第二章 线性算子与线性泛函

第二章线性算子与线性泛函第一节有界线性算子一、线性算子本段中只需假设X,Y,Z等是K上的向量空间。定义：若一个映射T:XTY满足T(以x+Py)=^Tx+PTy (以，PeK,x,yeX)，则称T为从X到Y的线性算子。容易看出，上述等式可推广到更一般的情形:T(&x)疝Tx。ii iii i命题2.1.1设T:XTY是一线性算子，则以下结论成立：任给子空间AuX与子空间BuY，TA与T-1B分别为Y与X的子空间。特别，T(0)=0与R(T)=TX(值域)是Y的子空间；N(TT-1(0)是X的子空间(称为T的核或零空间)。若向量组"｝uX线性相关，则｛气｝亦线性相关；若A是X的子空间且dimA<3，则dimTA<dimA。T是单射oN(T)=｛0｝。说明：若Tx=0eY(xeX)，则称T为零算子，就记为0；若4三axxeX)，以eK为常数，则称T为纯量算子(或相似变换，若an0)，记作aI，当a=0与1时，aI分别是零算子和单位算子。对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。若T,S:XtY是线性算子，a,PeK，则以T+pS:XtY是一个线性算子，它定义为(aT+PS)x=aTx+PSx(xeX). (2.1.2)若R:YTZ是另一个算子，则由(RT)x=R(Tx) (xeX). (2.1.3)定义出一个线性算子RT:XTZ，称它为R与T的乘积。实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质:R(T+S)=RT+RS, 八尸〜,(分配律)(R+R)T=RT+RT;Q(RT)=(QR)T; (结合律)以(RT)=(以R)T=R(aT),(以eK)只要以上等式的一端有意义。若线性算子T:XTY为双射，则称它为线性同构，此时其逆映射T-1：YTX亦为线性算子。T是线性同构的充要条件是，存在线性算子S：YTX，使得ST=\,TS=\ (2.1.4)二、有界线性算子定义2.1.2设T:XTY是一个线性算子。令ITII=sup||润|/|M (2.1.5)x力0若||T||<3，则称T为从X到Y的有界线性算子，且称||T||为T的算子范数，简称为范数。若||T||=3，则称T为无界算子。约定以L(X,Y)记从X到Y的有界线性算子之全体，L(X,X)简写为L(X)。注1：T:XTY的有界的等价刻画：弘>0,VxeX，有11^||<k倒;或T映X中的有界集为Y中的有界集。注2：若TeL(X,Y)，则对任给的xeX有网|<||T||||x|| (2.1.6)注3：范数定义的几种等价形式||T||=sup||Tx|| (2.1.7)lxL1||T||=sup||Tx|| (2.1.8)IXL1||T||=inf{k>0:||Tx||<k||x||(VxeX). (2.1.9)例2・1・3设J=[a,b](a<b)，给定中eC(J)。定义Tu(x)=9(x)u(x) (xeJ,ueC(J)),T是从C(J)到自身的线性算子。求||T||。命题2.1.4设T:XTY是一个线性算子，则T有界oT连续。推论：(1)T是拓扑同构oT与T-1皆连续(即T为同胚)；(2)若TeL(X,Y),{xJuX，Zx〃收敛，则有T（乙）=T（lim»）=l】mT（乙）二l】m£tx=ZTx。n k k k nn I"k=1 I" k=1 I"k=1 n例2.1.5：设J=[0,兀]，在Ci(J)与C(J)中均采用sup范数。显然T=—:C1(J)—C(J),u—u' (2.1.10)dx是一线性算子。令un(x)=sinnx，则||"』0=1，而uj=n，可见T是无界算子。三、有界线性算子的运算与扩张命题2.1.6：L(X,Y)依算子范数是一个赋范空间；当空间Y完备时，L(X,Y)是Banach空间。定理2.1.7(扩张定理)：设D是X的稠密子空间，TeL(D,Y)，Y完备，则T可保持范数惟一地扩张到X上。若线性算子T:X—Y是单射(即N(T)={0})，则T-1：R(T)—X是一确定的线性算子，当它有界时称为T的有界逆，并说T有有界逆。命题2.1.8线性算子T:X—Y有有界逆的充要条件是存在k>0，使得||T^||>^|x| (xeX). (2.1.14)。第二节常用有界线性算子一、矩阵设X,Y是有限维赋范空间，dimX=n,dimY=m,TeL(X,Y)。分别取X的基{e}与Y的基任」。设Te=£as, (1<j<n),i则T完全由矩阵A=[aj]eKmxn所确定。若T,SeL(X,Y)分别对应矩阵A,BeKm、n,a,PeK，则算子以T+PS恰好对应矩阵以A+PB。这样，线性算子空间L(X,Y)线性同构于矩阵空间Kmxn，因而对L(X,Y)的研究可代之以对Kmxn的研究。任给A=[aij]eKmxn，依矩阵乘法自然地定义一个线性算子：Kn—Km,x—Ax, (2.2.1)其中x当作nx1阶矩阵。不妨用同一字母A表示算子(2.2.1)，它也可表成：

y=Ax,x=(x)gKn,y=(y)gKm,」1七=£aI jjiix,i=1,2,,m.(2.2.1)'若在Kn中使用范数x—•••『一、/一(£xP)』p,1<p<8,jj(2.2.2)pmaxx,p=8,〔jj则Kn可看作lp的子空间，只需将x=（x）GKn等同于lp中的元j通常称范数（2.2.2）为p范数，采用p.范数的Kn也记作lp。相应地，算子A:lpTlp（定义见（2.2.1））的范数记作||A||,即A|A|=sup||Ax||.(2.2.3)IIAII也称为A的p范数。命题2・2・1设A=[♦‘■.]GKm、n，则=max£1jA=max£1jA|=max£ij，｛七｝是ATA的特征值的全体。iaijaij1=1问1(2.2.4)。(2.2.5)(2.2.6)以A=[a^](i,j=1,2,)记一个无穷矩阵，其中a^gK。仿照(2.2.1)'，形式地定义一个算子xTAx: ...'y=Ax,x=(x),y=(y),"=£ax,/=1,2,: "iijjIj仍将式（2.2.7）所定义的算子记作A。命题2.2.2命题2.2.2设算子A定义如式（2.2.7），||A||依式（2.2.3）（但假定其中xgIp）。p则AGL(l1)且||A（1） 若。口sup£a，j（2） 若％sup£|a|<8，ij（3） 若。口（£|aj2）<<8，i,j=P。1则AGL(l8)且||A|| =po则AgL(l2)且||A||2<p。二、积分算子设J=[。,b](a<b)，函数K3,y)为定义在JxJ上的Lebesgue可测函数。定义积分算子Tu3)=fbK3,y)u(y)dy (xgJ). (2.2.8)a要求上述积分对几乎所有XgJ存在，函数K(x,y)称为积分算子T的核或核函数。命题2.2.3设K(x,y)是JxJ上的Lebesgue可测函数，算子T依式(2.2.8)定义，约定esssup|9(x)|=|网(W范数又称为本性上确界)。81、2、3、若『口esssupfb|K(x,y)0x<8,则TgL(L(J))且1、2、3、yGJ a若B esssupfb|K(x,y)^dy<8则TgL(L(J))且||T||=P。xgJ a若B口(fbfb|K(x,y)|2dxdy)"<8,则TgL(L2(J))且||T||<Paa例子考虑积分算子：(2.2.9)Tu(x)=fxu(y)dy. (xgJ)(2.2.9)a取y<x,y>x,可将(2.2.9)写成(2.2.8)的标准形式。由命题2.2.3得：T|=esssupfbdx=b-a;|T|=esssupfxdy=b一a;8 xgJ a||T||<(fbdxfxdy)12=竺。2aa V'2命题2.2.4设K(x,y)在JxJ上连续，积分算子T定义如式(2.2.8)，则TgL(C(J))，且|T||=supfb\K(x,y)dy. (2.2.10)xgJa下面考虑几个具有特殊形式核的积分算子。(一)给定函数甲，以K(x,y)=甲(x—y)为核。此时，积分算子为Tu(x)=f甲(x-y)u(y)dy (xgRn) (2.2.11)甲 Rn

通常将式(2.2.11)右端的积分记作中*u，并称它为函数中与u的卷积。算子七显然是在其有定义的集合上的线性算子，其定义域与性质则取决于中的选择。命题2.2.5设1<p=q/(q-1)<^。若睥L1(R〃)，则TeL(Lp(RQ)，且|时|』||。，此处p采用sup范数。若中eLp(Rn)，则TeL(L(Rn),q(Rn))，此处p采用sup范数。C(Rn)=C(Rn)nB(Rn)，且T<|p若cpeL2(Rn)，则TeL(L2(Rn),R(Rn))，且T<|p定理的证明需要如下引理：引理2・2・6设peLp(Rn)(1<p)，p(y)=p(x+y)，则当xeRn,x—0时有xlp—甲II—0。x p(二)以K(x,y)=e-心为核。此时Fu(x)=u(x)=je-i^yu(y)dy (xeRn,ueL1(R)) (2.2.12)RnFu(x)就是u(x)eLl(R)的Fourier变换。命题Fe顼y,£5，且||F||=L这里C0(Rn)={ueC(Rn):|巴u(x)=0}依sup范数为一Banach空间。三、微分算子定义1.3.7设A,BuX若BuA，则称A在B中稠密；若AuBuA，则称A为B的稠子集；X的稠子集就称为稠集。若B含可数的稠子集，就称B为可分集；若X本身可分，则称X为可分空间。若spanA=X，即spanA为稠集，则称A为X的基本集。若｛e｝uX是一序列，每个xeX可惟一地表为ix=Zae，则称｛e.｝为X的Schauder基。i注：(1)若A是X中的稠集，则每个xeX可表为A中某序列的极限；若A是X的基本集，则每个xeX可用A中元的线性组合逼近;稠集与Schauder基都是基本集；X可分。X有可数的基本集，因而有Schauder基的空间必定可分。例1・3・8(1)空间/，的基本集。令匕=(0,,0,1,0,)t，1在第i项，则｛匕:ieN｝是空间Ip(1<P<8)的Schauder基，因而是lp的基本集且•。是可分的。空间C(J)的基本集，J=[a,b](a<b)。由Weierstrass定理，每个ueC(J)可用J上的多项式一致逼近，故J上的多项式全体P是C(J)中的稠集。其次，以A记幂函数x〃(neZ)的全体，则显然P=spanA，故A是C(J)的基本集，因而C(J)是可分的。空间Lp(J)(1<p<8)的基本集。注意到(i)每个ueLp(J)可用连续函数Lp逼近；(ii)一致逼近强于Lp逼近。因此空间C(J)的基本集A=｛xn:neZ,｝也是Lp(J)的基本集，因而Lp(J)是可分的。此外，每个ueC(J)可用阶梯函数一致逼近，而阶梯函数为形如X(5是J的子区间)5的函数的线性组合，故｛X5:5是J的子区间｝亦为Lp(J)的基本集。进而｛X[ax]:xeJ｝是Lp(J)的基本集。空间Lp(R)(1<p<8)的基本集。对任何ueLp(R)，令u=ux[_]，贝|||u-u||p=j|u(x)|pdx—0(n—s)，即u逆>u。而对每个neN,u^视作Lp[-n,n]的元可用[-n,n]上的阶梯函数Lp逼近。结合(3)，LpR有基本集｛X:5uR是有限区间｝。5空间Lp(Q)(1<p<s,QuRn为任意开集)的基本集。任给实或复值函数u，约定suppu=｛x:u(x)丰0｝，称它为u的支集。令Cm(Q)=｛ueCm(Q):suppu是。的有界子集｝(0<m<s)，c可以证明：Cm(Q)在Lp(。)中稠密，因而是Lp(。)的基本集。c例1.3.9 (1)设ueL1(J),J=[a,b]，则有limjbu(x)sinnxdx=0。n>sa(2)设ueL1(r)，u(x)的Fourier变换定义为u(s)=j8u(x)e-i^xdx，-8则有u(±8)=limu(s)=0。a»±8第三节对偶空间和对偶算子一、 有界线性泛函定义给定K上的赋范空间X，约定X*=L(X,K)，称其为X的对偶空间(由前面的结果，X*为Banach空间)。称每个ueX*为X上的有界线性泛函。注：(1)因有界线性泛函是有界线性算子的特殊情况，故关于一般有界线性算子的概念与结论，均适应于有界线性泛函。对"eX*，有|U||=sup =sup|u(尤)|=supU(尤)|=min{k>0:\u(x)<^||x||(VxeX)} (2.3.1)。yx xLi xki|u(x)|<||u||||x|| (2.3.2)对X上的线性泛函u，u有界=u连续。定义对。。feX*与ceK，称f-1(c)={xeX:f(x)=c}为X中由f决定的超平面，也记为{f=c}。注：过原点的超平面f-1(0)=N(f)是X的闭子空间。命题2.3.1设AuX是一子空间。则以下两条件等价：有0。feX*，使得A=N(f)；除一个常数因子的差别外，f由A惟一决定。存在拓扑直和分解X=A㊉Kx0，此处x0。0,Kx0={人x0:人eK}是X中的由x0生成的1维子空间。推论若0。feX*,f(x0)。0，则X=N(f)㊉Kx0。二、 表示定理表示问题的一般思路是：对于给定的赋范空间X，确定一个Banach空间Y，它通常是已被充分研究因而相当熟悉的空间，使得存在等距同构T:Y—X*,yT中. (2.3.4)因而由式(2.3.4)得出结论：ueX*有通式u(x)=p(x) (xeX)，其中yeY由u惟一决定，且||y||=||u||。若将u=*与j视为等同，则不妨认定X*=Y。这样，通过同构对应式(2.3.4)，本来很抽象的空间X*就获得了一种具体的表示，Y就是X*的一个表示，或称为一个实现。定理2.3.2设1<p=q/(q-1)V8，则(lp)*兰lq；ue(Ip)*有通式u(x)=£xy (x=(x)elp), (2.3.6)其中y=(y.)elq由u惟一决定，且||y||=|^||。， q定理2.3.3设J=[a,b](aVb)，则C(J)*=BV°(J)，其中BVq(J)={v,v在[a,b]上有界变差、右连续且v(a)=0}；是Y中的紧集(即8保持D的紧性)，因而有界；F在D上一致连续，即Ve>0,35>0,当x,yeDj|x-y||V5时，有||Fx-Fy||Vs；f在D上取得最大值和最小值。注：若xeD使得f(x)=minf(x)，则称x是最小化问题xeDminf(x), xeD(1.4.1)的最优点或最优解。定理1.4.4之(2)表明：若D为紧集且feC(D,R)，则问题(1.4.1)的最优解存在。推论1.4.5(最佳逼近) 设A是X的有限维子空间，xeX。则存在aeA，使得||x-a||=d(x,A)。即a是A中离x最近的点，因而称为x在A中的最佳逼近。特别：取A为次数小于等于n的多项式全体，X=C(J)(或X=Lp(J),1<p<8)，即得对任给的ueX，存在次数小于等于n的多项式v，它是对u的最佳一致(或Lp)逼近。三、紧集的判定定理1.4.6(Arzela-Ascoli定理) AuC(J)相对紧的充要条件是：A一致有界，即A依sup范数有界；A等度连续，即Vs>035>0,Vx,yeJ,VueA，当|x-y|<5时恒有|u(x)-u(y<s。若将J换为任何有界闭区域OuRn，(1)、(2)仍成立。

例若AuC1(J)依范数IWI1(定义见式(1.2.6))有界，则A作为C(J)的子集是相对紧的。定理1.4.7设1<p<3,AuIp，则A相对紧的充要条件是:（1） （1） A有界，即sup||M<3；心p（2） 关于X=3）eA一致地有iBN>0,Vn>N,VxeA，有Z|x|p<s。Z|x|p—0（nT8），艮口Vs>0，ii>n例A={x=(%):|xj<1/i(VieN)}是空间12中的集(称为Hilbert方体)。定理1.4.8若dimX=3,则X中的闭单位球不是紧集。本定理的证明需用到著名的Riesz引理。引理1・4・9(Riesz引理)设A是X的闭子空间，A丰X,0<r<1。则存在xeX，使得d(x,A)>r且||x||=1。推论：(1)无限维赋范空间中的单位球面S^{x:||x||=1}不是紧集。平移与相似变换不改变集合的紧性。无限维赋范空间中的闭球是非紧的。进而有无限维赋范空间中任何含内点的集是非紧的，因而紧集必无内点。例设X=C[0,1]，f(u)=J1u(x)*x (ueX)。0显然feC(X,R)，且在S]{ueX:||u||0=1}上f(u)>0，但f在S上取不到最小值。四、纲定理定义1.4.10设AuX。若(A)o=0，则称A为疏集。可数个疏集之并称为第一纲集；非第一纲集称为第二纲集；第一纲集的补集称为剩余集。例(1)无内点的闭集是疏集；单点集是疏集；可数集是第一纲集。定理1.4.11(Baire纲定理)设X完备，AuX是第一纲集，则Ac是第二纲集且为稠集。

推论（1）设X推论（1）设X为线性赋范空间，AuX为疏集当且仅当VB(x,r),BB(x,r)uB(x,r)，使得Ap|B(x,r)=0。00 ii 00 ii(2)Banach空间X是第二纲集。例1.4.12J=[a,b]上几乎所有连续函数处处不可微。第五节Hilbert空间一、内积空间定义1.5.1设H是K上的向量空间。若对任一对元x,yeH，指定了一个数<x,y>eK，称为x与y的内积，它满足以下内积公理：（1） 〈口y>的线性性：<ax+Pz,y>=a<x,y>+P<z,y>；（2） 共轭对称性：<x,y>=<y,x>；（3） 正定性：<x,x>—0；<x,x>=0^^x=0，（这里x,y,zeH,aReK），则称H为K上的内积空间。当K=R（或C）时，K上的内积空间又称为实（或复）内积空间。例K〃依下式<x,y>=Zxy, （x=（x）,y=（y）eKn）ii i ii所定义的内积构成一内积空间。推论（1）<x,ay+Pz>=a<x,y>+p<x,z> （x,y,zeH,a,peK）；更一般地，有j<xi,y_>；(2)<&j<xi,y_>；iijj ii j i,j引理1.5.2（Schwarz引理1.5.2（Schwarz不等式）对任给的x,yeH，成立|<x,y>|v||x||||y|。推论对任给的x,yeH，有||x+y怡彳+』|||。故||x||=«xx>为H上的范数（称其为由内积定义的范数）。定义完备的内积空间称为Hilbert空间。推论内积依范数收敛是连续的，即若在H中xn-x,yn-y，贝|<x,y>r<x,y>（m,nr3）。

例£2（。）是Hilbert空间。这里（。,R）是任一测度空间，丑（。）中的内积定义为<u,v>=ju（x）v（x）dp （u,ve£2（。））。。例12是Hilbert空间。12中的内积定义为<x,j>=£xy, （x=（x）,y=（y）el2）。ii i ii定理1.5.3K上的赋范空间X是内积空间的充要条件是，其中的范数满足如下的中线公式（又称为极化恒等式）：llx+y|F+||x—y|F=2（||x|F+||y|II2）。二、正交系定义1.5.4 （1）设x,yeH。若vx,y>=0，则说x与y正交或直交，记为x1y。（2） 设｛x:ieI｝uH。若当i丰j时x1x，则称｛x｝为正交系。若｛x｝是正交系且i ij i illxII=1（这等价于vx,x>=5，8..是Konecker记号），则称｛x｝为标准正交系。l ijijj i（3）设ABH。约定A1BoVaeA,VbeB，有a1b；x1AoPaeA，有x1a；A1=｛xeH:x1A｝，称A1为A的正交补。当A1B时，称A与B相互正交。性质：若｛气：1<性质：若｛气：1<i<n｝是一有限正交系，则有=£1x.lF。一般地，a°eK(1<i<n)，类似地有，斗FlIx.I「。i性质：不含零元的正交系必线性无关。则有性质：设｛匕:ieN｝是H中的标准正交系。若xeH可表为x=£a£则有ia=vx,e定义:>，即表达式x=£a=vx,e定义:i若每个xeH均可表为x=£ae，则称｛e｝为H的标准正交基。ii i定理1.5.5设｛ei:ieN｝是Hilbert空间H中的标准正交系，则以下条件相互等价:（1） ｛e｝是H的标准正交基；i（2） ｛e｝是H的基本集；i（3） ｛ei｝是极大正交系，即若x1tj（VieN），则x=0；（4） 对任给的xeH，成立如下的Parseval等式：||M|2=Z|<x，e>F；

i对任给的x,ygH，成立如下内积公式：<x,y>=Z<x,e><y,e>。i推论：任何Hilbert空间H均与l2等距同构。推论(标准正交基的存在问题)：设H是一个可分的无限维Hilbert空间，则其一定存在标准正交基。三、标准正交基的例子1、三角函数系定义：形如C+X(acoskx+bsinkx)k=1的函数称为三角多项式。定理：令J=[a,b]，则三角多项式全体在L2(J)中稠密。定理：设T=a+X(acoskx+bsinkx)k=1则T的Foueier系数是a0,a,b(n=1,2,,N)，而其余的Foueier系数为零。并且对T成立Parseval等式。推论：函数系1cosnxsinnx.—,—,—,n=1,2,侦2兀 瞬<K是L2(J)的基本集，并且也是标准正交基，因而每个uGL2(J).可展开为均方收敛的Fourier级数:u(x)=&+X(acoskx+bsinkx)k=1其中a’,气是通常的Foueier系数。问题：u(x)的Fourier级数的部分和均方收敛于u(x)是否意味着级数几乎处处收敛，

即：lim[^0+才(acoskx+bsinkx)]是否几乎处处等于u(x)?k=1、课题。、早在、课题。、1923年柯尔莫哥洛夫(Ko口MoropoB)给出了一个f£〃[0,2兀]，它的Fourier级数是处处发散的。、1966年，L.Carleson证明鲁津的猜测是正确的。、1967年，R.A.Hunt证明；对于Lp[0,2兀](p>1)中的函数，其Fourier级数是几乎处处收敛的。2、 Legendre多项式系取J=[—1,1]，我们已经得到：(1,x,X2,｝是L2(J)中的基本集，将其标准正交化，得到一个多项式系｛L:n>0｝，称为Legendre多项式系。n定理：(1)Legendre多项式的一般表达式为1 12n+1dnL(x)=*丁态(x2—1)n (n>0)(2)