八年级数学全等三角形新课讲义完整版(全8讲)

八年级数学全等三角形新课讲义全面完整版目录第目录第一讲全等三角形概念及其性质第二讲全等三角形的判定（SSS）第三讲全等三角形的判定（SAS）第四讲全等三角形的判定（ASA、AAS）第五讲全等三角形的判定（HL）第六讲全等三角形的判定综合第七讲角平分线的性质第八讲全等三角形复习测试第一讲全等三角形概念及其性质知识要点全等三角形的有关概念1）能够完全重合的两个图形叫做形。2）能够完全重合的两个三角形叫做全等形。ABABCDEF3）全等三角形表示方法：“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC≌△DEF。4）对应元素：①对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点②对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边③对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，△ABC和△DEF全等，是，记作△ABC≌△DEF。其中，。2、常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。（1）平移型：如下左图，若△ABC≌△DEF，则BC=EF。将△DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。AABCDEFABCDEF（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角∠1=∠2。AABC1EDABCDO12（1）（2）ABDC（1）（2）ABCED（3）翻折型：如右图，两个三角形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。知识延伸：如果两个三角形全等，则三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。4、规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。典型例题例1：若把△ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到△ADE，请写出图中所有的对应边和对应角。BBACDEEABCDO例2：如图，已知△ABD≌△EABCDOABCDFE例3：ABCDFE例4：如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A、150B、200C、250例5：如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折1800形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则求∠α的度数。例6：如图所示，△ABC≌△ADE，∠B和∠D对应，∠C和∠E对应，且∠B=25°，∠E=105°，∠DAC=15°，则∠EAC等于多少度？

例7：如图，已知△ABC≌△DBE，AB⊥CD，DE的延长线交AC于点F，那么DF⊥AC吗？说明理由．例8：如图，已知△ABE≌△ACD．且AB=AC，求证：(1)∠BAD=∠CAE;(2)BD=CE.例9.如图，已知，，，，.求的度数.反馈练习1．如图，△ABC≌△DCB，若∠l与∠2是一组对应角，则其他的对应角有，，对应边有，，。2．如图，△AB≌C△A′B′C′，且点B，B′，C，C′在同一直线上，则BB′=____；若∠A=80º，则∠A′=º，∠B′DC=º。（题1）（题2）（题3）（题4）3．如图，把△ABC沿直线BC翻折180º，得到△DBC，则△ABC与△DBC的关系是。4．如图，把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△AED，那么△ABC△AED，其中对应边有，，，对应角有，，。5．（南通）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70º，∠C=25º，则∠AEB=。（题5）（题6）（题7）（题9）6．如图，△ABD≌△ACD，AB=AC，则∠BAD=∠，BD=，∠ADB=度7．如图，若△ABC≌△EDC，且∠B=58º，CD=2cm，点B，C，E在同一直线上，则∠E=，BC=cm.8．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32cm，DE=9cm,EF=12cm，则AB=cm,BC=___cm，AC=9．如图，直角△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，则下列结论中错误的是()A.△ABC≌△DEFB.∠DEF=90ºC．AC=DFD．EC=CF10.下列说法，(1)形状相同的两个三角形是全等三角形；(2)面积相等的两个三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周长相等，面积相等；(4)若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，AB=EF.其中正确的个数有()A.l个B.2个C．3个D．4个11．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则下列结论：①AC=AF;②∠FAB=∠EAB；③EF=BC;④∠EAB=∠FAC.其中正确结论的个数是()A.l个B.2个C.3个D.4个如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为()A．15ºB．20ºC．25ºD．30º（题11）（题12）（题13）（题14）（题15）（题16）13．如图，△ABC≌△CDA，下列各组边中，不是对应边的是()A．AB与DCB.AC与CAC.AD与CBD.AD与DC14.如图，△ABC≌△ADE，点B的对应点是点D．若∠BAD=100º，∠CAE=40º，求∠BAE的度数．15、如图所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，∠B=30°，∠ACB=85°，求△AEC各内角的度数．

16、如图，已知≌，求证：第二讲全等三角形的判定（SSS）知识要点1、三角形全等的判定方法一：SSS三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。书写格式：ABCA’B’C’在△ABC和ABCA’B’C’∵∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）规律方法小结：（1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题的一种思想方法。典型例题例1.在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线.求证：△ABD≌△ACDBBCDEFA例2．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：ABCDEF．例3.如图，点A，B，C，D在同一直线上，且AD=BC，AE=BF，CE=DF.求证:DF//CE.、例4.如图，已知△ABE≌△ACD，求证：∠l=∠2.例5.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，且AC=BD，AM=CN，BM=DN.求证：AM∥CN，BM∥DN．例6.已知：如图，四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，求证：∠A=∠C．例7．如图所示，AB=AE．BC=ED，CF=FD．AC=AD，求证：∠BAF=∠EAF.（三）练习：1．如图，若AB=AC，BD=CD，∠B=62º，则∠BAC=度．2．如图，已知AB=CD，AD=CB，还有条件，可判定△ABC≌△CDA，其依据是．（题1）（题2）（题3）3．如图，在△ABD和△ACE中，已知AB=AC，BD=CE，AD=AE，若∠l=20º，则∠2=．4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，且AO=BO，CO=DO，AD=BC，则图中全等三角形有对．5．如图，已知AB=BC．AD=CD，∠ABC=80º，∠ADC=50º，则∠A=º，∠C=º．（题4）（题5）（题6）6．如图，已知AB=AC，点D为BC的中点，下列结论：(1)△ABD≌△ACD；(2)∠B=∠C;(3)AD平分∠BAC;(4)AD⊥BC.其中正确的个数是()A．1个B．2个C.3个D.4个7．下列说法：(1)周长相等的两个等边三角形全等；(2)有三个角对应相等的两个三角形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等；(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等．其中正确说法的个数是()A.4个B．3个C．2个D．1个8．下列命题中正确的是()A．有两条边对应相等的两个三角形全等B．两个等边三角形全等C．两个等腰直角三角形全等D．三边对应相等的两个三角形的对应角也相等，9．如图，已知AB=AC，BD=CD．求证：∠l=∠2.10.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是BC的三等分点，且AD=AE.求证：△ABD≌△ACE.11.如图，在△ABC和△DCB中，AC和BD相交于点O，AB=DC，AC=BD，求证：OB=OC12.如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF13.如图16，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M.(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)过点C作CN∥BD，过点B作BN//AC，CN与BN交于点N，试判断线段∠NBC和∠NCB数量关系．并证明你的结论．14.已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.第三讲全等三角形的判定（SAS）（一）知识要点1、三角形全等的判定方法二：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。书写格式：ABCA’B’C’在△ABC和ABCA’B’C’∵∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）知识延伸：“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角。例1.如图所示，直线AD、BE相交于点C，AC=DC，BC=EC.求证：AB=DE例2：如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD=AE，AB=AC。求证：△ABD≌△ACEAABCDE规律·方法：证明三角形全等时，一般需要三个条件，如果已知两对边，就试着去找第三对边或这两对边的夹角，利用“SSS”或“SAS”来证明两个三角形全等；例3：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE的两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED。求证：AC=CDAABCDE例4．如图，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.求证：CE=BD．例5：如图，点E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D例6.如图，BE、CF分别是△ABC的高．P是BE上一点。且BP=AC，Q是CF延长线上一点，且CQ=AB，求证：AP⊥AQ.（三）练习1．如图，已知∠l=∠2，AD=AC，则△____≌△，其依据是。2．如图，∠l=∠2，AB=AC，AE=AD，则△ABD≌△，依据是，由此还可得BD=。（题1）（题2）（题3）3．如图，AC=AB，AD平分∠CAB，点E在AD上，则图中全等的三角形有____对，它们是。4．（天门）如图，已知AE=CF，∠A=∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件（只需写一个）．5．小明为了测量池塘对岸A，B两点间的距离，作了如下的操作（如图）：①取一能够到达A，B两点的点D;②连接AD并延长AD于点E，使AD=ED．连接BD并延长BD至C，使BD=CD;③连接CE.那么要知道AB的长度，应测量线段的长度．（题4）（题5）（题6）（题7）6．如图，已知AD⊥BC于点D，BD=CD，点E在AD上；则图中全等三角形共有()A.l对B.2对C.3对D.4对7．如图有下列四个条件：①BC=B′C；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB=A′B′其中任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是()A.l个B。2个C.3个D.4个8．下列命题中错误的是()A．有两边对应相等的两个等腰三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等9．下列条件中，可以判定△ABC和△A′B′C′全等的是()A.BC=BA,B′C′=B′A′，∠B=∠B′B．∠A=∠B′，AC=A′B′，AB=B′C′C.∠A=∠A′,AB=B′C′,AC=A′C′D.BC=B′C′,AC=A′B′,∠B=∠C′10.如右图，已知AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中全等三角形的对数有()A．3对B．4对C．5对D.6对11．如图，点A，E，B，D在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE,AC=DF,AC∥DF.(1)求证：△ABC≌△DEF;(2)你还可以得到的结论是（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）．12.如图13，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，求证：∠D=∠E.13.已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE求证：（1）△ABD≌△ACE（2）∠ADB=∠AEC14、如图，在中，是上一点，交于点，，，与有什么位置关系？说明你判断的理由。第四讲全等三角形的判定（ASA及AAS）（一）知识要点1、三角形全等的判定三、四：ASA及AAS两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。书写格式：ABCA’B’C’在△ABC和ABCA’B’C’∵∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）知识延伸：“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边。两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。书写格式：在△ABC和△A’B’C’中，ABCABCA’B’C’∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）知识延伸：“AAS”可以看成是“ASA”的推论。规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。(二)例题讲解：例1.如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求证：AD=AE例2.如图，AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.求证：AB=AD练习：如图所示,点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DF，AC∥DE，ACDE，FC与BE相等吗？请说明理由.例3．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．AACBDEFABCDA’B’C’D’例4：如图，已知△ABC≌△A’B’C’，AD，A’D’分别是△ABC和△A’BABCDA’B’C’D’例5．如图，点E在AC上，∠1=∠2，∠3=∠4.试证明BE=DE.（三）练习1．如图，已知AB=DC，AD=BC，E，F是DB上的两点，且BE=DF.若∠AEB=100º，∠ADB=30º．则∠BCF=。2．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，∠1=∠2，则图中的全等三角形共有对．（题1）（题2）（题3）（题4）3．如图，AC与BD相交于点O，∠1=∠4，∠2=∠3．△ABC的周长为25cm17cm，则AB=.4．（海南）在△ABC和△中，AB=AB，∠A=∠A，要使△ABC≌△ABC，还需添加一个条件，这个条件可以是．5．如图，∠E=F=∠90º．∠B=∠C，AE=AF.给出下列结论：①∠l=∠2；②BE=CF;③△ACN≌△ABM；④CD=DN.其中正确的结论是____（注：将你认为正确的结论都填上）．6．下列结论：(1)一个锐角与斜边对应相等的两个直角三角形全等；(2)-腰对应相等的两个等腰直角三角形全等；(3)三个角对应相等的两个三角形全等；(4)顶角与一腰对应相等的两个等腰三角形全等，其中正确的个数有()A．1个B．2个C.3个D.4个7．（成都）如图，在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，要使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是()A、∠B=∠E，BC=EFB、BC=EF,AC=DFC、∠A=∠D,∠B=∠ED、∠A=∠D,BC=EF.8．下列条件中，能判定两个三角形全等的是()A．有两边及一角对应相等B．有三个角对应相等C．有两角及一边对应相等D．有两条边对应相等9．如图，已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移可得到△A′B′C′，点B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为()A．6B．9C．12D．18（题9）（题10）10.如图所示，在LAOB的两边上截取AO=BO，CO=DO，连接AD，BC交于点P．有下列结论①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上．其中正确的是()A．只有①B．只有②C．①②D．①②③11.如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证：△ABC≌△DEF.12.如图所示，∠l=∠2，∠D=∠C，求证；AC=BD.13、如图，已知∠A=∠B=∠DCE，CD=CE．

(1)说明△ACD与△BEC全等的理由；(2)请判断线段AB、AD、BE之间有怎样的数量，并说明理由．

第五讲全等三角形的判定（HL）（一）知识要点1、直角三角形全等的判定方法：HLABCA’B’C’斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成ABCA’B’C’书写格式：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∵∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL）规律方法小结：证明两个直角三角形全等的方法：除了证明一般三角形全等的方法SSS，SAS，ASA，AAS以外，还有一个特殊的证明方法：HL（斜边、直角边），从表面上看，SSS，SAS，ASA，AAS都是三个条件，其实，HL也是三个条件，除了直角边、斜边对应相等这两个条件以外，还有“必须在Rt△”中才能用这种方法。(二)经典例题例1：如图，在Rt△ABC中，∠A=900，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线，交ABABCDEBCDEFA例2：已知：BE⊥CD，BEBCDEFA求证：①BECDAE；②DF⊥BC．例3．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB=OC.例4.如图，∠ACB∠=ADB=90º．AC=AD，点E是AB上任意一点．求证：CE=DE.例5.如图，AD为△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD．(1)求证：BE⊥AC；(2)若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？证明你的论断．（三）练习1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，再添加一个条件（只需填一个），就可以判定△ABD≌△ACD.（题1）（题2）（题3）（题4）2．如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F．若BE=CF，则△ABE≌△，其依据是.3．已知RtABCA′B′C′,∠C′=∠C=90º,AB=5,BC=4,AC=3,则A′B′C′的周长是，面积是，斜边上的高为_____．4．如图，在RtABC中，∠BAC=90º,AB=AC,分别过B，C作经过A点的直线的垂线BD，CE.若BD=3cm．CE=4cm，则DE=。5．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=。

（题5）（题7）（题9）（题10）6．两个直角三角形全等的条件是()A．一锐角对应相等B．一条边对应相等C．两锐角对应相等D．两条边对应相等7．如图，已知AB=CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE=CF，则图中全等的三角形有()A.l对B．2对C．3对D．4对8．下列命题中，正确的有()①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等．A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图所示，∠C=90º，DE⊥AB于点D，BD=BC，如果AC=6cm，则AE+DE=()A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm10.如图所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC=BD，那么下列结论：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；③∠DAC∠=CBD;④OC=OD．其中正确的是()．A．①②⑤④B．①②③C．①②D．②③11．已知：如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE=BF.求证：(1)AF=CE；(2)AB∥CD．12.如图所示，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点D，且EC=BF，AB=DE．求证：AE=BD.13、如图，点、、、在同一条直线上，，，，且，求证：14、如图，、、、在同一条直线上，于，于，，．探究与的关系，并说明理由．第六讲全等三角形的判定综合ABABCDEFO例1：如图，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF。求证：EB∥CF例2.如图,已知;CD⊥AB,于D,BE⊥AC于E,BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.例3．如图，A、F、C、D四点在同一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE._F_E_D_F_E_D_C_B_A（2）∠CBF=∠FEC.例4：在直角三角形ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB边上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G,求证:BD=CG.例5.如图.已知AB=DC,∠A=∠D,求证:∠ABC=∠DCB.二．课后练习：1、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC2、已知：如图12，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF。ADECBFADECBF（2）AE=CF。3、如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F。（1）证明：EF与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF（如图1）。（2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。(8分)4、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE．求证：(1)BD=FC(2)AB∥CF5、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=ADEDEDCAB第七讲角的平分线的性质ABABCDEOP1、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。符号语言：如图，已知OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，则PD=PE。2、角的平分线的性质的推导：已知，如上右图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE。证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定义）又∵OC平分∠AOB（已知）∴∠AOC=∠BOC（角的平分线定义）在Rt△DOP和Rt△EOP中ABABCDEOP∴Rt△DOP≌Rt△EOP（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。CABED如右图，点P在∠AOB内部的一条射线OC上，并且PD⊥OA于点D，PECABED（二）典型例题例1：在△ABC中，∠C=900，AD是∠BAC的平分线，若DC=6，则D点到AB的距离是_______________。OABCDE例2：如图，已知OE平分∠OABCDE求证：EA=EB例3.如图，在△ABC中，∠A=90º，AC=AB，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，已知BC=10cm，求△EDC的周长．ABCDEOABCDEO12求证：∠1=∠2ABDPOMN例5：如图所示，已知OD平分ABDPOMN规律·方法：运用脚平分线的性质解题时，应注意两点：（1）应注意交代清楚角平分线及角平分线上的点到角两边的距离这两个方面，既不允许心里想到而不书写其过程，更不允许在条件不具备时而得到线段相等的结论；（2）运用角平分线时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段相等，以免走回头路。ABCDEFO例6：如图，AD是△ABC中ABCDEFO例7：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC。ABCD求证：∠A+∠ABCD(三)练习1．如图，在△ABC中，已知∠C=90º，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到直线AB的距离是cm．2．如图，已知∠BAC与∠ACD的平分线交于点D．OE⊥AC于点E，且OE=2cm，则点D到AB，CD的距离之和是____．3．如图，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P，P′分别在OA，OB上，若要得到OP=OP′，需要添加以下条件(1)∠OCP=∠OCP′；(2)∠OPC=∠OP′C;(3)PC=P′C;(4)PP′⊥OC中的某一个即可，请你写出所有可能的结果序号：．4．如图，已知点P到BE，BD．AC的距离都相等，则点P的位置：(1)在∠B的平分线上；(2)在∠DAC的平分线上；(3)在∠ECA的平分线上；(4)恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，则上述结论中，正确的有____个．（题4）（题5）（题6）（题7）（题8）5．如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是()A．3B．4C．5D．66．如图所示，点P是∠BAC的平分线上一点．PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论(1)PM=PN;(2)AM-AN=0．(3)△APM和△APN的面积相等；(4)∠PAN+∠APM=90º中，正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D．4个7．如图所示，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列四个结论(1)BD=CD且AD=BC;(2)∠BDE=∠CDF;(3)AD上任意一点到线段BC两端点距离相等；(4)AD上任意一点到AB，AC的距离相等．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，AB=AD，∠ABC=ADC=90º，则①AC平分∠BAD，②CA平分∠BCD，③AC平分BD，④BD平分∠ADC中，正确的结论有()A．①②B．①②③C．①②③④D．只有①9．如图，△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E求证：MD=ME.10.如图，是的角平分线，，，垂足分别是。连接，交于点。说出与之间有什么关系？证明你的结论。11.如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。求证：。第八讲全等三角形复习测试题一、填空题．（30分）1．下列条件能确定△ABC的形状和大小的是()A.AB=4,BC=5,∠C=60ºB.AB=6,∠C=60º,∠B=70º。C.∠C=60º,∠B=70º,∠A=50ºD.AB=4,BC=5,AC=102．（无锡）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80º得到△OCD，已知∠AOB=45º，则∠AOD=()A．55ºB．45ºC．40ºD．35º(2题)（3题）（5题）（6题）3．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF.连接BF，CE，下列说法(1)CE=BF；(2)△ABD和△ACD的面积相等；(3)BF∥CE;(4)△BDF≌△CDE中正确的有()A.l个B.2个C.3个D．4个4．现有长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的木条各一根，要使两人所取的三根木条能组成三角形且组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为()A．一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条B．两人都取6cm的木条C．两人都取8cm的木条D.B、C两种取法都可以5．如图，已知∠l=∠2，AC=AD，有下列条件：①AB=AE;②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E，添加其中一个能使△ARC≌△AED的条件有()A.4个B．3个C．2个D．1个6．如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则(1)△ABE≌△ACF;(2)△BDF≌△CDE;(3)点D在∠BAC的角平分线上．其中正确的结论有()A.(1)B.(2)C.(1)与(2)D.(1)(2)(3)7．下列条件不一定能使两个三角形全等的是()A．两边一角对应相等B．两角及其中一角的对边对应相等C．三边对应相等D．两边及其夹角对应相等8．如图，△ABC中BC边上的高为h，△DEF中DE边上的高为h，下列结论正确的是()（8题）（9题）（10题）9．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，且BF=CE，连接BE、AF相交于G，则下列结论错误的是()A.BE=AFB．∠DAF=∠BECC.∠AFB+∠BEC