空间几何体重要结论总结

新课标人教A版空间几何体重要结论总结一、正三角形、正方形、正六边形的边心距r，外接圆半径R，面积等AGFEADOOADEOBDCCBCB(1)若正三角形的边长为a，则任一边上的高h____，外接圆半径R=______，边心距r=______，面积S=_____。(2)若正方形的边长为a，则对角线长为____，外接圆半径R=______，边心距r=______，面积S=_____。(3)若正六边形的边长为a，则外接圆半径R=______，边心距r=______，面积S=_____。16练习：1、（2006年上海春卷）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为.32、（2006年全国卷I）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_____（或60）__________。3S1262h3V，底面边长，高，S12aS2底面正方形面积htana/2。二面角的余切值代入数据，得：3V/S6V612tan3S/2SS1212。又必为锐角，所以。3二、长方体、正四棱柱、正方体、球内接长方体(1)若长方体从一顶点出发的三条棱长分别为a、b、c，则对角线长为____，全面积为______，体积为______。(2)若正四棱柱的底面边长为a，高为h，则对角线长为____，全面积为______，体积为______。(3)若正方体的棱长为a，则对角线长为____，全面积为______，体积为______。(4)球内接长方体(或正方体)的对角线长等于球的直径。(5){正方体}____{正四棱柱}____{长方体}____{直平行六面体}____{四棱柱}(6)直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边。练习：1、（2006年福建卷）已知正方体外接球的体积是32，那么正方体的棱长等于（D）322（A）（B）23（C）42（D）433332、（2006年广东卷）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为d33R33S4R22723、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是第1页共6页新课标人教A版空间几何体重要结论总结16202432A．B．C．D．由VSh，得，得正四棱柱底面边长为2。该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以：球的S424D2体积V'4r24D22222422。选C。正棱柱要满足的两个条件：⑴侧棱与底面垂直；⑵底面是正多边形。4、(2006年湖南卷）棱长为1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图(C)23A.B.C.D.2322图P15.长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A.202B.252C.50D.200CA6.在球面上有四个点，P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且BPA=PB=PC=a，则此球的面积为三、关于三棱锥、侧棱两两互相垂直的三棱锥及正四面体1、三棱锥P-ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB；2、三棱锥P-ABC中，若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，则点P在底面△ABC内的射影是垂心，且VP-ABC=1/6*PA*PB*PC；3、三棱锥P-ABC中，若4、三棱锥P-ABC中，若点P到底面△ABC三边的距离相等，则点5、正四面体的棱长为a，则表面积为_____，高为_____，外接球半径为______，内接球半径为_____，体___________，对棱的距离为_______，侧棱与底面所成的角的余弦值为__________。O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOBAOC，则点1：从一点A在平面BOC上的射PA=PB=PC，则点P在底面△ABC内的射影是外心；P在底面△ABC内的射影是内心；积为四、结论影在BOC的平分线上。CAB21.以边长为的正三角形作为底面的斜三棱柱，它的45一条侧棱AA1与相邻两边都成角，若此斜三棱柱的全C1面积为8423，则它的侧棱长等于A1OB11结论2：如图2，OA平和面所成的角是，AC在平面2ABC内，AC和OA的射影AB所成角是，设OAC1，则cos=coscos（P44）2l与平面成角，若直线在平面内的射影与内的直线45l45m也成角，则与m所成的角l2.直线是().A.30B.45C.60D.90第2页共6页新课标人教A版空间几何体重要结论总结3.正四面体内切球和外接球体积的比是A.1：3B.1：8C.1：27D.1：64PAB=PAC=BAC=60,求此三棱锥的体积。aa4.三棱锥P-ABC中,PA=,AB=AC=2,五、平行与垂直的判定方法1、线线平行的判定：a)一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。即a∥平面α，a平面β，平面α∩平面β=b，则a∥b。b)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。即平面α∥平面β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥bc)垂直于同一平面的两条直线平行。即a⊥平面α，b⊥平面β，则a∥b2、线面平行的判定：a)平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。即a平面α,b平面α，a∥b，则a∥平面α。b)如果两个平面平行，则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。即平面α∥平面β，a平面α，则a∥平面β3、线面垂直的判定：a)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。即a平面α，b平面α，a∩b=O，c⊥a，c⊥b，则c⊥平面αb)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面。即a∥b，a⊥平面α，则b⊥平面αc)两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。即平面α⊥平面β，α∩β=m，a平面α，a⊥m，则a⊥平面β4、面面平行的判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。即a平面α，b平面α，a∩b=O，a∥平面β，b∥平面β，则平面α∥平面β5、面面垂直的判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。即a⊥平面β，a平面α，则平面α⊥平面βmn,六、训练：1、（2006年福建卷）对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（C）（A）若m,mn,则n∥（B）若m∥,n∥,则m∥n（C）若m,n∥,则m∥n（D）若、与所成的角相等，则mnm∥nA,B,CORACBCABRA,B2、（2006年北京卷）已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么13RRABC两点的球面距离为_______________，球心到平面的距离为______.323、．(2006年山东卷）如图，已知正三棱柱ABC-ABC的所有棱长都相等，D是AC的中点，则直线11.111AD与平面BDC所成角的正弦值为4/514、（全国卷Ⅰ）（2）一个与球心距离为1的平面球截所得的圆面面积为，则球的表面积为（A）82（B）8（C）42（D）45、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是__________6、（2005北京卷）第3页共6页新课标人教A版空间几何体重要结论总结如图,在直三棱柱ABC－ABC中，AC＝3，BC＝4，AB=5，111AA＝4，点D是AB的中点，1（I）求证：AC⊥BC；1（II）求证：AC//平面CDB；11（III）求异面直线AC与BC所成角的余弦值．11解法一：（I）直三棱柱ABC－ABC，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，111∴AC⊥BC，且BC在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC；11（II）设CB与CB的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC的中点，∴DE//AC，1111∵DE平面CDB，AC平面CDB，∴AC//平面CDB；11111（III）∵DE//AC，∴∠CED为AC与BC所成111的角，1515在△CED中，ED=AC=，CD=AB=，222211CE=CB=22，218225∴cosCED5，2222∴异面直线AC与BC所成角的余弦值11225.（2005江西卷理第20题，文第20题，本小题满分12分）如图，在长方体ABCD—ABCD，中，AD=AA=1，AB=2，点E在棱AD上移动.11111（1）证明：DE⊥AD；11（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD的距离1（3）AE等于何值D—EC—D的大小为.时，二面角41解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面AADD，AD⊥AD，∴AD⊥DE111111（2）设点E到面ACD的距离为5，AD=2，1h，在△ACD中，AC=CD=111第4页共6页新课标人教A版空间几何体重要结论总结125,而S1AEBC1.13故SADC22222ACE1V1SDD1Sh,33DAECAEC1ADC11113h,h1.223（3）过D作DH⊥CE于H，连DH、DE，则DH⊥CE，11∴∠DHD1为二面角D—EC—D的平面角.1设AE=x，则BE=2－x在RtDDH中,DHD,DH1.411在RtADE中,DE1x2,在RtDHE中,EHx,在RtDHC中CH3,在RtCBE中CEx24x5.x3x24x5x23.AE23时,二面角DECD的大小为.41解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为DA,DE(1,0,1),(1,x,1)0,所以DADE.1111DE(1,1,1),AC(1,2,0)，E为AB的中点，则E（1，1，0），从而1（2）因为nAC0,AD(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n(a,b,c)，则10,nAD1a2b0ac0ab2acn，从而(2,1,2)，所以点E到平面ADC的距离为，得也即1DEnh|1|n||2121.33n(a,b,c)，∴(1,（3）设平面DEC的法向量CEx2,0),DC(