5-2 平面向量的数量积及坐标运算（精练）（基础版）（解析版）

5.2平面向量的数量积及坐标运算（精练）（基础版）题组一题组一坐标运算1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因为，所以.故选：D3．（2022·全国·模拟预测）设向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】向量，，，解得，故选：D4．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，又与的夹角为钝角，当与共线时，，所以且与的不共线，即且，所以，故选：D．5．（2022·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】由得，即，，，，，与同向的单位向量为，反向的单位向量为．故选：C．6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（

）A．0 B．48 C． D．【答案】C【解析】由题意，得，又与反向共线，故，此时，故.故选：C.7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（

）A． B．C．方向上的投影是 D．【答案】C【解析】由已知，，所以，，因为，所以不平行，A错，因为，所以不垂直，B错，因为方向上的投影为，C对，因为，所以不垂直，D错，故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.故选：D.9．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量，，则以下与垂直的向量坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，所以，，，；故选：B10．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知向量，向量.则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上投影向量故选：A11．（2022·江西·赣州市第三中学）已知向量，.若，则可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，∴，又∵，∴或，对选项A，若，，解得，此时不成立；对选项B，若，，解得，此时不成立；对选项C，若，，解得，此时成立；对选项D，若，，且，此时不成立.故选：C12．（2022·安徽淮南·二模）已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】等比数列公比为q，而，则，解得，，，则，对于A，，因，则A不是；对于B，，因，则B不是；对于C，，因，则C不是；对于D，，因，则D是.故选：D13．（2022·全国·高三专题练习）若向量，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为向量，，对于A：若，则，解得：，所以不存在，使得，故选项A不正确；对于B：若，则，可得，所以存在，使得，故选项B正确；对于C：令可得：，所以存在使得，故不成立，故选项C不正确，对于D：，，若，则，此方程无解，所以不存在，使得，故选项D不正确；故选：B.14．（2022·全国·高三专题练习）已知点，则满足的的坐标为______.【答案】.【解析】设的坐标为，且，因为，可得，可得，所以的坐标为.故答案为：.题组二题组二巧建坐标1．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，，若，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图：以为原点，建立如图的平面直角坐标系，因为四边形是矩形，，，，则，，，，则，，故，因为，所以，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（

）\A． B． C． D．【答案】B【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，，，，，，即的取值范围为.故选：B.3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】设，则，，整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，又在圆上，故的最大值是.故选：B.4．（2022·重庆·二模）已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（

）A．13 B． C．5 D．【答案】A【解析】建立如图所示坐标系，则点，设点，且，则

故当时，有最大值为13故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以，，，设，，则，，，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故选：C.6．（2022·湖南·一模）在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则，，∴，当且仅当P在原点时，取等号﹒故选：C.7．（2022·福建厦门·高三阶段练习）平面四边形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB，∠ADC=，则的最小值为（

）A．- B．-1 C．- D．-【答案】D【解析】由题设，可得如下示意图，所以，因为，即在以中点为圆心，为半径的劣弧上，所以要使的最小，即最大即可，由圆的性质知：当为劣弧的中点时最大，又AC=，此时，故的最小值为-.故选：D8．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】如图，设，当时，取得最小值，过作，即取得最小值为，因为与的夹角为，所以，所以.故选：A.9．（2022·宁夏·银川一中一模（文））在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（

）A．4 B．C．2 D．【答案】C【解析】依题意在直角中，，，以为原点建立如图所示平面直角坐标系，，设是的中点，则.，所以满足，设（为参数，），依题意，即，，，，所以当时，取得最大值为.故选：C10．（2022·全国·高三专题练习）骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（

）A． B．12 C． D．24【答案】B【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，因为圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形所以点，，，所以，所以，所以当，的最小值为.故选：B题组三平面向量与其他知识的综合运用题组三平面向量与其他知识的综合运用1．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状是（

）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．既非等腰三角形又非直角三角形【答案】A【解析】，，即，，则的形状是直角三角形.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】C【解析】设的中点是，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.3（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）已知,,其中，则以下结论正确的是（

）A．若，则B．若，则或C．若，则D．若，则【答案】BCD【解析】对于A，若，则，则，因为，所以，则或或，故A不正确；对于B，若，则，则，因为，所以，所以或，所以或，故B正确；对于C，，则，故C正确；对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.故选：BCD.4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知点为平面直角坐标系原点，角的终边分别与以为圆心的单位圆交于两点，若为第四象限角，且，则（

）A．B．当时，C．最大值为D．当时，【答案】CD【解析】易知，，故A错误；当时，，，故B错误；由于，故过原点时，最大且最大值为，故C正确；因为，且为第四象限角，所以.，，即，，故D正确.故选：.5．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且，O是内一点，且满足为，，则___________.【答案】4【解析】中，，由余弦定理可得，，，；，，且，为的重心，且，如图所示；则，解得．故答案为：．6．（2022·广东茂名·高三阶段练习）设，，，，是一组平面向量，记，若向量，且，则_________．【答案】5或6【解析】设数列满足，则数列的前n项和为，∴，又，，∴，即，解得，或，故5或6.7．（2022·上海·高三专题练习）A、B是直线上的两个动点，