函数增减性与奇偶性

第五讲函数增减性与奇偶性一、函数增减性考点一函数单调性的判定［必备知识］.定义法设函数fx)的定义域为I，区间D匚I，如果对于任意x1,x2eD,且x1<x2,则有：(1)fx)在区间D上是增函数经fx)</(x2)；(2)fx)在区间D上是减函数经fxJfx2)..导数法(选秀内容)在某个区间(a,6)内，如果f(x)>0,那么函数y=fx)在这个区间上单调递增；如果f(x)<0,那么函数y=fx)在这个区间上单调递减.［题组练透］.下列四个函数中，在(0，+8)上为增函数的是()A.fx)=3—x B.fx)=x2-3xC.fx)=—+ D.fx)=—|x|2.判断函数g(x)=—在(1,+8)上的单调性.［类题通法］对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解.(2)可导函数则可以利用导数判断.但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断.1考点二求函数的单调区间［必备知识］单调区间的定义若函数y=fx)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=fx)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=fx)的单调区间.［典题例析］求下列函数的单调区间:(1)y=-x2+2|x|+1；(2)y=|x2—3x+2|.［类题通法］求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果fx)是以图象形式给出的，或者fx)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.［提醒］单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结.考点三函数单调性的应用［必备知识］函数的最值(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y=fx)在区间［a,b］上单调递增，在区间［b，c］上单调递减，则函数y=fx),x£［a，c］在x=b处有最大值fb)；如果函数y=fx)在区间［a，b］上单调递减，在区间［b，c］上单调递增，则函数y=fx)，x£［a，c］在x=b处有最小值fb).［多角探明］高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有:(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值「1 、一 一，x三1，.函数fx)=jx 的最大值为、一x2+2，x<1角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小.已知函数fx尸，若xi£(1,2)，x£(2，+8)，则( )一x1 2A.fx］)<0，fx2)<0 B.fxI)<0，fx2)>0CfxJ〉。，fx2)<0 D.fxJ〉。，fx2)>0角度三：解函数不等式fx)是定义在(0，+8)上的单调增函数，满足fxy)=fx)+fy)，次3)=1，当fx)+fx-8)<2时，x的取值范围是()A.(8，+8)B.(8,9］C.［8,9］D.(0,8)角度四：利用单调性求参数的取值范围或值{({(a一2)%,%>24.已知函数fx)=一(%一2)2,%<2满足对任意的实数X廿x2,都有华尸＞0成立，则实数。的取值范围为()18 18A.(—8,2) B.(—8,__8] C.[2,+8)D.[2,-38]［类题通法］函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间［a,b］上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.(4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.二、函数奇偶性考点一函数奇偶性的判定［必备知识］函数的奇偶性的定义如果对于函数fX)的定义域内任意一个X，都有八—X)=fX)［或次—X)=—fX)］,那么函数fX)就叫做偶函数(奇函数).［提醒］定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.［［题组练透］判断下列函数的奇偶性.(1^^(1^^)=\,11~x2+\：X2—1；(2)/(x)=\!3—2x+2x—3；(3fx尸%：4—x2|x+3|-3；Ix2+x,x>0(3fx尸%：4—x2|x+3|-3；［类题通法］判定函数奇偶性的常用方法及思路1.定义法:2.图象法:1.定义法:2.图象法:祠乂关于原点对可(a幻为奇已的।迷卜^干尸轴对称:—0r寸为帙斯痰)3.性质法:“奇+奇”是奇，“奇一奇”是奇，“奇•奇”是偶，“奇・奇”是偶;“偶+偶”是偶，“偶一偶”是偶，“偶•偶”是偶，“偶・偶”是偶;“奇•偶”是奇，“奇・偶”是奇［提醒］(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明/—x)与/x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.巩固练习.判断正误(1)若fx)是定义在R上的奇函数，则f—x)+fx)=0( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)函数fx),g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)=fx)+g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件().已知函数fx)是定义在R上的奇函数，当x三0时，fx)=x(1+x)，则x<0时，fx)=..已知fx)=ax2+bx是定义在[a—1,2a]上的偶函数，那么a+b的值是.函数fx)=|x—2|x的单调减区间是()A.[1,2] B.[—1,0]C.[0,2]D.[2，+8).(2015•长春调研)已知定义在R上的函数fx)满足fx)+f—x)=0，且在(一8,0)上单调递增，如果x1+x2<0且x干2<0，则fx1)+fx2)的值( )A.可能为0B.恒大于0 C.恒小于0D.可正可负.已知fx)是定义在R上的奇函数，当x三0时，fx尸x2+2x，若f(2—a2)>fa)，则实数a的取值范围是()A.(一8，一1)U(2，+8) B.(—1,2)C.(—2,1) D.(—8，一2)U(1，+8)7.若函数fx)=x2—ax为偶函数，则实数a=.—x2+2x，x>0，8.已知函数fx)=10，x=0， 是奇函数.lx2+mx，x<0(1)求实数m的值；(2)若函数fx)在区间[—1，a—2]上单调递增，求实数a的取值范围.能力提升.已知函数fx)为R上的减函数，若［勺(1),则实数x的取值范围是.已知函数fx)=x2-2ax-3在区间［1,2］上具有单调性，则实数a的取值范围为.1,x>0,.设函数fx)=10，x=0, g(x)=xfx-1),则函数g(x)的递减区间是I—1,x<0,x.已知fx)= (x力a).x-a(1)