弹塑性波的相互作用

弹塑性波的相互作用第1页/共111页§4-1弹塑性加载波的

相互作用

弹性波的相互作用时，加载和卸载遵循同一应力应变关系，且应力应变关系是线性的。

弹塑性波的相互作用时，加载和卸载遵循不同的应力应变关系。且应力应变关系是非线性的。第2页/共111页两弹塑性波相互作用的加载过程，可概括为两种基本类型：一种是迎面加载，另一种是追赶加载。追赶加载只发生在递增硬化材料中，本节具体讨论迎面加载问题，对材料是递减硬化还是递增硬化并无限制。第3页/共111页

1．强间断弹塑性波的迎面加载

先讨论线性硬化材料的情况，这时弹性波速和塑性波速都是恒值。第4页/共111页设有一长为的均匀等截面杆，原先处于静止的自然状态。两端同时受到突加恒速冲击载荷，其值在右端为，在左端为。于是在杆中有迎面传播两强间断弹塑性拉伸波。第5页/共111页强间断弹塑性加载波相互作用第6页/共111页两波相遇前，和弹塑性简单波的情况完全一样。图中0，1、2、3、4各区的状态均可作为已知，即：第7页/共111页两弹性波波相遇后t2时刻应力图两弹性前驱波首先相遇于a点。两波相遇界面的右侧有：两波相遇界面的左侧有：第8页/共111页在界面上应满足质点速度相等和应力相等条件，即有：由上述四个方程联立求解得：

第9页/共111页内反射与入射塑性波相遇后t3时刻应力图第10页/共111页入射塑性波相遇后t4时刻应力图第11页/共111页弹塑性强间断加载波相互作用的图第12页/共111页弹塑性强间断加载波相互作用的图第13页/共111页

2．弱间断弹塑性波的迎面加载递减硬化材料的弹性波速是恒值，但塑性波速不再是恒值，塑性波以连续波的形式传播。第14页/共111页设有一长为的递减硬化材料等截面杆，原先处于，的状态。右端受到渐加冲击载荷到，在左端受到渐加冲击载荷到后保持恒值，于是在杆中迎面传播两束弱间断弹塑性拉伸波，在相遇前都是已知的简单波。

第15页/共111页弱间断弹塑性拉伸波相互作用第16页/共111页相遇前都是已知的简单波，且有：第17页/共111页两弱间断弹塑性波相互作用

两弹性前驱波首先相遇于a点。于d点相互作用完毕，对于杆的右侧有

：对于杆的左侧有

：第18页/共111页在界面上应满足质点速度相等和应力相等条件，即有：由上述四个方程联立求解得，和。

第19页/共111页如果用来表示，则上四式可化为：

第20页/共111页化简合并后可得：上式可改写为：

第21页/共111页弱间断弹塑性波的迎面加载，引入来代替，就可应用叠加原理来求解。第22页/共111页有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用把特征线ab和ac分别分成m段和n段，经过ab线上诸分割点的左行特征线和经过线ac上诸分割点的右行特征线将把区域划分成许多小网格，而网格内的质点速度和应力可以近似地看作是均匀的。

第23页/共111页下面我们来求解sRaQ区。由简单波区特征线方程，我们可以求出a、Q、R三点的位置和状态，下面我们求s点的位置和状态。

第24页/共111页如果网格划分的足够小，则网格内的质点速度和应力可以近似地看作是均匀的。于是特征线段Rs的斜率可近似地按R点的状态来确定，Qs的斜率可近似地按Q点的状态来确定。

第25页/共111页于是可得：

第26页/共111页有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用解abdc区这类在两条不同系的特征线上给定和

，则可在以这两条特征线和经过它们端点的另两条特征线为界的曲线四边形中求得单值解的问题，常称为Darboux问题或特征线边值问题。

第27页/共111页三种类型的定解问题：

Cauchy问题(初值问题)；

Picard问题(混合问题)；

Darboux问题(特征线边值问题)。第28页/共111页

3．弹塑性加载波在固定端的反射

弹性波在刚壁(固定端)的反射，等同于两应力值相同弹性波的相互撞击。和弹性波相似，弹塑性波在刚壁(固定端)的反射，也等同于两应力值相同弹塑性波的相互撞击。第29页/共111页如果，代入下式可得：，将其代入下式得：第30页/共111页由，可得即：

弹塑性波在刚壁反射后应力扰动值加倍。

第31页/共111页递减硬化弹塑性材料有限长杆，其左端(X=0)固定，右端(X=L)在t=0时受一突加恒速撞击。弹塑性波在固定端和撞击端间来回反射而逐渐增强。

第32页/共111页弹塑性波在固定端的反射在应力波到达固定端之前，在弹性前驱波波阵面LA上，应力、应变、质点速度分别从零突跃到Y、。第33页/共111页弹塑性波在固定端的反射在时，幅值为Y的弹性波在固定端反射加载为塑性波，并由于材料递减硬化特性，入射强间断波反射转化为弱间断连续波。第34页/共111页弹塑性波在固定端的反射第35页/共111页弹塑性波在固定端的反射带有(”)的区域都是恒值区，在平面上正负特征线都是直线，在状态平面上只对应于一点。

第36页/共111页弹塑性波在固定端的反射带有(’)的区域都是简单波区，它总是和恒值区相邻出现。在状态平面上它对应于一线段。如果这线段是正向的，则平面上的负向特征线族为直线，而另一族特征线为曲线。第37页/共111页弹塑性波在固定端的反射不带(”)和(’)的区域都是混合波区，在物理平面和状态平面上有一一对应的区域。

第38页/共111页弹塑性波在固定端的反射第39页/共111页弹塑性波在固定端的反射第40页/共111页弹塑性波在固定端的反射第41页/共111页弹塑性波在固定端的反射第42页/共111页弹塑性波在固定端的反射第43页/共111页弹塑性波在固定端的反射第44页/共111页弹塑性波在固定端的反射第45页/共111页弹塑性波在固定端的反射第46页/共111页§4-2卸载波的控制方程

和特征线弹塑性材料在加载和卸载时遵循不同的应力应变关系，因而相应地有不同的控制方程。在处理既有加载又有卸载的弹塑性波的传播问题时，必须区分不同的质点在不同的时刻是处于加载过程还是卸载过程。第47页/共111页弹塑性材料在经历塑性加载后的卸载应力应变关系满足弹性卸载假定，即：从卸载前塑性变形所达到的应力和应变卸载时，不论卸载后是否又重新加载，而只要应力不再超过，则应力应变间有线性关系，且其斜率等于加载曲线弹性部分的初始斜率。第48页/共111页一维应力下弹性卸载的应力应变关系用字母上加一横来表示卸载后的量，则一维应力下弹性卸载的应力应变关系可写作：（4-1）

第49页/共111页对卸载区而言，和都只是X的函数，与t无关。上式对t和X分别求导可得：第50页/共111页如果X点和X+dX两点卸载开始时的分别如图中的a点和b点所示，某时刻t此两点的卸载应力分别如图中i点和h点所示，则表达式中各项的意义如图中所示。第51页/共111页卸载时杆的运动学方程和动力学方程和加载时相同，连同卸载应力应变关系就可列出卸载区的控制方程组为：第52页/共111页消去，则得第53页/共111页消去，则得第54页/共111页也可以表示为以位移为未知函数的两阶偏微分方程：第55页/共111页采用特征线法求解，可得对应的特征线方程和特征线上相容条件。第56页/共111页以和为未知函数的控制方程组及其相应的特征线方程组，与弹性波中的形式完全一致，这是弹性卸载假定的必然结果。第57页/共111页

追赶卸载：在半无限长杆中，杆端先受到弹塑性加载，然后卸载。由于卸载扰动的传播比塑性加载扰动的传播快，后发生的卸载扰动将追上先发生的塑性加载扰动而相互作用的问题。

迎面卸载：在有限长杆中，由另一端传来的卸载扰动迎面与塑性加载扰动相互作用的问题。第58页/共111页§4-3追赶卸载一线性硬化材料的半无限长杆，原来处于静止的自然状态，在t=0时受一突加恒值冲击载荷，经过时间t1后又突然卸载到零。在两杆突然相撞后又突然跳开的情况下就会遇到这类问题。第59页/共111页加载扰动和卸载扰动都以强间断波阵面的形式在杆中传播，并且卸载扰动的传播快于塑性加载扰动的传播。第60页/共111页时，1区和2区的状态有:第61页/共111页当时,卸载区3区的状态有：第62页/共111页应力虽然卸到了零，但仍有残余变形和残余质点速度，这一点正是塑性变形的不可逆性的表现。第63页/共111页当时，卸载扰动赶上塑性加载扰动之后，卸载扰动在杆的弹性恒值区中传播，卸载扰动波阵面通过后应力卸到零，质点速度降为零。于是在截面的两侧将有质点速度的突跃差(

)，也就是说将发生内撞击。第64页/共111页卸载扰动赶上塑性加载扰动时，将相互作用引起二次应力波即内反射波。第65页/共111页卸载扰动与塑性加载扰动相互作用后的具体情况将视两扰动相遇处(

)两侧的残余质点速度的差值大小而定。

，二次应力波幅值将小于屈服限Y；，二次应力波中将包含塑性波。第66页/共111页当时,4区的状态可确定如下：第67页/共111页

根据处应力和质点速度的连续条件：于是可得第68页/共111页应变在处应变发生间断。第69页/共111页在处应变发生间断，该间断面称为驻定间断面。第70页/共111页当时第71页/共111页当时第72页/共111页当时第73页/共111页当时第74页/共111页当时第75页/共111页当时第76页/共111页当时第77页/共111页当时，卸载扰动与塑性加载扰动相互作用。第78页/共111页当时，卸载扰动与塑性加载扰动相互作用。第79页/共111页当时，卸载扰动与塑性加载扰动相互作用。第80页/共111页当时，卸载扰动与塑性加载扰动相互作用。第81页/共111页当时，卸载扰动与塑性加载扰动相互作用。第82页/共111页

思考

线性硬化材料，卸载扰动和塑性加载扰动都是强间断的追赶卸载以及卸载扰动是强间断，但塑性加载扰动是弱间断(连续波)的追赶卸载；递减硬化材料，卸载扰动是强间断，但塑性加载扰动是弱间断(连续波)的追赶卸载以及卸载扰动和塑性加载扰动都是弱间断的追赶卸载。第83页/共111页§4-4迎面卸载迎面卸载问题就是两异号应力波迎面相互作用而发生相互卸载的问题。第84页/共111页一线性硬化材料的有限长杆，原来处于静止的自然状态。其左端受到突加恒速压缩冲击载荷，而右端受到突加恒速拉伸冲击载荷，于是迎面传播应力异号的两强间断弹塑性波。第85页/共111页应力异号的两弹塑性波迎面相遇时的卸载问题。两弹性前驱波相遇于a点，相互作用后形成5区，其中应力和速度分别为：第86页/共111页应力异号的两弹塑性波迎面相遇时的卸载问题。在图上此状态对应于5点。

注意和追赶卸载的不同。

第87页/共111页应力异号的两弹塑性波迎面相遇时的卸载问题。左行内反射卸载波ab与右行塑性加载波ob迎面相遇于b点。

第88页/共111页b点的左侧在卸载波通过后应力卸到零，质点速度将等于

。这样将由于b点两侧存在质点速度差()而发生内撞击。如果，内撞击所产生的两个内反射应力波将都在弹性范围内。第89页/共111页应力异号的两弹塑性波迎面相遇时的卸载问题。第90页/共111页如果或，则内撞击后所发生的内反射波将仍然包含塑性波，但其强度削弱了。第91页/共111页应力异号的两弹塑性波迎面相遇时的卸载问题（）。Ｒ第92页/共111页§4-5

Taylor圆柱

撞击试验

Taylor圆柱撞击理论研究的是圆柱弹体对半无限靶板的垂直撞击问题。

Taylor圆柱撞击理论的重要意义在于能够通过弹体的变形粗略确定材料动态屈服极限。第93页/共111页假定：弹体是理想刚塑性材料；靶板是完全刚性材料；靶板仅有弹性变形。第94页/共111页理想刚塑性材料：0第95页/共111页理想刚塑性圆柱弹体的初始长度为L，以较大的初始速度撞击半无限刚性靶板。第96页/共111页

弹体撞击靶板瞬间，撞击端面压力急剧升高到材料屈服极限，在撞击端产生弹性压缩波向弹体内传播。

弹性压缩波的速度为

，弹性压缩波的强度为材料动态屈服应力

；弹性压缩波后质点速度为。第97页/共111页撞击端面应力继续增长进入塑性范围，塑性区内的应力也是。塑性区向弹体内部扩展速度等于弹、塑性区分界面向左方传播的速度，塑性区内质点速度等于0。第98页/共111页当时，弹性压缩波到达自由端后产生拉伸卸载波。拉伸卸载波向回传播，拉伸卸载波前方应力为、质点速度为，拉伸卸载波后应力为0，质点速度为。第99页/共111页当拉伸卸载波到达弹、塑性区分界面时，整个弹体除了撞击端外，其质点运动速度都是。这时，弹体又以的速度向弹、塑性分界面进行第二次撞击。第100页/共111页

第二次撞击同样也会产生弹性压缩波、塑性波以及反射拉伸卸载波，弹、塑性分界面不断向左移动，结果使得弹体弹性部分变短，塑性部分变长。

如此重复，在每一次新的撞击中，撞击速度都会不断降低，撞击速度依次为

、

、

、…、

、…，其中第101页/共111页弹体撞击靶板所产生的弹性波在弹体内往返传播形成一系列撞击的过程，是一个不连续的分阶段进行的过程。但由于弹性波速度很大，弹性波在弹体上往返一次所需时间很短，在这么短的时间内可以把分段进行的不连续撞击过程，近似看作一种连续过程。第102页/共111页设是弹性区的长度，是塑性区的长度，是无应力弹性区向靶板运动的速度，是弹塑性分界面向左扩展的速度，它们都是时间t的函数。第103页/共111页

弹性波在弹体上往返一次所需时间:

在这段时间内，塑性区和弹性区的增量分别为：弹性波在弹体上往返一次时间弹体弹性部分速度变化为:第104页/共111页用导数代替差分，上述各式为：