高考数学解答题专项训练4

高考数学解答题专项训练4高考数学解答题专项训练4高考数学解答题专项训练4高考解答题专项训练(四)空间向量与立体几何1．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．解：(1)证明：在正方形AMDE中，由于B是AM的中点，所以AB∥DE.又由于AB?平面PDE，所以AB∥平面PDE.由于AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.(2)由于PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，→P(0,0,2)，F(0,1,1)，BC＝(1,1,0)．设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则→＝0，＝，·nABx0→即＝0，y＋z＝0.·nAF令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1,1)．设直线BC与平面ABF所成角为α，则→→n·BC1sinα＝|cos〈n，BC〉|＝→＝2.|n||BC|π所以直线BC与平面ABF所成角的大小为6.设点H的坐标为(u，v，w)．由于点H在棱PC上，→→所以可设PH＝λPC(0<λ<1)，即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)．所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.由于n是平面ABF的法向量，→所以n·AH＝0，即(0，－1,1)(2·λ，λ，2－2λ)＝0.2解得λ＝3，所以点H的坐标为4223，3，3.424所以PH＝32＋32＋－32＝2.2．如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．解：(1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD，又OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.由于BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)设AB＝2，则CF＝1.在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点，1由DF＝2AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形，所以DG∥FC.又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC.在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点，所以AB＝BC，GB⊥GC，所以GB，GC，GD两两垂直．以G为坐标原点，建立以以下列图的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)，D(0,0,1)．可得H2，2，0，F(0，2，1)．22→→故GH＝2，2，0，GF＝(0，2，1)．22设n＝(x，y，z)是平面FGH的法向量，→＝0，x＋y＝0，·nGH可得则由→2y＋z＝0.＝0，·nGF可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，2)．→→由于GB是平面ACFD的一个法向量，GB＝(2，0,0)，→→GB·n21所以cos〈GB，n〉＝→＝22＝2.|GB|·|n|所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.3．(2019湖·北要点中学协作体联考)等边△ABC的边长为3，点D，ADCE1分别是AB，AC上的点，且知足DB＝EA＝2(如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的地址，使二面角A1-DE-B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②)．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上可否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明原因．解：(1)证明：题图①中，由已知可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.进而DE＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3.故得AD2＋DE2＝AE2，AD⊥DE，BD⊥DE.∴题图②中，A1D⊥DE，BD⊥DE，∴∠A1DB为二面角A1-DE-B的平面角，又二面角A1-DE-B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.DE∩DB＝D且DE，DB?平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，过P作PH∥DE交BD于点H，设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝3a，DH＝2－a，易知A1(0,0,1)，P(2－a，3a,0)，E(0，3，0)，→所以PA1＝(a－2，－3a,1)．由于ED⊥平面A1BD，→所以平面A1BD的一个法向量为DE＝(0，3，0)．由于直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，→→|PA1·DE|3a35所以sin60°＝→→＝4a2－4a＋5×3＝2，解得a＝4.|PA1||DE|5∴PB＝2a＝2，知足0≤2a≤3，切合题意．所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为560°，此时PB＝2.4．(2019·河北衡水中学、河南顶级名校联考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AB＝AA1，过AA1的平面分别交BC，B1C1于点D，D1.(1)求证：四边形ADD1A1为平行四边形；(2)若AA1⊥平面ABC，D为BC的中点，E为DD1的中点，求二面角A-C1E-C的余弦值．解：(1)证明：由于AA1∥BB1，AA1?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1，所以AA1∥平面BCC1B1.又由于AA1?平面ADD1A1，平面ADD1A1∩平面BCC1B1＝DD1，所以AA1∥DD1.由于平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ADD1A1＝AD，平面A1B1C1∩平面ADD1A1＝A1D1，所以AD∥A1D1.所以四边形ADD1A1为平行四边形．(2)由于D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC.由于AA1∥DD1，AA1⊥平面ABC，所以DD1⊥平面ABC，进而DD1⊥AD.又DD1∩BC＝D，所以AD⊥平面BCC1B1.分别以DA，DB，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，以以下列图．设AC＝BC＝AB＝AA1＝2，→→则A(3，0,0)，E(0,0,1)，C1(0，－1,2)，AE＝(－3，0,1)，C1E＝(0,1，－1)．设平面AC1E的法向量为n＝(a，b，c)，→AE·n＝0，得－3a＋c＝0，由b－c＝0，→C1E·n＝0，取c＝3，得n＝(1，3，3)．→由AD⊥平面BCC1B1，得平面CC1E的一个法向量为DA＝(3，0,0)，→→DA·n37所以cos〈DA，n〉＝→＝7×3＝7，|DA|·|n|又易知二面角A-C1E-C为锐二面角，7故二面角A-C1E-C的余弦值为7.5．(2019·天津十二校联考)如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝26，DE＝36.(1)求证：面ACE⊥面BED；(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；(3)在线段AF上可否存在点M，使得二面角M-BE-D的大小为AM60°？若存在，求出AF的值；若不存在，说明原因．解：(1)证明：由于平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE?平面ADEF，DE⊥AD，所以DE⊥平面ABCD.又由于AC?平面ABCD，所以DE⊥AC.由于ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又由于DE∩BD＝D，DE?平面BED，BD?平面BED，所以AC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACE，所以平面ACE⊥平面BED.(2)由于DE⊥DC，DE⊥AD，AD⊥DC，所以建立空间直角坐标系D-xyz以以下列图．则A(3,0,0)，F(3,0,26)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，→→→所以CA＝(3，－3,0)，BE＝(－3，－3,36)，EF＝(3,0，－6)．设平面BEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)．→n·BE＝0，则→n·EF＝0，－3x1－3y1＋36z1＝0，即3x1－6z1＝0，令x1＝6，则y1＝26，z1＝3，则n＝(6，26，3)．→→－36CA·n13所以cos〈CA，n〉＝＝3→2×39＝－13.|CA|·|n|所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为1313.(3)存在．点M在线段AF上，设M(3,0，t)，0≤t≤26.→→则BM＝(0，－3，t)，BE＝(－3，－3,36)，设平面MBE的法向量为m＝(x2，y2，z2)，→m·BM＝－3y2＋tz2＝0，则→m·BE＝－3x2－3y2＋36z2＝0，令y2＝t，得m＝(36－t，t,3)，→→|96－6t|＝1，〈，·〉|＝|mCA|＝|cosmCA→×－22236t|m|·|CA|32整理得：2t2－66t＋15＝0，56解得t＝2或t＝2(舍)，故在线段AF上存在点M，使得二面角M-BE-D的大小为60°，此AM1时AF＝4.6．(2019·广州模拟)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD的中点，点R在线段BRBH上，且RH＝λ(λ>0)．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B(该点记为P)，如图2所示．(1)若λ＝2，求证：GR⊥平面PEF；(2)可否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值2为5？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明原因．解：(1)证明：由题意，可知PE，PF，PD三条直线两两垂直．PD⊥平面PEF.在图1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为BD的中点，则EF∥AC，GD＝GB＝2GH.PRBRDG在图2中，∵RH＝RH＝2，且GH＝2，∴在△PDH中，GR∥PD.GR⊥平面PEF.(2)存在．由题意，分别以PF，PE，PD所在直线为x轴，y轴，z轴建立以以下列图的空间直角坐标系P-xyz.设PD＝4，则P(0,0,0)，F(2,0,0)，E(0,2,0)，D(0,0,4)，∴H(1,1,0)．BRPR∴RH＝RH＝λ，→→λ，λ，0.∴PR＝λPH，∴R1＋λ1＋λ1＋λ→λ，－λ，0－1＋λ1＋λ＝2＋λλ，0.，－1＋λ1＋λ→→EF＝(2，－2,0)