P,边DA,CB分别交PQ,PR于点M,N.当AB在QR上水平滑动时,△QAM与△BRN的周长和是否为定值？说明理由．17.（14分）初中时，我们已经简单学习了向量。阅读以下材料，回答问题：向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为一组基底。为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得=x+y，因此把实数对(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)。这就是向量的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量称为点P的位置向量。设，都是非零向量，θ是与的夹角则有：①||||cosθ=·；②当与同向时·=||||当与反向时·=-||||；③|·|≤||||；④⊥=·=0，适用在平面内的两直线.（1）已知三点P(1,1),A(2,-4),B(,-9)在一条直线上，用向量的方法求的值.（2）等腰直角三角形中，==2,则·=.（3）若向量+3与7-5垂直，-4与7-2垂直，则非零向量与的夹角是.18.（15分）如果有理数可以表示成（其中是任意有理数）的形式，我们就称为“录取数”。请证明：两个“录取数”（）之商也是“录取数”。高中自主招生练习卷数学答案要点一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）题号12345678答案54；5[0,1)m>且m≠-2,m≠4-2054简答题分类讨论.当a,b均大于0时，原式=1；当a,b均大于0时，原式=-1.10.【解答】解：由题意可知集合A×B中的元素分别是a2，2a，a2+1，2a+1，∵2a+1为最大元素∴可列不等式2a+1＞a2+1解不等式得0＜a＜2故答案为：0＜a＜2．11.解：令则比较系数有即12.【解答】解（1）因为等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|}，所以和2是一元二次方程ax2+5x﹣2＝0的两根，∴＝﹣，解得a＝﹣2，∴不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0，即2x2+5x﹣3＜0，∴（2x﹣1）（x﹣3）＜0，解得﹣3＜x＜，所以不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（﹣3，）；（2）由（1）知a＝﹣2，∴二次不等式﹣2x2+bx+c＜0的解集为，∴和是一元二次方程﹣2x2+bx+c＝0的两根，∴+＝﹣，＝﹣，解得b＝，c＝﹣，所以不等式cx2﹣bx+a＞0可化为：﹣﹣x﹣2＞0，即x2+5x+6＜0，解得﹣3＜x＜﹣2．所以关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为（﹣3，﹣2）．13.【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③；解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．14.【解答】解：∵﹣（1+a）＝．可得①当a＝0时，；②当a＞1时，，∴；MAKEBYASEEE0③当a＜1且a≠0时，，∴．MAKEBYASEEE0综上可知：当a＝0时，；当a＞1时，；当a＜1且a≠0时，．15.原式可化为平面直角坐标系中一点到两点的距离之和.结合图形可得，原式最小值为.16.是定值，.17.（1）x=3；（2）