人教A版高中数学必修4《一章三角函数14三角函数的图像与性质探究与发现》课教案19

《三角函数线及其应用》授课设计授课目的：使学生理解并掌握三角函数线的作法，并能利用三角函数线解决一些简单问题；培养学生解析、研究、发现并想方法解决问题的能力，以及归纳和类比的能力；培养学生数形结合思想授课重点：三角函数线的作法授课难点：三角函数线的作法和应用授课过程设计：一、复习引入1.三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：（1）y叫做的正弦，记作sin，即siny；（2）x叫做的余弦，记作（3）y叫做的正切，记作x

cos，即tan，即

cosx；ytan；x正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以角的终边上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号：正弦、余弦、正切函数的定义是用角的终边上点的坐标或坐标的比值来定义的，是从数的角度来认识三角函数的，今天这节课我们来商议一下，能不能够从图形的角度来认识一下三角函数呢？二、研究新知：研究1：以以下列图，角的终边与单位圆交于点P(x,y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，你能在图中找到合适的几何量，来表示角的正弦和余弦吗？MPysinMPysinMPysinMPysinOMxcosOMxcosOMxcosOMxcos综上：MPysin,OMxcos研究2：为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个合适的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？学生谈论数轴上点的坐标与数轴的方向有关，比方，上图中x轴上点M在点O的右侧时，点M的坐标为正当，点M在点O的左侧时，点M的坐标为负值，点M在点O的右侧也能够描述为以O为起点，M为终点的线段OM与x轴同向，点M在点O的左侧也能够描述为以O为起点，M为终点的线段OM与x轴反向。这样，当角的终边不在坐标轴上时，以O为起点，M为终点，我们规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正当x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x。其中x为M的坐标，即点P的横坐标。这样，无论哪一种情况都有OMxcosM为起点，P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，同理，当角的终边不在坐标轴上时，以MP的方向为正向，且有正当y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y。其中y为即点P的纵坐标。这样，无论哪一种情况都有MPysin有向线段：规定了起点与终点，带有方向的线段，叫做有向线段。研究3：你能类比上面的方法，选择合适的有向线段来表示角的正切吗？y学生自己作图，找到的有向线段不用然能用一致形式表示，再调整，从而获取正切线ATtanx综上，可得：正弦线：MPysin；余弦线：OMxcos；正切线：ATytan；x正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线。三角函数线是三角函数的几何表示，它与三角函数的定义结合起来，能够从数和形两方面认识三角函数的定义，使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、引诱公式等的理解更简单了。同时，单位圆中的三角函数线还是数形结合的有效工具，利用它能够解决很多问题。三、应用举例：例1分别求满足以低等式的角的会集：（1）sin2（2）cos1（3）tan3；；22解：（1）2k或2k3；,kZ44（2）2k2或2k2,kZ；33（3）k,kZ；3例2分别求满足以下不等式的角的取值范围：（1）sin2（2）cos1；（3）tan3；22解：（1）2k42k3,kZ；4（2）2k22k2,kZ；33（3）k2k2,kZ；3练习：求函数y12cosxlg(2sinx2)定义域。例3比较以下各式的大小：（1）sin70o与sin80o；（2）cos160o与cos170o；（3）tan1300与tan1400解：（1）sin70o＜sin80o；（2）cos160o﹥cos170o；（3）tan1300﹤tan1400练习：比较以下各式的大小：1）sin70o与sin170o；（2）cos110o与cos230o；（3）tan4与tan4.51）sin70o﹥sin170o；（2）cos110o﹥cos230o；（3）tan4﹤tan4.5例4已知,,比较、sin、cos、tan的大小。42yT解：在单位圆中作出角的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，则PsinMP,cosOM,tanAT,易得cossintan，OMAx1MPsin由弧长公式可得弧AP的长为，又因为扇形OAPS扇形OAP=11=1，而△OAT的面积S11AT，的面积22OAT=OAAT=22显然SSOAT，所以tan。综上，当,时cossintan扇形OAP42四、小结作业：本节课学习了三角函数线的作法，以及三角函数线在解三角方程、解三角不等式和比较大小等方面的简单应用。三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的表现。要熟练掌握三角函数线的作法，