将军饮马和二次函数题型

./将军饮马与二次函数结合问题一．解答题〔共4小题1．〔2013•宝应县校级一模抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A〔1,0,B〔﹣3,0两点,〔1求该抛物线的解析式；〔2设〔1中的抛物线与y轴交于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在,求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由．2．〔2008•荔湾区一模如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A〔﹣1,0,B〔3,0两点．〔1求b、c的值；〔2P为抛物线上的点,且满足S△PAB=8,求P点的坐标；〔3设抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在,求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由．3．〔2012•昌平区模拟如图,已知抛物线经过点B〔﹣2,3,原点O和x轴上另一点A,它的对称轴与x轴交于点C〔2,0．〔1求此抛物线的函数关系式；〔2连接CB,在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE,求点E的坐标；〔3在〔2的条件下,连接BE,设BE的中点为G,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBG的周长最小？若存在,求出P点坐标；若不存在,请说明理由．4．〔2015秋•怀集县期末如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A〔1,0、B〔4,0、C〔0,3三点．〔1求抛物线的解析式；〔2如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在,求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在,请说明理由．2016年09月14日账号17的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题〔共4小题1．〔2013•宝应县校级一模抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A〔1,0,B〔﹣3,0两点,〔1求该抛物线的解析式；〔2设〔1中的抛物线与y轴交于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在,求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由．[分析]〔1将点A、点B的坐标代入可求出b、c的值,继而可得出该抛物线的解析式；〔2连接BC,则BC与对称轴的交点,即是点Q的位置,求出直线BC的解析式后,可得出点Q的坐标．[解答]解〔1把A〔1,0、B〔﹣3,0代入抛物线解析式可得：,解得：故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．〔2存在．由题意得,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,连接BC,则BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置,设直线BC解析式为y=kx+b,把B〔﹣3,0、C〔0,3代入得：,解得：,则直线BC的解析式为y=x+3,令QX=﹣1得Qy=2,故点Q的坐标为：〔﹣1,2．[点评]本题考查了二次函数的综合运用,涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识,解答本题的关键是熟练各个知识点,注意培养自己解综合题的能力．2．〔2008•荔湾区一模如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A〔﹣1,0,B〔3,0两点．〔1求b、c的值；〔2P为抛物线上的点,且满足S△PAB=8,求P点的坐标；〔3设抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在,求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由．[分析]〔1抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A〔﹣1,0,B〔3,0,求得b,c值；〔2设点P的坐标为〔x,y,求得y值,分别代入从而求得点P的坐标；〔3由AC长为定值,要使△QAC的周长最小,只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知,Q是直线BC与对称轴x=1的交点,再求得BC的直线,从而求得点Q的坐标．[解答]解：〔1∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A〔﹣1,0,B〔3,0,∴,解之,得,∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；〔2设点P的坐标为〔x,y,由题意,得S△ABC=×4×|y|=8,∴|y|=4,∴y=±4,当y=4时,x2﹣2x﹣3=4,∴x1=1+,x2=1﹣,当y=﹣4时,x2﹣2x﹣3=﹣4,∴x=1,∴当P点的坐标分别为、、〔1,﹣4时,S△PAB=8；〔3在抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴上存在点Q,使得△QAC的周长最小．∵AC长为定值,∴要使△QAC的周长最小,只需QA+QC最小．∵点A关于对称轴x=1的对称点是B〔3,0,∴由几何知识可知,Q是直线BC与对称轴x=1的交点,抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交点C的坐标为〔0,﹣3,设直线BC的解析式为y=kx﹣3．∵直线BC过点B〔3,0,∴3k﹣3=0,∴k=1．∴直线BC的解析式为y=x﹣3,∴当x=1时,y=﹣2．∴点Q的坐标为〔1,﹣2．[点评]本题考查了二次函数的综合运用,〔1抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A〔﹣1,0,B〔3,0,很容易得到b,c值；〔2设点P的坐标为〔x,y,求得y值,分别代入从而求得点P的坐标；〔3由AC长为定值,要使△QAC的周长最小,只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知,Q是直线BC与对称轴x=1的交点,再求得BC的直线,从而求得点Q的坐标．本题有一定难度,需要考虑仔细,否则漏解．3．〔2012•昌平区模拟如图,已知抛物线经过点B〔﹣2,3,原点O和x轴上另一点A,它的对称轴与x轴交于点C〔2,0．〔1求此抛物线的函数关系式；〔2连接CB,在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE,求点E的坐标；〔3在〔2的条件下,连接BE,设BE的中点为G,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBG的周长最小？若存在,求出P点坐标；若不存在,请说明理由．[分析]〔1根据抛物线的对称轴可得出A点坐标,然后根据O、A、B三点坐标,用待定系数法可求出抛物线的解析式．〔2可根据B、C的坐标,求出BC的长,然后根据CB=CE,将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标．〔3本题的关键是确定P点的位置,可取B关于抛物线对称轴的对称点D,连接DG,直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置．可先求出直线DG的解析式,然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标．[解答]解：〔1由题意知：A〔4,0；设抛物线的解析式为y=ax〔x﹣4,已知抛物线过B〔﹣2,3；则有：3=ax〔﹣2×〔﹣2﹣4,a=∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x；〔2过点B作BM⊥MC,∵B点坐标为：〔﹣2,3,C点坐标为：〔2,0,∴MC=4,BM=3,BC==5,∴|CE|=5,∴E1〔2,5,E2〔2,﹣5；〔3存在．①当E1〔2,5时,G1〔0,4,设点B关于直线x=2的对称点为D,其坐标为〔6,3直线DG1的解析式为：y=﹣x+4,∴P1〔2,②当E2〔2,﹣5时,G2〔0,﹣1,直线DG2的解析式为：y=x﹣1∴P2〔2,综合①、②存在这样的点P,使得△PBG的周长最小,且点P的坐标为〔2,或〔2,．[点评]本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识,〔3中能正确找出P点位置是解题的关键．4．〔2015秋•怀集县期末如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A〔1,0、B〔4,0、C〔0,3三点．〔1求抛物线的解析式；〔2如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在,求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在,请说明理由．[分析]〔1设交点式为y=a〔x﹣1〔x﹣4,然后把C点坐标代入求出a=,于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；〔2先确定抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,利用对称性得到PA=PB,所以PA+PC=PC+PB=BC,根据两点之间线段最短得到PC+PA最短,于是可判断此时四边形PAOC的周长最小,然后计算出BC=5,再计算OC+OA+BC即可．[解答]解：〔1设抛物线解析式为y=a〔x﹣1〔x﹣4,把C〔0,3代入得a•〔﹣1•〔﹣4=3,解得a=,所以抛物线解析式为y=〔x﹣1〔x﹣4,即y=x2﹣x+3；〔2存在．因为A〔1,0、B〔4,0,所以抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,则PA=PB,PA+PC=PC+PB=BC,此时PC+PA最短,所以此时四边形PAOC的周长最小,因为BC==5,所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．[点评]本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．将军饮马模型及其变形一．解答题〔共2小题1．〔2015•上城区一模设抛物线y=〔x+1〔x﹣2与x轴交于A、C两点〔点A在点C的左边,与y轴交于点B．〔1求A、B、C三点的坐标；〔2已知点D在坐标平面内,△ABD是顶角为120°的等腰三角形,求点D的坐标；〔3若点P、Q位于抛物线的对称轴上,且PQ=,求四边形ABQP周长的最小值．2．〔2015•XX如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,此时PD=3．〔1求MP的值；〔2在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合．当AF等于多少时,△MEF的周长最小？〔3若点G,Q是AB边上的两个动点,且不与点A,B重合,GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时,求最小周长值．〔计算结果保留根号2016年05月18日账号17的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题〔共2小题1．〔2015•上城区一模设抛物线y=〔x+1〔x﹣2与x轴交于A、C两点〔点A在点C的左边,与y轴交于点B．〔1求A、B、C三点的坐标；〔2已知点D在坐标平面内,△ABD是顶角为120°的等腰三角形,求点D的坐标；〔3若点P、Q位于抛物线的对称轴上,且PQ=,求四边形ABQP周长的最小值．[考点]二次函数综合题．[分析]〔1令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标；〔2分三种情况讨论：①当AB为底时,若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时,A为顶点时,③当AB为腰时,A为顶点时；仔细解答即可．〔3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,根据轴对称最短路径问题解答．[解答]解：〔1当x=0时,y=﹣；当y=0时,x=﹣1或x=2；则A〔﹣1,0,B〔0,﹣,C〔2,0；〔2如图,Rt△ABO中,OA=1,OB=,∴AB=2,∠ABO=30°,∠BAO=60°,∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．①当AB为底时,若点D在AB上方,由∠ABO=∠BAD=30°,AB=2,得D1〔0,﹣,若点D在AB下方,由∠BAD=∠DBA=30°,AB=2,得D2〔﹣1,﹣,②当AB为腰时,A为顶点时,∵∠DAB=120°,∠OAB=60°,AD=AB=2,∴点D在y轴或x轴上,若D在y轴上,得D3〔0,,若D在x轴上,得D4〔﹣3,0；③当AB为腰时,A为顶点时,若点D在第三象限,∵∠DBO=150°,BD=2,得D5〔﹣1,﹣2；若点D在第四象限时,∵DB∥x轴,BD=2,得D6〔2,﹣,∴符合要求的点D的坐标为〔0,﹣,〔﹣1,﹣,〔0,,〔﹣3,0,〔﹣1,﹣2,〔2,﹣；〔3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,把点B向上平移个单位后得到B1〔0,﹣,∵BB1∥PQ,且BB1=PQ,∴四边形BB1PQ是平行四边形,∴BQ=B1P,∴AP+BQ=AP+B1P,要在直线x=上找一点P,使得AP+B1P最小,作点B1关于直线x=的对称点,得B2〔1,﹣,则AB2就是AP+BQ的最小值,AB2==,AB=2,PQ=,∴四边形ABQP的周长最小值是+2．[点评]本题考查了二次函数综合题,涉及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容,存在性问题的出现使得难度增大．2．〔2015•XX如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,此时PD=3．〔1求MP的值；〔2在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合．当AF等于多少时,△MEF的周长最小？〔3若点G,Q是AB边上的两个动点,且不与点A,B重合,GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时,求最小周长值．〔计算结果保留根号[考点]几何变换综合题．[专题]综合题；压轴题．[分析]〔1根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3,CD=MH=4,∠H=∠D=90°,然后利用勾股定理可计算出MP=5；〔2如图1,作点M关于AB的对称点M′,连接M′E交AB于点F,利用两点之间线段最短可得点F即为所求,过点E作EN⊥AD,垂足为N,则AM=AD﹣MP﹣PD=4,所以AM=AM′=4,再证明ME=MP=5,接着利用勾股定理计算出MN=3,所以NM′=11,然后证明△AFM′∽△NEM′,则可利用相似比计算出AF；〔3如图2,由〔2知点M′是点M关于AB的对称点,在EN上截取ER=2,连接M′R交AB于点G,再过点E作EQ∥RG,交AB于点Q,易得QE=GR,而GM=GM′,于是MG+QE=M′R,利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小,于是四边形MEQG的周长最小,在Rt△M′RN中,利用勾股定理计算出M′R=5,易得四边形MEQG