2014年重庆文科高考数学试题详解(精编版)

;.;.绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.TOC\o"1-5"\h\z.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）A第一象限 A第二象限C.第三象限 D.第四象限.在等差数列｛0｝中,a=2,a+a=10，则a=（ ）n 1 35 7A.5 B.8 C.10 D.14.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A.100 B.150 C.200 C.250.下列函数为偶函数的是（）A.f(x)=x—1 B.f(x)=x3+x C.f(x)=2x—2T.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出的S值为（A.10 B.17 C.19 C.36.已知命题p:对任意x£R，总有Ix1>0；q:"x=1"是方程"x+2=0"的根则下列命题为真命题的是（ ）A.p△「q B.「paq C.—ip△—iq D.p△q7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）正视用 左视图 偏视圈7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）正视用 左视图 偏视圈不（口裁A.12B.18C.24D.30A.12B.18C.24D.30.设F，F分别为双曲线———=1(〃>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点月使2 a2b2得(IPFI-1PFl)2=b2—3ab,则该双曲线的离心率为()12A.<2B.<15 C.4D.%17TOC\o"1-5"\h\z.若log(3a+4b)=logabb,则a+b的最小值是( )4 2A.6+2、；3 b,7+2V3 C.6+4V3 d.7+4V；3(1——-3,xe(-1,0]口 +,10已知函数f(x)=<x+1 ,且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两x,xe(0,1]个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A.(-9,-2]U(0,1] B.(-11,-2]u(0,34 2 4 29 2 11 2C.(--,-2]u(0,-] D,(-二,-2]50,-]43 43二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上..已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则UAcB=..已知向量b与b的夹角为60。，且bi=(-2,-6),IbI=J10,则b.b=..将函数f(x)=sinGdx十①丫3>0,-1<^<1]图像上每一点的横坐标缩短为原来的I2 2),，一一、一，一，兀 . ，,一，」 ,,「兀、一半，纵坐标不变，再向右平移7的单位长度得到y=sinx的图像，则f-= .6 16).已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A，B两点，且AC1BC，则实数a的值为..某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 (用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..（本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）已知｝是首相为1,公差为2的等差数列，S表示（z｝的前n项和.n nn（I）求a及S；nn（II）设%｝是首相为2的等比数列，公比q满足q2-（a+1）q+S=0，求%｝的通n 44 n项公式及其前n项和T.n.（本小题满分13分.（I）小问4分，（II）小问4分，（III）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（I）求频率直方图中a的值；（II）分别球出成绩落在卜0，60）与160，70）中的学生人数；（III）从成绩在150，70）的学生中人选2人，求此2人的成绩都在160，70）中的概率..（本小题满分12分）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a+b+c=8（1）若a=2,b=5，求cosC的值；BA 9（2）若sinAcos2 +sinBcos2一=2sinC，且AABC的面积S=—sinC，求a22 2和b的值.

19.(本小题满分12分)xa 3已知函数f(X)=+--lnX--，其中aeR，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切4x 2线垂直于y=1x(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值。20.(本小题满分12分，(1)问4分，(2)问8分)如题(20)图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO,底面ABCD，,c,,兀 1AB=2,ZBAD=-，M为BC上一点，且BM=_.32(1)证明：BC1平面POM；⑵若MP(1)证明：BC1平面POM；⑵若MP1AP，求四棱锥P-ABMO的体积.21.如题(21)图设椭圆三+22=1(a>b>0)的左右焦a2 b2点D在椭圆上IFFI—12IDFI1=2退，"DF1F2的面积为?，(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.试卷分析与答案解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.TOC\o"1-5"\h\z1、实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）A第一象限 A第二象限 C.第三象限 D第四象限解：由已知复数对应的坐标为（-2,1），位于第二象限，选择B解：由已知2、在等差数列｛a｝中,a=2,a+a=10，则a=（ ）解：由已知n 1 35 7A.5 B.8 C.10 D.14a=2n2a+6d=101a=21na=a+6d=2+6x1=8，选择Bd=a=21na=a+6d=2+6x1=8，选择Bd=1 7 170n解：分层抽样保持比例不变，故 = nn=100，选择A3500 3500+15004、下列函数为偶函数的是（ ）A.f（x）=x-1 B.f（x）=x3+x C.f（x）=2x-2-x D.f（x）=2x+2-x解：逐一验证知：A为非奇非偶函数；B,C为奇函数；D为偶函数，选择D5、执行右图所示的程序框图，则输出的s为（ ）A.10 B.17 C.19 C.36解：由已知：s=0+2+3+5+9=19，选择C6、已知命题p:对任意xeR，总有Ixl>0；命题q:"x=1"是方程"x+2=0"的根则下列命题为真命题的是（）A.p△「q B.―।p△q C.—।p△q D.p△q解：因为P真，q假，「q为真，故P△「q为真，选择A某几何体的三视图如下图，则几何体的体积为（ ）4正视图3左视图俯视图

4正视图3左视图A.12 B.18 C.24 D.30C'A'B解：在长方体中构造几何体ABC-A'BC',如右图所示，C'A'BAB=4,A′A=5,B'B=2,AC=3,经检验该几何体的三视图满足题设条件。其体积V=6x5—3x6x3=24，选择Cx2y28、设FF2分别为双曲线a一5二20,b>0）的左、右焦点，双曲线上存在点P使得(IPF11TPF2I)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( )<2 B,<15 C,4D.*17解：由于||PFJ-pFJ=2a，故4a2=b2-3ab，即4a2+3ab-b2=0，分解因式得：(4a-b)(a+b)=0，故b=4a，从而c=\''a2+b2=弋a2+16a2=v17a，故e=—=",'17，选择DTOC\o"1-5"\h\z9、若log(3a+4b)=log、a,则a+b的最小值为( )4 2B.6+2V3 b,7+2<3 C,6+43 d,7+4v33a解：由于log7ab=logab，故log(3a+4b)=logabn3a+4b=abnb=一2 4 4 4 a-43a由a>0,b>0可知a>0, >0na>4，设t=a-4>0，则：a-4, 3a A3(t+4) 12.''^2「一彳一a+b=a+ =t+4+ =t+—+722、t,—+7=4q3+7，当t=2、：3时取a-4 t t\t等号，选择D(1TOC\o"1-5"\h\z——-3,xe(-1,0]口 +,10、已知函数f(X)={x+1 ,且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有x,xe(0,1]两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )B.(-9,-2]u(0,1] B.(-11,-2]50,32 4 22 11 2C.(--,-2]u(0,-] D,(-二,-2]u(0,-]43 43解：等价于方程f(x)=mx+m有两个根，即y=f(x)和j=mx+m的图像有两个交点，分别画出函数y=f(x)和y=mx+m的图像分析可知选择A11画图时必须注意到：y= -3的图像由y=—左移一个单位，再下移三个单位得到。而x+1 xy=mx+m过定点(-1,0)。交点有两种情况：f(x)的每个分段上各有一个交点；两个交11点都在y= -3的图像上，后者以直线y=mx+m和y= -3相切为临界状况。x+1 x+1二、填空题11、已知集合a={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则AcB=.解：易知AcB={3,5,13}12、已知向量,与b的夹角为60。，且£=(-2,-6),Ib1=v110,则凡b=.解：a•b=axbxcos60=^40x^10x—=102TOC\o"1-5"\h\z13、将函数fQ)=sin怎x十①丫①>0，-^<^<^］图像上每一点的横坐标缩短为原来的I2 2),，一一、一，一，兀，.. . ，,一，」 ,,「兀、一半，纵坐标不变，再向右平移7的个单位得到y=sinx的图像，则f-= .6 16). 兀 〃解：作逆变换：将y=sinx左移下，再将横坐标伸长两倍可得f(x)的图像，故：6f(x)=sin(1x+g)，从而f(3)=sin(1+g)=sin?=彳2 6 6 126 4 214、已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A，B两点，且AC1BC，则实数a的值为解：将圆配方得(x+1)2+(y-2)2=9，故圆心。(-1,2)，半径丫=3，由已知AABC为等11 1 3腰直角三角形，故|AB|=J32+32=3媳,圆心到直线的距离h=-|AB|=-霹，所以：-1-2+a3l = =-V2na=0或672 215、某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为(用数字作答)解：记7:30为0时刻，小张，小王到校的时刻分别为x,y，则0<x<20,0<y<20这样的二维变量可与点(x,y)建立对应，满足条件的(x,y)形成一个边长为20的正方形区

域。由已知小张比小王至少早5分钟满足关系：0<x<20,0<y<20,y-x>5，由线性1 225规划知此时（x,y）形成一个三角形区域，其面积为-x15x15=-—，故所求概率为:225P—~2-940032三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，学科网证明过程或演算步骤.16、已知｝是首相为1,公差为2的等差数列，S表示（z｝的前n项和.n nn（1）求a及S；nn（2）设b｝是首相为2的等比数列，公比q满足q2~（a+1）q+S-0，求%｝的通n 44 n项公式及其前n项和T.n解：(1)由已知a-a+(n-1)d-1+2(n-1)-2n-1n1n(n-1) n(n-1)S-na+ d-n+ x2-n2n1 2 2(2)由于a-7,S-16，故公比q满足q2一8q+16-0nq-444故b故b—bqn-1—2x4n-1-22n-1，n1b(1-qn)2(1-4n) 2(4n-1)/ —1——n1-q1-4 317、2017、20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（1）求频数直方图中a的值；（2）分别球出成绩落在卜0，60）与S60，70）中的学生人数;（3）从成绩在卜0，70）的学生中人选2人，求这2人的成绩都在160，70）中的概率.解：（1）因为所有频率之和等于1,故（2a+3a+7a+6a+2a）x10=1,解出a=0.005（2）150，60）的学生人数为20x（0.005x2x10）=2人；[60，70)的学生人数为20x(0.005x3x10)=3人；（3）记［50，60）的学生为a,b160，70）的学生为c,d,e，则从成绩在k。，70）的学生中人选2人的选法共有10中，列举如下：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de其中2人的成绩都在160，70）中有三种：cd,ce,de3故所求概率为1018、在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a+b+c=8(1)若a=2,b=5，求cosC的值；BA 9(2)若sinAcos2+sinBcos2—=2sinC，且AABC面积S=—sinC，求a和b的值.22 257解：(1)由已知a=2,b=-,c=-，由余弦定理：a2*b2-c2cosC= 2ab25494+————4 4cc52x2x—2（2）由已知sinA1+cosB 1+cosA--一 +sinB =2sinC整理得.sinA+sinB+cosBsinA+cosAsinB=4sinC即sinA+sinB+sin(A+B)=4sinCnsinA+sinB=3sinCna+b=3c91AABC面积S=—sinC=_absinCnab=922由已知a+b+c=8联立上面的三个式子解出a=3,b=3xa319、已知函数f(X)=4*X—1n"-2,其中a'R,且曲线尸f(")在点(1,f(1))处的切1线垂直于y=-x（1）求a的值;（2）求函数f（x）的单调区间和极值。解：(1)由已知切线斜率k=-2，故/⑴=一2，而fx)=4一2一X故f(1)=4-a-1=_2=a=4小/、1 5 1x2-4x-5(x-5)(x+1)其中x>0⑵此时小)二4一京一x二一^二TH令f'(x)>0得增区间xe(5,+8)；令f'(x)<0得减区间xe(0,5)；故当x=5时f(x)具有极小值f(5)=-ln5,f其中x>020、如下图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO,底面ABCD，,c,,兀 1AB=2,ZBAD=—,M为BC上一点，且BM=—32(2)证明：BC1平面POM；(3)若MP1AP，求四棱锥P-ABMO的体积.兀(1)证明：由CB=CD=2,ZBCD=—知ABCD为等边三角形，故BD=2,在ABOM中，BO=1BD=1,BM=1,ZOBM=60,由余弦定理可求出OM二在，22 2因为OM2+BM2=(暂)2+(2)2=1=OB2nBC1OM,因为PO1底面ABCDnPO1BCnBC1PO因为BC1OM,BC1PO，所以BC1平面POM(2)设PO=x，则PA=\PO2+OA2=、x2+3，PM=J；PO2+OM2=、:x2+4在AABM中由余弦定理AM=A:AB2+BM2-2AB•BMcos120=三1

因为MP1AP，所以NAPM为直角三角形，由勾股定理:〜…一… .——T2 : 32八：’21、 33PA2+PM2=AM2nxx2+32+:x2+4=(——)2，解出x=—四棱锥P-ABMO的体积V=1S •PO=1(S +S )•PO3ABMO 3AABOABMO1