多项式插值方法

多项式插值方法1第1页，共60页，2023年，2月20日，星期四下面仅以近似计算函数值为例来说明

:2第2页，共60页，2023年，2月20日，星期四x0x1x2x3x4xg(x)3第3页，共60页，2023年，2月20日，星期四x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)

y=

f(x)有时f(x)过于复杂而难以运算,要用近似函数g(x)来逼近f(x)。4第4页，共60页，2023年，2月20日，星期四5第5页，共60页，2023年，2月20日，星期四本章只研究多项式插值，亦即g(x)是x的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.6第6页，共60页，2023年，2月20日，星期四插值的基本问题是,寻求多项式,使得1.多项式插值问题7第7页，共60页，2023年，2月20日，星期四8第8页，共60页，2023年，2月20日，星期四线性方程组的系数矩阵为9第9页，共60页，2023年，2月20日，星期四(3.3)10第10页，共60页，2023年，2月20日，星期四11第11页，共60页，2023年，2月20日，星期四1.1多项式插值问题:

12第12页，共60页，2023年，2月20日，星期四x0x1x2x3x4x

y=

pn(x)13第13页，共60页，2023年，2月20日，星期四14第14页，共60页，2023年，2月20日，星期四1.2线性插值（一次插值）问题x0x115第15页，共60页，2023年，2月20日，星期四16第16页，共60页，2023年，2月20日，星期四该基函数的特点如下：基函数的思想使得插值多项式形式简洁和易于推广17第17页，共60页，2023年，2月20日，星期四函数值、。一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是18第18页，共60页，2023年，2月20日，星期四1.3二次插值(抛物线插值)问题19第19页，共60页，2023年，2月20日，星期四20第20页，共60页，2023年，2月20日，星期四21第21页，共60页，2023年，2月20日，星期四同理可得

22第22页，共60页，2023年，2月20日，星期四23第23页，共60页，2023年，2月20日，星期四24第24页，共60页，2023年，2月20日，星期四2.Lagrange插值公式25第25页，共60页，2023年，2月20日，星期四26第26页，共60页，2023年，2月20日，星期四则插值表达式为定理:满足插值条件的如(3.7)形式的插值多项式唯一.

27第27页，共60页，2023年，2月20日，星期四定义：

特点:Lagrange插值公式（3.8）具有结构清晰、紧凑的特点，因而适合于作理论分析和应用.也非常适合于利用计算机编程计算。28第28页，共60页，2023年，2月20日，星期四29第29页，共60页，2023年，2月20日，星期四3.插值余项30第30页，共60页，2023年，2月20日，星期四31第31页，共60页，2023年，2月20日，星期四证明

32第32页，共60页，2023年，2月20日，星期四33第33页，共60页，2023年，2月20日，星期四34第34页，共60页，2023年，2月20日，星期四解35第35页，共60页，2023年，2月20日，星期四4.插值节点的选取因此自然提出这样的问题：

36第36页，共60页，2023年，2月20日，星期四37第37页，共60页，2023年，2月20日，星期四解：

38第38页，共60页，2023年，2月20日，星期四39第39页，共60页，2023年，2月20日，星期四5.Hermite插值公式本节讨论一类具有重结点的多项式插值方法，即Hermite插值方法。因为此类插值问题要求在结点处满足相应的导数条条件，所以它也被称为切触插值问题。40第40页，共60页，2023年，2月20日，星期四称为ak重密切Hermite插值41第41页，共60页，2023年，2月20日，星期四为解决插值问题(3.13)，最直接的方法是采用代定系数法，或者求解由(3.13)所确定的线性方程组。42第42页，共60页，2023年，2月20日，星期四43第43页，共60页，2023年，2月20日，星期四44第44页，共60页，2023年，2月20日，星期四45第45页，共60页，2023年，2月20日，星期四46第46页，共60页，2023年，2月20日，星期四整个构造步骤如下：1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数；2、假设一组基函数，列出插值多项式；3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数；称为构造基函数方法47第47页，共60页，2023年，2月20日，星期四余项48第48页，共60页，2023年，2月20日，星期四解:49第49页，共60页，2023年，2月20日，星期四余项:50第50页，共60页，2023年，2月20日，星期四51第51页，共60页，2023年，2月20日，星期四52第52页，共60页，2023年，2月20日，星期四解三个插值点在一条直线上,所以二次插值退化为一次插值53第53页，共60页，2023年，2月20日，星期四54第54页，共60页，2023年，2月20日，星期四55第55页，共60页，2023年，2月20日，星期四数据插值

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