概率论复习1-6第六章主要内容及要求

第六章主要内容及要求 若X1Xn是来自X的样本则意X1,Xn是相互独立的，都服从与总体X同样的分布n设总体X的概率密f(xX1Xn的联合nf(x1,,xn)f(xiiX的分布率P{Xxpx，则X1,Xn的联合分布率nP{X1x1,,Xnxn}p(xini样本均

iX1Xini 样本方

S

( Xn1i1

n

[Xiii

nX2A Xknn

i1样本k阶中心

nnin

(XX ki结论：X1,Xn为来自总体X的一个iEX,DX2则EX,DX ,ESn

2证nX nX i

nEX Ei i1 nDXXi

DXDi

i n2 ES2

(

X)2]

E[

2nX2nn1i1nn

nnn

i2i 2in

in

nEX2 n

(DX (EX

)n(DX(EX)2

(22) n1n

i (n2n22n2)求 (EX2令A (AEX2 3解上面方程（）ˆˆ(X,, (ˆˆ(X,, 极大似然法求估计量的步骤：(一般情况下构造似然函数L()nL(Pxi离散型ni取对数lnL(

L(fxi连续型nin

dlnL解似然方程得的极大似然估计量（会用极大似然估计性质求极大似然估计量设的函数uu(),具有单值反函数，是的极大似然估计则ˆu(ˆ)是u(的极大似然估计无偏

EˆnkknA1 是 nkknk

的无偏估计量 i有效

若E(ˆE(ˆ且D(ˆD(ˆ n一致性：ˆ nnkknA1 是 nkknk

的一致估计量 i掌握2分布设X1Xn独立，都服从N(0,1) X2X2~2 10X~2(m),Y~2(n),X，Y独立，则有XY~2(m20若X~2(n),则EX DXP{ 2(n)}tX~N(0,1),Y~2(n),X,Y独立，则称 t n

t(n)

P{tt(n)}t1(n)tF分布X~

2(n),Y~

2n X,Y独立

则称随12FX/12Y/n2

~F(n1,n2

P{F

F(n1,n2)}F1(n1,n2)1/F(n2,n12设X1,,Xn是总体N(,2定理

的样本，X2分别是样本均值与样本方差，则有2X

N( n

(n1)S

i

( i2i

~2(nX与S2独立n(Xii1n

)2/

2定理

XnSn

t(n

Xnn

~N定理

(XY) ~t(n n1n2(n1)S21)S 11 1 (XY) 1 定理

( )2

/

i

~F(n1,n2 / i1j i1S2/

( X)2/

1i

S2/

n 1(Y Y / 1j~F(n11,n2一个正态总体未知参数的置信区待估参

的分

双侧置信区间的上、下2已知

X X

X 2未知

S

tn

Xt2n

nnn

Xi2

Xi2已知

2Xi

2

i

i i

22i i

12ini

未知

1

2n

XX

XX Xi

i

i i

2

2

两个正态总体未知参数的置信区间（一待估参随待估参随量随双侧置信区间的上、下12、2均已知XY XY2 1m2n1 但未知XY 1 tmnXYtmn2Sw 1 2w其中S2w

mn待参 的分双侧置信区间待参 的分双侧置信区间的上、下21、均已知m 2/ i nmYj/2 jFm，m i m， m jmnX m， 1 Yj j1、2S1 S22 S Fm1，n1S22 S1 m1，n1S2 2均未知F(m1，n§4§4例 设X1,X2,X3是总体N(2,9)的样求(1,P{X3(2)P{X21};(3)P{S

P{max(X1,X2,X3)4};(5)P{min(X1,X2,X3)解（1）X~N(2,3)33所以P{X3}132)1(1331(0.58) 10.719033

X

1}1

X

331P{33

X2 1§4§4例1（续31P{3

X2

1}1[(1)(13333322(1)2[1(0.58)]333332[10.7190]

由于(3

~），2929P{S 26.955}P{22929

§4§4例1续（4）P{max(X1,X2,X3)1P{max(X1,X2,X3)1P{X14,X24,X31P{X14}P{X24}P{X3X1~N1[(X1~N311§4§4例1（续（5）P{min(X1,X2,X3)1P{min(X1,X2,X3)1P{X10,X20,X31P{X10}P{X20}P{X31[1(031[111

X1~N§4§4例 设X1,X2,,X10与Y1,Y2,Y15分别是正态总N(20,3)的两个独立样本，P{X XY~N(0,33),即XY~ P{X 0.1}1P{X 1

X

0.1}1

0.14

XY

22(0.14)22例3X~t(n),X2~F(1由于X~

所以X Zn其中Y~N(0,1),Z~2(n),YZ独立Zn则Y2~2F分布的定义知YZnX2 Zn

~F(1,§2§2例设总体X~U[abab未知X1Xn是一个样求：ab的矩估计量解

EX

ab 22 2

DX(EX)2(ba) (a令a

2(b

(a

即ab2A112(AA212(AA221 例5设总体X的密度函数为

1x

0x其它其中0为未知参数，试求参数的矩估

EXxfxdxx1x X由此得的矩估计量为2X11例6设X~B(1,pX1,Xn是来自X的一个样本试求参数p的极大似然估计设x1xn是一个样本值。X的分布律为P{Xx}px(1p)1xn故似然函n

xnL(p)ni

xi(1p)1

ipi

(1

nni n lnLp(xilnp(nxiln(1i i例6（续 lnL(p)(xi)lnp(nxi)ln(1i

i 令dlnLp)0,

i p

n i n11n1

解得p的极大似然估计值p的极大似然估计量为

ˆ

xi ninˆ n i1n 它与矩估计量是相同 例7设X~N(,2);,2为未知参数，x, 是来自X的一个样本值求,2的极大似然估计解X的概率密度为f(x;,2) 似然

(x)2 nL( )ni

2

(xi

) (22)2

(xii 2lnLnln(2

nln(

(x)2

in1例7（续n1lnLnln(2)nln(2)i i

(xi

)2lnL

1(x)0 令ln

i

(xii1

)2n 1 nnn解得：nn

i

xix

(xix)i故,2的极大似然估计量为 ii ˆ1 ˆ21(XX)2iini ni例8设X~U[ab];ab未知，x1,xn是一个样本值求：ab的极大似然估计量X的概率密度为：fx;ab)baax似然函数

其它

ii

axb，i1，2，，nlnLa,bnln(bln

b

b例8（续解：将x1,,xn按从小到大顺序排列成 x(2) x(n) ,a b;则L(ab)

(ba)

(

其它对于满足ax(1)x(n)b的任意a有L(a,b) )(ba)n (x( )

例8（续即：L(a,b)在ax(1bx(n)取最大值x(n)x(1故ab的极大似然估计值为ˆx(1)minxi ˆx(n)故ab的极大似然估计量为ˆminXi ˆmaxXi

maxxi例 设X~N(,2),,2未知，求使P{XA}的点A的极大似然估计量解：PXA1A查表有

A

所以A1.645由前面知和2的极大似然估计量分别为X

1 (X X1nin1(n1(niX)2iˆˆ1.645ˆX §§3例10设总体X服从区间0上的均匀分布，其中0为未知参数，X1,Xn是从该总体中抽取的一个样本求的矩估计和极大似然估计，并验证是否是无偏估计解EX,X得的矩估计量为ˆ2 2

2

2EX2因此ˆ2X是未知参数的无偏估似计量为m

ixX§§3 maxX的分布函数为

x x

F(x)

n,0xEL

xn

x n n nLˆ不是的无偏估计量L§§3例11设总体X~N，2，其中已知，而 为未知参数，X1Xn是从该总体中抽取的一个样本n则由§2例3知，未ni2i

参数

的极大似然估计为

1X

nin2 n

Xinin

i

EX

1n2 X是总体方差这表明

1

2的无偏估计ni§§3例12设总体X存在二阶矩，并设EX DXX1,Xn是总体X的一个样本，又设nai试

i1,2, ai1i

nnaii

的无偏估n(2)的所有形如上述的aiXi

估计中，X方差最小．

i证明）iX iX

naiEXin

naini n

i

iaiXi的无偏估计n.n

i

aX i

nni

a2DX

aiiiiiii

2 2 ai 2i

1 ai i g(a1,a2,,an1例12（续

g(a1,a2,,

)2a

21aiiii

i g(a1,a2,,an1)

k1,,n22a k

2

11i

k1,,nakan k1,,n a