选修4-1 第二节直线与圆的位置关系

第二节直线与圆的位置关系

1.圆周角和圆心角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的_______的一半.(2)圆心角定理：圆心角的度数等于_________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_____.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____.圆心角它所对弧相等相等直角直径2.圆的内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角_____.

定理2：圆内接四边形的外角等于它的___________.

定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_____.

推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.(1)性质(2)判定互补内角的对角共圆3.圆的切线的性质与判定及弦切角定理(1)圆的切线的性质与判定.性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_____.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_____.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过_____.判定定理：经过半径的外端并且_____于这条半径的直线是圆的切线.(2)弦切角定理.弦切角等于它所夹的弧所对的_______.半径切点圆心垂直圆周角4.与圆有关的比例线段定理内容相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积_____

割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积_____

切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，_______是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的_______相等，圆心和这一点的连线平分_________的夹角相等相等切线长切线长两条切线判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)圆心角等于圆周角的2倍.()(2)相等的圆周角所对的弧也相等.()(3)任意一个四边形、三角形都有外接圆.()(4)等腰梯形一定有外接圆.()(5)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.()【解析】(1)错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系不确定.(2)错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．(3)错误，任意一个四边形不一定有外接圆，但任意一个三角形一定有外接圆.(4)正确，可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接圆.(5)错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×考向1圆周角定理【典例1】(1)(2012·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠CBD＝______.(2)(2012·汕头模拟)点A，B，C是圆O上的点，且AB＝2，BC＝∠CAB＝则∠ABC=______．【思路点拨】(1)连接AD，结合圆周角定理、正弦定理得到再利用AD=ABsin∠ABD求解．(2)连接CO，把∠CAB＝转化为∠BOC＝利用等腰三角形BOC求出半径，可得△AOB为等腰直角三角形，再利用圆周角定理转化即可.【规范解答】(1)连接AD，因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，∠CBD＝∠CAD，所以在△ACD中，由正弦定理得：又CD＝1，所以sin∠CAD＝又∠CBD＝∠CAD，所以sin∠CBD＝答案：(2)连接CO，因为∠CAB＝所以优弧BC所对的圆心角为从而∠BOC＝在等腰三角形BOC中可求得半径OB＝因为AB＝2，所以△AOB为等腰直角三角形，所以∠AOB=所以∠AOC=∠ABC=∠AOC=答案：【拓展提升】圆周角定理常用的三种转化(1)圆周角与圆周角之间的转化.(2)圆周角与圆心角之间的转化.(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化.【变式训练】(1)如图所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E，连接AE，已知ED＝3，BD＝6，则线段AE的长＝______.【解析】∵∠E＝∠E，BE平分∠ABC，∠EAD=∠EBC，所以∠EAD＝∠EBA，∴△EDA∽△EAB，∴即AE2＝ED·BE＝3×9＝27，∴AE＝答案：(2)(2012·汕头模拟)如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB=120°，则∠APB=______.【解析】如图所示，连接OA，OB,∵∠ACB=120°.∴优弧AB所对的圆心角为240°，从而∠AOB=120°.又PA,PB是圆O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠APB=60°.答案：60°考向2圆内接四边形的判定与性质【典例2】(1)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆．且AG＝1，GF＝2，DG＝则GE＝______.(2)如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．若∠OAM=25°，则∠APM=______．【思路点拨】(1)连接EF，由AD∥BC及B，C，F，E四点共圆，可判断A，D，F，E四点共圆，再利用相交弦定理求GE.(2)连接OP，OM，可证A，P，O，M四点共圆，由∠OAM＝∠OPM即可求解.【规范解答】(1)如图所示，连接EF.∵B，C，F，E四点共圆，∴∠ABC＝∠EFD.∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.∴∠BAD＋∠EFD＝180°.∴A，D，F，E四点共圆．由相交弦定理，可得AG·GF＝DG·GE.因此GE＝答案：(2)连接OP，OM.∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP.∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，∴∠OPA＋∠OMA＝180°,∴A，P，O，M四点共圆．∴∠OAM＝∠OPM=25°,∴∠APM＝90°-25°=65°.答案：65°【拓展提升】圆内接四边形的重要结论(1)内接于圆的平行四边形是矩形.(2)内接于圆的菱形是正方形.(3)内接于圆的梯形是等腰梯形.【变式训练】(1)(2012·广州模拟)如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆O交于F，若∠CFE=40°，则∠DEB=______.【解析】∵AB⊥DE，∴∠BDE=∠DEB,根据圆的内接四边形性质定理，∠BDE=∠CFE,∴∠DEB=∠CFE=40°.答案：40°(2)如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC＝120°，AB＝4，则PQ·PB＝______.【解析】连接OC，AC，则OC⊥PC，则O，C，T,B四点共圆，∵∠BTC＝120°，∴∠COB＝60°，故∠AOC＝120°.由AO＝OC＝2，知AC＝在Rt△APC中，∠ACP＝60°，因此PC＝根据切割线定理得PQ·PB＝PC2＝3.答案：3考向3圆的切线的性质与判定、弦切角定理【典例3】(1)(2012·广东高考)如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=______.(2)如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.若∠ADE＝50°，则∠ABD＝______.【思路点拨】(1)连接OA，AC从而可得△AOC为等边三角形，∠PAC=30°,△PAC为等腰三角形，再由AC=CP=1可得结果.(2)连接OD，证明DE是圆O的切线，再利用弦切角定理进行转化即可.

【规范解答】(1)连接AO，AC，因为∠ABC=30°,∴∠CAP=30°,∠AOC=60°.又∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形，则∠ACP=120°,∴∠APC=30°,∴△ACP为等腰三角形，且AC=CP=1,∴AP=2×1×sin60°=答案：(2)连接OD.∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC.又∵∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°.又∵D在圆周上，∴DE是⊙O的切线．因此∠ABD＝∠ADE＝50°.答案：50°【互动探究】若例(2)条件不变，则∠BAC=______.【解析】∵OD⊥DE，∠ADE=50°，∴∠ADO=40°.∵OD=OA，∴∠DAO=∠ADO=40°.∵OD∥AE，∴∠DAE=∠ADO=40°，∴∠BAC=∠DAE+∠DAO=40°+40°=80°.答案：80°【拓展提升】证明直线是圆的切线的常用方法(1)若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可.(2)若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径．【提醒】在求解有关角与长度的问题时，注意运用初中阶段所学的知识，如平行线的判定与性质、中垂线的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等，只有这样才能更灵活地解决问题.【变式备选】(1)如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.若∠BAC＝35°，则∠CAD＝______.【解析】连接OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO.∴∠CAD＝∠BAC.又∠BAC＝35°，故∠CAD＝35°.答案：35°(2)(2013·聊城模拟)如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π,∠ABC=30°,则AD的长为______.【解析】∵CD是圆O的切线，∴∠ABC=∠ACD=30°.∵⊙O的面积为4π,∴圆的半径为2,∴在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，在直角三角形ACD中，AD=ACsin30°=2×=1.答案：1考向与圆有关的比例线段【典例】(1)(2012·天津高考)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=则线段CD的长为______.(2)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D.若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则PA=______，EC=______.【思路点拨】(1)利用相交弦定理求CF,再利用切割线定理和比例线段有关知识列方程求解.(2)利用切割线定理求PA的长度，再判断△PAE为等边三角形，最后用相交弦定理求EC.【规范解答】(1)因为AF·FB=CF·EF,所以CF=2,∴∴BD=∵CF∥BD，∴设CD=x,则AD=4x,∴BD2=x·4x，∴x=答案：(2)由切割线定理可知PA2=PD·PB=