江苏省南通市八年级(上)期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.如果二次根式x−2有意义，那么x的取值范围是（）A.x≠2 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2如果将分式2xx+y中的字母x与y的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（）A.不改变 B.扩大为原来的20倍

C.扩大为原来的10倍 D.缩小为原来的110下列各式中，是最简二次根式的是（）A.12 B.25m3 C.13 D.3计算（-2ab）3的结果是（）A.−2a3b3 B.−6a3b3 C.−8a3b3 D.8a3b3下列计算正确的是（）A.3+2=5 B.12−3=3 C.3×2=6 D.82=4如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A.7，24，25 B.312，412，512 C.3，4，5 D.4，712，812通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（）

A.(a−b)2=a2−2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.2a(a+b)=2a2+2ab D.(a+b)(a−b)=a2−b2如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）

A.102 B.104 C.105 D.5当x分别取-2019，-2018，-2017，……，-2，-1，0，1，12，13，……，12017，12018，12019时，分别计算分式x2−1x2+1的值，再将所得结果相加，其和等于（）A.−1 B.1 C.0 D.2019二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）分解因式：a2-4b2=______．计算1a−1−aa−1的结果为______．已知x2+y2-2x+6y+10=0，则x+y=______．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE=CD，联结DE，则DE的长是______．

如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是______．

若分式方程式x−1x−2=mx−2+2无解，则m的值为______．下面是一个按某种规律排列的数表：第1行1第2行232第3行567223第4行1011231314154……那么第5行中的第2个数是______，第n（n＞1，且n是整数）行的第2个数是______．（用含n的代数式表示）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为______度．

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）解方程：

（1）2x=3x+1；

（2）x+1x−1-4x2−1=1．

已知x2-x-2=0，求代数式3x−3x2−1÷3xx+1-1x−1的值．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）（1）(2+3)2+3(2−3)

（2）a−1a−2÷a2−2a+12a−4

如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（-1，4），C（-3，1）

（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；

（2）写出点A′B′C′的坐标．

如图为地铁调价后的计价表．调价后小明、小伟从家到学校乘地铁分别需要4元和3元．由于刷卡坐地铁有优惠，因此，他们平均每次实付3.6元和2.9元．已知小明从家到学校乘地铁的里程比小伟从家到学校的里程多5km，且小明每千米享受的优惠金额是小伟的2倍，求小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是多少千米？

如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．

如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短．

我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：32=1+12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像x+1x−1，x2x−2，…这样的分式是假分式；像4x−2，2xx2+1，…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．

例如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1；x2x−2=x2−4+4x−2=(x+2)(x−2)+4x−2=x+2+4x−2．

（1）将分式x−1x+2化为整式与真分式的和的形式；

（2）如果分式2x2−1x−1的值为整数，求x的整数值．

如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．

（1）如图1，填空∠B=______°，∠C=______°；

（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2

①求证：△ANE是等腰三角形；

②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

如图，在长方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的动点．沿EF折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，求CF的取值范围．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、不是轴对称图形，故A错误；

B、是轴对称图形，故B正确；

C、不是轴对称图形，故C错误；

D、不是轴对称图形，故D错误．

故选：B．

根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．

本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】D

【解析】解：由题意得，x-2≥0，

解得x≥2．

故选：D．

根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．3.【答案】A

【解析】解：x、y都扩大10倍，==，

所以分式的值不改变．

故选：A．

把分式中的x换成10x，y换成10y，然后根据分式的基本性质进行化简即可．

本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键．4.【答案】D

【解析】解：A、=2，不是最简二次根式，故本选项错误；

B、=5m，不是最简二次根式，故本选项错误；

C、中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；

D、是最简二次根式，故本选项正确；

故选：D．

根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．

本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5.【答案】C

【解析】解：原式=-=-．

故选：C．

原式分子分母分别立方，计算即可得到结果．

此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.【答案】B

【解析】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、-=-=，故本选项正确；

C、×=，故本选项错误；

D、==2，故本选项错误．

故选：B．

根据二次根式的加减法则进行计算即可．

本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．7.【答案】B

【解析】解：A、72+242=252，故正确；

B、（3）2+（4）2≠（5）2，故错误；

C、32+42=52，故正确；

D、42+（7）2=（8）2，故正确．

故选：B．

本题可根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．

解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．8.【答案】C

【解析】解：长方形的面积等于：2a（a+b），

也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，

即2a（a+b）=2a2+2ab．

故选：C．

由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．

本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．9.【答案】A

【解析】解：根据图形可得：

AB=AC==，

BC==，

∠BAC=90°，

设△ABC中BC的高是x，

则AC•AB=BC•x，

×=•x，

x=．

故选：A．

根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．

此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程．10.【答案】A

【解析】解：∵将x=a代入得：，将x=-代入得：==，

∴+=0，

当x=0时，=-1，

故当x取-2019，-2018，-2017，……，-2，-1，0，1，，……，，，时，得出分式的值，再将所得结果相加，其和等于：-1．

故选：A．

设a为负整数，将x=a代入得：，将x=-代入得：，故此可知当x互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得分式的值即可．

本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当x的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键．11.【答案】（a+2b）（a-2b）

【解析】解：a2-4b2=（a+2b）（a-2b）．

故答案为：（a+2b）（a-2b）．

直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．

本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．12.【答案】-1

【解析】解：原式=

=-1．

故答案为：-1．

根据同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减进行计算即可．

本题考查的是分式的加减法，在解答此类题目时要注意通分、约分的灵活应用．13.【答案】-2

【解析】解：原方程变形为：x2-2x+1+y2+6y+9=0，

即（x-1）2+（y+3）2=0，

∴（x-1）2=0，（y+3）2=0，

即x-1=0，y+3=0，

∴x=1，y=-3，

∴x+y=-2．

本题可将10拆成9+1，然后配出两个平方的式子，然后根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”解出x、y的值，然后代入x+y中即可解出本题．

本题考查了非负数的性质，两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．题中应先把方程变形为两个平方的和再作答．14.【答案】3

【解析】解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，BD是AC边上的中线，

∴∠ACB=60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=∠ABC=30°，

∴BD=BC•sin60°=2×=，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E．

∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，

∴∠CDE+∠E=60°，

∴∠CDE=∠E=30°，

∴∠DBE=∠DEB=30°，

∴BD=DE=．

故答案为：．

先根据等边三角形的性质和锐角三角函数（或勾股定理）求出BD的长，再判断出△BDE是等腰三角形即可．

考查的是等边三角形的性质，利用等边三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．15.【答案】25

【解析】解：如图：（1）AB===25；

（2）AB===5；

（3）AB===5．

所以需要爬行的最短距离是25．

要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

解答此题要注意以下几点：

（1）将立体图形展开的能力；

（2）分类讨论思想的应用；

（3）正确运用勾股定理．16.【答案】1

【解析】解：去分母得：x-1=m+2x-4，

把x=2代入得：2-1=m+4-4，

解得：m=1，

故答案为：1．

分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x-2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．

此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．17.【答案】32

(n−1)2+2

【解析】解：第五行的第二个数是，

第n行的第二个数的算术平方根是，

故答案为：3，．

根据观察，可得规律（n-1）最后一个数是（n-1），可得第n行的第二个数的算术平方根，可得答案．

本题考查了算术平方根，观察得出规律是解题关键．18.【答案】108

【解析】解：如图，连接OB、OC，

∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，

∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，

又∵AB=AC，

∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-54°）=63°，

∵DO是AB的垂直平分线，

∴OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=27°，

∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，

∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，

∴△AOB≌△AOC（SAS），

∴OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=36°，

∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，

∴OE=CE，

∴∠COE=∠OCB=36°，

在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°．

故答案为：108．

连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，根据全等三角形的性质可得OB=OC，根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．19.【答案】解：（1）去分母得：2（x+1）=3x，

去括号得：2x+2=3x，

解得：x=2，

经检验：x=2是原方程的解；

（2）去分母得：（x+1）2-4=x2-1，

去括号得：x2+2x+1-4=x2-1，

解得：x=1，

经检验：x=1

是原方程的增根，原方程无解．

【解析】

两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20.【答案】解：原式=3(x−1)(x+1)(x−1)•x+13x-1x−1=1x-1x−1=x−1−xx(x−1)=-1x2−x，

∵x2-x-2=0，∴x2-x=2，

则原式=-12．

【解析】

原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值．

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.【答案】解：（1）(2+3)2+3(2−3)

=2+26+3+6-3

=2+36；

（2）a−1a−2÷a2−2a+12a−4

=a−1a−2•2(a−2)(a−1)2

=2a−1．

【解析】

（1）根据完全平方公式、合并同类二次根式的运算法则计算；

（2）根据分式的乘除法法则计算．

本题考查的是二次根式的混合运算、分式的乘除法，掌握二次根式的混合运算法则、分式的乘除法法则是解题的关键．22.【答案】解：（1）如图，

（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（-1，-4），点C′的坐标为（-3，-1）．

【解析】

（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（-1，-4），点C′的坐标为（-3，-1），然后描点；

（2）由（1）可得到三个对应点的坐标．

本题考查了关坐标与图形-对称：关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．23.【答案】解：设小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是x千米、y千米，根据题意得

x−y=52(3−2.9)x=(4−3.6)y，解得x=10y=5．

答：小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是10千米、5千米．

【解析】

设小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是x千米、y千米，题中有两个等量关系：小明从家到学校乘地铁的里程-小伟从家到学校的里程=5，小明每千米享受的优惠金额=小伟每千米享受的优惠金额×2，依此列出方程组，解方程组即可．

本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．24.【答案】解：根据图中数据，由勾股定理可得：

AB=AC2−BC2=652−252=60（米）．

∴该河流的宽度为60米．

【解析】

从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．

此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．25.【答案】解：如图所示．

【解析】

作点P关于直线OA的对称点P′，作点Q关于直线OB的对称点B′，连接P′B′分别交OA，OB于点M、N，则点MN即为所求．

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．26.【答案】解：（1）原式=(x+2)−3x+2

=x+2x+2-3x+2

=1-3x+2；

（2）原式=2x2−2+1x−1

=2(x+1)(x−1)+1x−1

=2（x+1）+1x−1，

∵分式的值为整数，且x为整数，

∴x-1=±1，

∴x=2或0．

【解析】

（1）根据题意把分式化为整式与真分式的和的形式即可；

（2）根据题中所给出的例子把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．

本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．27.【答案】36

72

【解析】解：（1）∵BA=BC，

∴∠BCA=∠BAC，

∵DA=DB，

∴∠BAD=∠B，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，

∴∠DAC=∠B，

∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，

∴2∠B+2∠B+∠B=180°，

∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°，