第十二章第五节常系数线性方程

十第 十 常系数非齐次线性方程的通解求程 方-1 y(n)p1y(n1) pn1ypny(其中p1,p2, ,pn为常数 f(x) 十章 f(x) 章分 分程 ypyqy程ypyqyf(其中p,q-2 常系数齐次线性方程通解ypyqy (p,q为常数 第二因为r为常数时, 函数erx和它的导数只差常数因子,十所以令①的解为yerx(r为待定常数),代入①得 (r2prq)erx0第二r2r2prq②称②为微分方程①的特征方程,其根称为特征根p24q0时,r1r2,1 yer1x1r r

y2er2x yC1e C2e-3 当p24q0时特征方程有两个相等实根r1p则微分方程有一个特解yer1x 设另一特解y2y1ux)er1xu第

(u(x)待定二erx

(

2ru

2u

ru)qu 1 u(21分

p)u(12

q)u程 程urr取u=x,则得 xe ,因此原方程的通ry(C1C2x)e-4 当p24q0时,r1i r2i y1e(i)十 y2e(i)章

ex(cosxisinxex(cosxisinx微得原方程的线性无关特解 y1(yy

excos 程

e

sin 2i( y2yex(C1cosxC2sin-5 例 y3y2y

y4y13y 特征方程为r23r2第x二 特征根为r11,r2x二 微分方程通解为y

e

e2微 r24r13方 特征根为r12 r222

cos3xCe2

2-62 y6y9y例2求解微分方程初始值问题

yy

1,

x0第 特征方程为r26r9第 特征根为r1r2 3 3 1yx0分

yC1 C23 3 3 2

(3C C

)程 C1

3C1C2C25

ye3x5xe3-7 推广:yn)a1yn1) an1yanyak均为常数特征方程 rna1rn1 an1ran十二 若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应十二 (

x

xk1)er 若特征方程含k重复根ri分

方程

ex[(

x

xk1)cosx(D1D2x Dkxk1)sinx](以上Ci,Di均为任意常数-8 例 求方程y(4)2y5y0的通解解 特征方程r42r35r20,特征根r1r2 r3,412 yCCxex(Ccos2xCsin2x 章例 解方程y(5)y(4)0.微方 解:特征方程:r5r4 特征根方 r1r2r3r4 r5x yC1C2xC3x2x

Cx3C (不难看出1,x,x2,x3,ex-9 例 解方

d4dx4

4w0(0).解 r44(r22)222r2 (r222十22

r2)(r2

r2) (1i (1i22 1,22分 方程通解分

3, 22 we22

(C1 xC2 x

(CcosxCsinx

22-1022 例 求一个以y1ex,y22xex,y3cos2xy43sin2x4阶常系数线性齐次微分方程十 解:根据给定的特解知特征方程有根十章 r1r2 r3,42章微因此特征方程为r1)2r24)分 r42r35r28r4程 y(4)2y5y8y4y y(C1C2x)exC3cos2xC4sin2-11 二常ypyqyf( (p,q为常数 第 根据解的结构定理,其通解二 yYy分 分方 求特解的方法—待定系数f(x,y*的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.-12 fxexPmx为实数 Pm(x)为m次多项式设特解为y*exQx),其中Q(x y*ex[Q(x)Q(x)]十章 y*ex[2Q(x)2Q(x)Q(x)]十章分 Q(x)(2p)Q(x)(2程

pq)Q(x)Pm(ex[Q(x)(2 ex[Q(x)(2 p)Q(x)pq)Q(x)Q(xm

y*exQm(x) Pm(x

-13 Q(x)Q(x)(2p)Q((2pq)Q( Pm(2pq p0第则Qx)为m次多项式,故特解形式为y*x

(x)e 二 (3)若是特征方程的重根, 2pq p0分方则Qxm次多项式故特解形式为y*x2Qmx)e程小 对方程①,当是特征方程的k重根时,可特 y*xkQm(x)e (k0,1,-14 例 y4y13yx2e2解由于对应的齐次方程的特征方程r24r13十第的根r123i,r223i.所 2不是特征方十k0.

xx2,m2, 章微yx0(ax2bxc)e2x(ax2bxc)e2微方 y方

2

8y

2e2 解由于对应的齐次方程的特征方程r22r8的根r12,r24.所以 2是特征方程的单根因此k1.Pm(x)x2,m2,因此特解形式为yx1(ax2bxc)e2xx(ax2bxc)e2-15 y4y4yx2e2解由于对应的齐次方程的特征方程r24r4的根r12r2.所 2是特征方程的二重根此k2.Pmxx2m2,十

yx2(ax2bxc)e2y3y3yyxe方 解对应的特征方程r33r23r1 方程r1r2r3

1是特征方程的三重根此k Pm(x) m1,因此特解形式yx3(axb)e-16 求微分方程y2y3y3x1的通解。解特征方程r22r30.特征根r11,r23,对应的齐次方程通解为YC1exC2e3x f(x)3x 十二Pmx3x1,m1,章分分方

y(ax3ax2a3b3x 3a 2a3b因此a b1 y1 3

1

yYy -17 求微分方程y5y6yxex的通解。 特征方程r25r60.特征根r12,r23,对应的齐次方程通解为YC1e2xC2e3x f(x)xex 十Pmxx,m1, y(axb)ex ex

2ax3a

方yaex(axb)ex(axyaex(axb)ex(axay(ax2ab)ex因此a1 b3 4

y(1x3)ex yYy

Ce

Ce3x(1x

3)ex1-18

例10y3y2yxe2x 特征方程r23r20.特征根r11,r2YC1exC2e2x f(x)xe2x 十Pmxx,m1, yx(axb)e2x(ax2bx)e2 2代入原方程消去 2ax2a b a 2a 2aba

1,b

x ax y (x2)e2 b

方程通解为yYyCex

e2

(1x2

x)e2b

9- 例11求微分方程yy2ye2xx1的通解。 (1)特征方程r2r20.特征根r11,r22,对应的齐次方程通解为YC1exC2e2x十 求yy2ye2x的特解十二 f1(x)e2x 分Pmx1,m0,分方2

yaxe2111

得3a1,所以a3所以yy2ye2xy

xe2 -20 求yy2yx f2xx 0kPxx1,m1,设微分方程特解为yax 第

2axa2bx 章分微分

a,b yy2yx1

y1x

yY

Ce

Ce2

1xe2

1x -21 例 设f(x)二阶导数连续且f(0)1,f(0)曲线积分(5e2x3fxydx(fx2fx))dyL第 解由于曲线积分与路径无关所二 5e2

f(x)

[(5e2

3f(x))f(

[f(x)2f(x)]f(x)2f(f2f3f5e2因

f(0)1,f(0)特征方程r22r3 r11,r2-22 对应的齐次方程通解为FC1exC2e3x代入方程得a第

fae2x fe2x二 二

f(x)C1exC2e3xe2章微 1f(0)C1C2章微 0f(0)C13C2方程

C11,C21 1f(x)1e3x1exe2 -23 fxexPx)cosx~x)sinx ,(0)Px~x)分别为l，n 十 十

py

qy

exP(x)cosx

(x)sinx 章 章分 i为特征方程的k重根(k=0,1),则可设特解分 y*xkex程

cosx sinm其中mmaxnl-24 例 解

y2y3yxexcos3特征方程r22r30,特征根r13,r2第f(x)xexcos3 1,3,13i不是特征根 k P(x)x,

(x)

所以mmax{ln

yex[(axb)cos3x(cxd)sin3分 y2y10yxexcos3分程 解特征方程r22r100,特征根r1,21程fxxexcos3 1,3,13i 所以k P(x)x,

(x)

所以mmax{ln yxex[(axb)cos3x(cxd)sin3-25 解

y(4)8y16yxsin2特征方程r48r216

r1r2r3r4第

f(x)xsin2

0, i2i是二重特征根，所以k二n章~x)x,所以mmax{ln1,n

Pl(x)微 yx2[(axb)cos2x(cxd)sin2微-26例14求方程yyxcos2x 解:本 0,2,P(x)x,~(x) r21第i2i不是特征方程的根,第 y*(axb)cos2x(cxd)sin2二 微(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xcos2yy(2cx2da)cos2x( 2by 4(ax c)cos2 4(cxdn2

3a3b4c3c

a1,d 3d4a bc于是求得一个特解y*1xcos2x4sin2x -27 例解

求方程y2y2y4excosx特征方程为r22r20,r1,21所以对应的齐次方程的通解为Yex(c1cosxc2sin4, f(x)4excos 1, 14,十

k

~(x)

mmax{ln章微程程

yex(acosxbsin (4a4b)excosx(4b4a)exsinx4excosyex((ab)cosx yexyex((ab)cosx yex(2bcos 2asin 2y1ex(cosxsin22通解为yex(c1cosxc2sin 1ex(cosxsin2-28 例16求方程y9y18cos3x30sin3x的通解解:特征方程为r290,r1,23 YC1cos3xC2sin3第 3i为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解二 y*x(acos3xbsin3x

6bcos3x6asin3x18cos3x30sin3y(3bxa)cos3x(3y(3bxa)cos3x(3axb)siny(9ax6b)cos3 (9bx3

y*x(5cos3x3sin3xyC1cos3xC2sin3xx(5cos3x3sin3x-29 方n 方程的一般形式xny(n)p1xn1y(n1) pn1xypny(十 令xet,则tlnx,十 dy

dyd

1d xyd d dtd xd d d2 1d

1 1d 1d2y

) d x2d xdx d2

xdt21 ydy

x2

d2yd dt d