2023年届浙江高考高考数学理模拟试卷及答案

2023届浙江高考高考数学理模拟试卷及答案

2023届浙江高考高考数学理模拟试卷题目

一、选择题(共12小题，每题5分，总分值60分)在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的

1.已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z=，若a﹣z为纯虚数，则实数a的值为()

A.B.C.﹣D.﹣

2.命题“x[0，+)，sinx+x0”的否认是()

A.x0(﹣，0)，sinx0+x00B.x(﹣，0)，sinx+x0

C.x0[0，+)，sinx0+x00D.x0[0，+)，sinx0+x00

3.已知集合M={x|y=lg(x﹣2)，N={x|xa}，若集合MN=N，则实数a的取值范围是()

A.(2，+)B.[2，+)C.(﹣，0)D.(﹣，0]

4.已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=x则该双曲线的离心率为()

A.B.C.或D.或

5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为()

A.12B.24C.36D.72

6.如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=()

A.2B.C.D.

7.《九章算术》是我国古代闻名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何?”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材局部镶嵌在墙体中，截面图如下图(阴影局部为镶嵌在墙体内的局部).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈=10尺=100寸，3.14，sin22.5)

A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸

8.将函数f(x)=2sin(x)的图象向左平移(04)个单位，得到函数y=g(x)的图象，若实数x1，x2满意|f(x1)﹣g(x2)|=4，且|x1﹣x2|min=2，则=()

A.1B.2C.3D.1或3

9.若如图的程序框图运行的构造为S=﹣，则推断框①中可以填入的是()

A.i4?B.i4?C.i3?D.i3?

10.多项式(x2﹣x﹣y)5的绽开式中，x7y项的系数为()

A.20B.40C.﹣15D.160

11.如图，是圆锥一局部和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为()

A.B.C.D.

12.已知函数f(x)=+bx﹣2a(aR)，其中b=(2sincos)dt，若x(1，2)，使得f(x)x+f(x)0成立，则实数a的取值范围为()

A.(﹣，1)B.(0，1]C.(﹣，)D.(﹣，]

二、填空题(共4小题，每题5分，总分值20分)

13.某校高三年级的一次测验（成绩）的频率分布直方图如下图，现要按如下图的4个分数段进展分层抽样，抽取100人了解状况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为(以各组区间的中点值代表改组的取值)

14.若以椭圆=1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2=0相切，则该圆的标准方程是.

15.设x，y满意约束条件，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为.

16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=，C=，点D在边AB上，且=0，则线段CD的最大值为.

三、解答题：解同意写出文字说明，证明过程或演算步骤(共5小题，总分值60分)

17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满意an=2﹣3Sn(nN*)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式

(Ⅱ)设bn=log2an，求数列{}的前n项和Tn.

18.(12分)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧按AA1底面ABC，且四边形AA1B1B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB的中点，点E，F分别在按AA1，A1B1上

(Ⅰ)若点F为棱A1B1的中点，证明：平面ABC1平面CMF

(Ⅱ)若AE=，A1F=，且CACB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.

19.(12分)依据《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》(HJ633﹣2023)规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严峻，对人体安康的影响也越明显，如表(1)所示，若表(2)、表(3)分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录.

表一：

空气质量指数[0，50]

[51，100]

[101，150]

[151，200]

[201，300]300以上

空气质量状况优良轻度污染中度污染重度污染严峻污染

(Ⅰ)依据表(2)、表(3)中的数据，通过讨论1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比拟石家庄市、北京市近一周空气污染的严峻程度(结果保存两位有效数字)

(Ⅱ)将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，依据表中供应的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由

(Ⅲ)小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望(构造保存整数局部)

附：相关系数r=，r[0.30，0.75)时，相关性一般，r[0.75，1]时，相关性很强

参考数据：=28，(y1﹣)2123134，(xi﹣)(y1﹣)=68，1857.

20.(12分)已知抛物线：y2=ax(a0)上一点，P(t，2)到焦点F的距离为2t

(Ⅰ)求抛物线的方程

(Ⅱ)如图已知点D的坐标为(4，0)，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于肯定点.

21.(12分)设函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a0).

(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值;

(Ⅱ)若x1，x2(x1m恒成立，求实数m的取值范围.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.(10分)已知平面直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y﹣1)2=1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos(+)=2

(Ⅰ)求曲线C1与曲线C2的参数方程

(Ⅱ)若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值.

[选修4-5;不等式选讲]

23.已知函数f(x)=|x﹣t|，tR

(Ⅰ)若t=1，解不等式f(x)+f(x+1)2

(Ⅱ)若t=2，a0，求证：f(ax)﹣f(2a)af(x)

2023届浙江高考高考数学理模拟试卷答案

一、选择题(共12小题，每题5分，总分值60分)在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的

1.已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z=，若a﹣z为纯虚数，则实数a的值为()

A.B.C.﹣D.﹣

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.

【解答】解：复数z====，

∵a﹣z=a﹣+i为纯虚数，

a﹣=0，解得a=.

应选：B.

【点评】此题考察了复数的运算法则、纯虚数的定义，考察了推理力量与计算力量，属于根底题.

2.命题“x[0，+)，sinx+x0”的否认是()

A.x0(﹣，0)，sinx0+x00B.x(﹣，0)，sinx+x0

C.x0[0，+)，sinx0+x00D.x0[0，+)，sinx0+x00

【考点】21：四种命题.

【分析】利用全称命题的否认是特称命题写出结果即可.

【解答】解：由于全称命题的否认是特称命题.所以命题“x[0，+)，sinx+x0”的否认是：x0[0，+)，sinx0+x00;

应选：C.

【点评】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系.

3.已知集合M={x|y=lg(x﹣2)，N={x|xa}，若集合MN=N，则实数a的取值范围是()

A.(2，+)B.[2，+)C.(﹣，0)D.(﹣，0]

【考点】18：集合的包含关系推断及应用.

【分析】先将集合M化简，然后集合MN=N，则NM，得实数a.

【解答】解：集合M={x|y=lg(x﹣2)}={x|x2}，N={x|xa}，

若集合MN=N，则NM，

a2，即(2，+).

应选：A.

【点评】此题考察集合的包含关系，考察数形结合的数学思想，属于根底题.

4.已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=x则该双曲线的离心率为()

A.B.C.或D.或

【考点】KC：双曲线的简洁性质.

【分析】当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出;当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出.由此利用分类争论思想能求出该双曲线的离心率.

【解答】解：∵中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，

双曲线的焦点坐标在x轴上或在y轴上，

①当双曲线的焦点坐标在x轴上时，

设双曲线方程为，

它的渐近线方程为y=，，

e===;

当双曲线的焦点在y轴上时，

设双曲线方程为，

它的渐近线方程为y=，，，

e===.

综上所述，该双曲线的离心率为或.

应选：C.

【点评】此题考察双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要仔细审题，留意分类争论思想的合理运用.

5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为()

A.12B.24C.36D.72

【考点】D8：排列、组合的实际应用.

【分析】依据题意，分3步进展分析：①、乙、丙两人站在一起，用捆绑法将2人看成一个整体进展分析;②、将这个整体与丁、戊进展全排列，③、分析甲的站法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：依据题意，分3步进展分析：

①、乙、丙两人站在一起，将2人看成一个整体，考虑其挨次有A22种挨次;

②、将这个整体与丁、戊进展全排列，有A33种状况;

③、甲不站在两侧，则乙丙的整体与丁、戊有2个空位可选，有2种状况，

则不同的排法有A22A332=24种;

应选：B.

【点评】此题考察排列、组合的综合应用，留意优先分析受到限制的元素.

6.如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=()

A.2B.C.D.

【考点】9H：平面对量的根本定理及其意义.

【分析】y(=x()+y()=(x﹣)+()=.可得x﹣=1，=1，即可

【解答】解：∵y(=x()+y()=(x﹣)+()=.

可得x﹣=1，=1，解得x=，y=，xy=

应选：D

【点评】此题考察了向量的线性运算，属于中档题.

7.《九章算术》是我国古代闻名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何?”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材局部镶嵌在墙体中，截面图如下图(阴影局部为镶嵌在墙体内的局部).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈=10尺=100寸，3.14，sin22.5)

A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积.

【分析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案.

【解答】解：如图，

AB=10(寸)，则AD=5(寸)，CD=1(寸)，

设圆O的半径为x(寸)，则OD=(x﹣1)(寸)，

在Rt△ADO中，由勾股定理可得：52+(x﹣1)2=x2，解得：x=13(寸).

sinAOD=，即AOD22.5，则AOB=45.

则弓形的面积S=6.33(平方寸).

则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33100=633(立方寸).

应选：D.

【点评】此题考察棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题.

8.将函数f(x)=2sin(x)的图象向左平移(04)个单位，得到函数y=g(x)的图象，若实数x1，x2满意|f(x1)﹣g(x2)|=4，且|x1﹣x2|min=2，则=()

A.1B.2C.3D.1或3

【考点】HJ：函数y=Asin(x+)的图象变换.

【分析】结合正弦函数的图象和性质可得|x1﹣x2|min=2，得的值

【解答】解：将函数f(x)=2sin(x)的图象向左平移(04)个单位，得到函数y=g(x)=2sin(x+)的图象，

故f(x)的最大值为2，最小值为﹣2，g(x)的最大值为2，最小值为﹣2.

若实数x1，x2满意|f(x1)﹣g(x2)|=4，且|x1﹣x2|=2，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=2.

不妨假设f(x1)=2，g(x2)=﹣2，则x1=2k+，x2+=2n﹣，k、nZ，

即x1=2k+，x2=2n﹣﹣，此时，有|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+|=1+，或|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+|=﹣2+1+，

=1或=3，

应选：D.

【点评】此题考察三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考察分析问题解决问题的力量，是好题，题目新奇，有肯定难度，属于中档题.

9.若如图的程序框图运行的构造为S=﹣，则推断框①中可以填入的是()

A.i4?B.i4?C.i3?D.i3?

【考点】EF：程序框图.

【分析】模拟运行程序，可得结论.

【解答】解：模拟运行程序，可得S=﹣，i=2;S=﹣+2cos=﹣，i=3;

S=﹣+3cos=，i=4;S=+4cos=﹣，i=5，循环完毕，

应选A.

【点评】此题是当型循环构造的程序框图，解题的关键是推断程序框图功能及推断终止程序的k值.

10.多项式(x2﹣x﹣y)5的绽开式中，x7y项的系数为()

A.20B.40C.﹣15D.160

【考点】DB：二项式系数的性质.

【分析】由题意知，当其中一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，其余的3个因式都取x2时，

可得含x7y的项，由此求得结果.

【解答】解：多项式(x2﹣x﹣y)5表示5个因式(x2﹣x﹣y)的乘积，

当只有一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，

其余的3个因式都取x2时，才可得到含x7y的项;

所以x7y的系数为=20.

应选：A.

【点评】此题考察了排列组合、二项式定理和乘方的应用问题，是根底题.

11.如图，是圆锥一局部和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为()

A.B.C.D.

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案.

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，

底面(四分之一球)的半径R=2，

故四分之一球的体积V==，

半圆锥的底面面积S==2，

高h=3，

故半圆锥的体积为：2，

故组合体的体积V=，

应选：C

【点评】此题考察的.学问点是由三视图，求体积和外表积，依据已知的三视图，推断几何体的外形是解答的关键.

12.已知函数f(x)=+bx﹣2a(aR)，其中b=(2sincos)dt，若x(1，2)，使得f(x)x+f(x)0成立，则实数a的取值范围为()

A.(﹣，1)B.(0，1]C.(﹣，)D.(﹣，]

【考点】67：定积分.

【分析】先利用微积分根本定理求出a，得到函数的解析式，再求导函数，依据导数和函数的单调性关系，求出函数y=x+的最大值即可.

【解答】解：b=(2sincos)dt=sintdt=﹣cost|=﹣(cos﹣cos0)=1，

f(x)=+x﹣2a，

设g(x)=xf(x)=2lnx+a2+x2﹣2ax，

g(x)=+2x﹣2a，g(x)=f(x)x+f(x)，

∵x(1，2)，使得f(x)x+f(x)0成立，

x(1，2)，使得+2x﹣2a0，

x(1，2)，使得a+x，

又y=x+在(1，2)上单调递增，

a(+x)max+2=，

a，

应选：C

【点评】此题以函数为载体，考察微积分根本定理，导数的运用，考察了学生的运算力量和转化力量，属于中档题

二、填空题(共4小题，每题5分，总分值20分)

13.某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如下图，现要按如下图的4个分数段进展分层抽样，抽取100人了解状况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为82(以各组区间的中点值代表改组的取值)

【考点】B8：频率分布直方图.

【分析】先求出70～80分数段与90～100分数段的频率，再求平均分.

【解答】解：依据频率分布直方图知，

70～80分数段的频率为=0.3，

90～100分数段的频率为

1﹣(0.1+0.3+0.4)=0.2，

平均分为=0.165+0.375+0.485+0.295=82，

故答案为：82.

【点评】此题考察了利用频率分布直方图求平均数的应用问题，是根底题.

14.若以椭圆=1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2=0相切，则该圆的标准方程是(x﹣2)2+y2=4.

【考点】K4：椭圆的简洁性质.

【分析】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，即可圆的半径，即可求得圆的标准方程.

【解答】解：椭圆=1的右顶点(2，0)，

则圆心(2，0)，设圆心到直线x+y+2=0的距离为d，

则d==2，

该圆的标准方程的方程(x﹣2)2+y2=4，

故答案为：(x﹣2)2+y2=4.

【点评】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，属于根底题.

15.设x，y满意约束条件，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为﹣5或2.

【考点】7C：简洁线性规划.

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合以及分类争论的思想进展求解即可.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=kx+y得y=﹣kx+z，

则直线截距最大时，z最大，

∵目标函数z=kx+y的最大值为9，

y+kx=9，即y=﹣kx+9，

则目标函数过定点(0，9)，

当k=0时，y=z，此时直线过点A时，直线的截距最大，

由得，即A(2，5)，

此时最大值z=5不满意条件.

当k0时，目标函数的斜率为﹣k0，

平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点A(2，5)时，截距最大，

此时z=9=2k+5，得2k=4，k=2，

当k0时，目标函数的斜率为﹣k0，

平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点C时，截距最大，

由得，即C(﹣，)

此时z=9=﹣k+，得﹣3k=15，得k=﹣5，满意条件.

综上k=﹣5或k=2，

故答案为：﹣5或2

【点评】此题主要考察线性规划的应用，依据目标函数的几何意义，利用数形结合是解决此题的关键.留意此题要对k进展分类争论.

16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=，C=，点D在边AB上，且=0，则线段CD的最大值为.

【考点】9R：平面对量数量积的运算.

【分析】依据||=||=得出a2+b2=3+ab，再利用根本不等式得出ab的范围，依据面积公式得出CD（关于）ab的表达式，从而得出CD的最值.

【解答】解：=abcos=，

∵||=||=，

=3，即a2+b2=3+ab，

又a2+b22ab，3+ab2ab，ab3.

∵=0，CDAB，

S==CDc，即ab=CD，

CD=ab，

故答案为：.

【点评】此题考察了平面对量的应用与数量积运算，面积公式及根本不等式，属于中档题.

三、解答题：解同意写出文字说明，证明过程或演算步骤(共5小题，总分值60分)

17.(12分)(2023衡水金卷二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满意an=2﹣3Sn(nN*)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式

(Ⅱ)设bn=log2an，求数列{}的前n项和Tn.

【考点】8E：数列的求和;8H：数列递推式.

【分析】(Ⅰ)当n2时，由已知条件an=2﹣3Sn得到an﹣1=2﹣3Sn﹣1，将这两个式子相减，再结合数列{an}的前n项和Sn的定义易得数列{an}的通项公式

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中求得的通项公式不难推出：bn=log2an=1﹣2n，所以利用裂项相消法来求数列{}的前n项和Tn.

【解答】解：(Ⅰ)当n2时，∵an=2﹣3Sn①

an﹣1=2﹣3Sn﹣1②

①﹣②得：an﹣an﹣1=﹣3(Sn﹣Sn﹣1)=﹣3an

4an=an﹣1;即=，

又a1=2﹣3S1=2﹣3a1;得：a1=，

数列{an}是以为首项，为公比的等比数列

an=()n﹣1=21﹣2n(nN*)，即an=21﹣2n(nN*)，

(Ⅱ)∵an=21﹣2n(nN*)，bn=log2an，

bn=log2an=log221﹣2n=1﹣2n，

==(﹣).

Tn=(1﹣+﹣++﹣)，

=(1﹣)，

=(nN*).

【点评】此题主要考察数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决此题的关键.

18.(12分)(2023衡水金卷二模)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧按AA1底面ABC，且四边形AA1B1B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB的中点，点E，F分别在按AA1，A1B1上

(Ⅰ)若点F为棱A1B1的中点，证明：平面ABC1平面CMF

(Ⅱ)若AE=，A1F=，且CACB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.

【考点】MI：直线与平面所成的角;LY：平面与平面垂直的判定.

【分析】(Ⅰ)推导出AA1AB，ABFM，CMAB，从而AB平面CMF，由此能证明平面ABC1平面CMF.

(Ⅱ)记线段A1B1的中点为N，连结MN，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.

【解答】证明：(Ⅰ)∵AA1B1B是边长为2的正方形，AA1AB，

又在正方形ABB1A1中，F，M分别是线段A1B1，AB的中点，

FM∥A1A，ABFM，

在△ABC中，CA=CB，且点M是线段AB的中点，

CMAB，

又CMFM=M，AB平面CMF，

又AB平面ABC1，平面ABC1平面CMF.

解：(Ⅱ)在等腰△CAB中，由CACB，AB=2，知CA=CB=，且CM=1，

记线段A1B1的中点为N，连结MN，

由(Ⅰ)知MC、MA、MN两两相互垂直，

以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，

则C(1，0，0)，E(0，1，)，F(0，，2)，A(0，1，0)，C1(1，0，2)，

=(﹣1，1，)，=(0，﹣，)，=(1，﹣1，2)，

设平面CEF的一个法向量=(x，y，z)，

则，取z=2，得=(5，4，2)，

设直线AC1与平面CEF所成角为，

则sin=|cos|===，

直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为.

【点评】此题考察面面垂直的证明，考察线面角的正弦值的求法，考察线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等根底学问，考察推理论证力量、运算求解力量、空间（想象）力量，考察化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.

19.(12分)(2023衡水金卷二模)依据《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》(HJ633﹣2023)规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严峻，对人体安康的影响也越明显，如表(1)所示，若表(2)、表(3)分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录.

表一：

空气质量指数[0，50]

[51，100]

[101，150]

[151，200]

[201，300]300以上

空气质量状况优良轻度污染中度污染重度污染严峻污染

(Ⅰ)依据表(2)、表(3)中的数据，通过讨论1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比拟石家庄市、北京市近一周空气污染的严峻程度(结果保存两位有效数字)

(Ⅱ)将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，依据表中供应的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由

(Ⅲ)小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望(构造保存整数局部)

附：相关系数r=，r[0.30，0.75)时，相关性一般，r[0.75，1]时，相关性很强

参考数据：=28，(y1﹣)2123134，(xi﹣)(y1﹣)=68，1857.

【考点】BK：线性回归方程.

【分析】(Ⅰ)求出平均数，比拟即可;

(Ⅱ)求出r，依据r的范围推断即可;

(Ⅲ)设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为﹣200，400，700分别求出P(X=﹣200)，P(X=400)，P(X=700)，求出E(X)的值即可.

【解答】解：(Ⅰ)石家庄市近一周空气污染指数的平均值为：

293.43，

北京市近一周空气污染指数的平均数为：

262.71，

石家庄市与北京市的空气都处于重度污染，

且石家庄市比北京市的污染更严峻;

(Ⅱ)r=0.31，

∵r[0.30，0.75)，

石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系一般;

(Ⅲ)设洗车店平均每天收入为X元，

则X可能的取值为﹣200，400，700，

P(X=﹣200)==，

P(X=400)==，

P(X=700)=，

则X的分布列为：

X﹣200400700

P

故E(X)=﹣200+400+700=164(元)，

故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是164元.

【点评】此题考察了平均数问题，考察相关系数的计算以及数学期望问题，是一道中档题.

20.(12分)(2023衡水金卷二模)已知抛物线：y2=ax(a0)上一点，P(t，2)到焦点F的距离为2t

(Ⅰ)求抛物线的方程

(Ⅱ)如图已知点D的坐标为(4，0)，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于肯定点.

【考点】K8：抛物线的简洁性质.

【分析】(Ⅰ)依据抛物线的定义，可得a=4t，将P代入抛物线方程，求得at=4，代入即可求得a的值，求得抛物线的方程;

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线MN的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线ND的方程，与抛物线的准线方程构成方程组，解得Q的坐标，求出直线MQ的斜率，得到直线MQ的方程，求出交点坐标即可.

【解答】解：(Ⅰ)由抛物线的定义可知丨PF丨=t+=2t，则a=4t，

由点P(t，2)在抛物线上，则at=4，

a=4，则a2=16，

由a0，则a=4，

抛物线的方程y2=4x;

(Ⅱ)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

设直线MN的方程为x=my+1

，整理得：y2﹣4my﹣4=0，

由韦达定理可知：y1y2=﹣4，

依题意，直线ND与x轴不垂直，x2=4.

直线ND的方程可表示为，y=(x﹣4)①

∵抛物线的准线方程为，x=﹣1②

由①，②联立方程组可求得Q的坐标为(﹣1，﹣)

Q的坐标可化为(﹣1，)，

kMQ=，

直线MQ的方程为y﹣y1=(x﹣x1)，

令y=0，可得x=x1﹣=，

直线MQ与x轴交于定点(，0).

【点评】此题考察抛物线的方程，考察直线与抛物线的位置关系，考察直线过定点，考察学生分析解决问题的力量，属于中档题.

21.(12分)(2023衡水金卷二模)设函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a0).

(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值;

(Ⅱ)若x1，x2(x1m恒成立，求实数m的取值范围.

【考点】6D：利用导数讨论函数的极值;6B：利用导数讨论函数的单调性.

【分析】(Ⅰ)求导数，分类争论，确定函数的单调性，利用函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值;

(Ⅱ)f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)=﹣x12+2lnx12，令x12=t，则t1，g(t)=﹣t﹣2lnt，x，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m的取值范围.

【解答】解：(Ⅰ)f(x)=，

0

a2，令f(x)=0，则x1=，x2=，

2

函数在(1，x1)内单调递减，在(x1，2)内单调递增，

f(x)min