小学数学竞赛数论试题

小学数学竞赛（数论）试题1、数的整除：a是一个三位数。它的百位数字是4,a+9能被7整除，a-7能被9整除，那么a是多少？2、约数倍数：在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？3、余数问题有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少？4、质数合数分解质因数已知3^7X2D44是891的倍数，其中☆、口、△各代表一个不同的数字，那么三位数☆口△代表的是多少？5、奇偶分析在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8.问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多？6、中国剩余定理一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数7、位值原理把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？招数字4,5,6,工8.9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，I号同学写了一个白然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：m说的不对的两位同学।他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数.数论专题则读题L（第十三届维罗奥金杯，少年组数学遨请褰决褰道卷工小学组厅将六个自麒14,■徐瞄117,14*1跖口广如果要求每组中的任意两个数都互虑则至少需要将这些巍分成缸A（人大附中若题）甲、乙*丙代表互不相同的3个正嬲，并且满足；甲乂申二乙十乙=丙幺1%.那3母最小是 0X（清华附中考题】有y个吉利数88国5%S66,用它们分别除以司一个自然数，所得的余数依次为明妙ha十电则这个自然数是 .相（101中学考题）如果在一个两位数的两个敷字之间添马一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是—05、（重点中学3月9日下午测试卷）五位数题是某个自她数的平方，则4x+7y=6.（重点中学3月g日下午测试卷1fq为质数，如n为正髅，口54g2m,pr+qT_则"十口皿h㈠凉市学校五年级式的学年度超常JLS素质调查思维素质调查初试《第.1卷）调娶型：E）：□□+口=/）；二［乂二=（□+□□+口=/）；二［乂二=（□+□:0); □—口=[.)符1符1七。埴人^上面的。中方框中，每个数字用11焦那由4、个算式的计算结果之和最大是多少？S.（，第十三届”•华罗庚金杯丫少年组数学邀请察决褰试卷S浮组）》黑轨上写

着1至苹况共纵也个自然数，”为每根爆去两个奇偶的目同的敬，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自趣,.这个数可能的最大值和最小值的差是gr（oe实哈中学）在黑板上写下数1、入型……揶・,9004、200B,每次擦去最涉的4个数，再写上这4个数的和被7除的余数，直到不足4个放为止，那么晨后刹下的数是 10.（重点中学测试卷）有依i次排列的三个数:3,9,So对任相邻的两个数，胡用右边的数减去左边的数，所得的差写在这两个数之间，可产生一个新的数串：3,凡g,-1,8,这称为第TA操作.做第二次操作后也可以产生一个新的薮串:314：6,3%-1必-1,9,8h继续依依操作下去，问从数串3,9mB开始操作第一百零T欠之后所产生的那个薮串的所有数之和是经应：1、六年级数的整除习题答案：解答：〃+9能被7整除，说明a+9-7=a+2能被7整除；a-7能被9整除，说明a-7+9=a+2能被9整除；7x9=63,则63-2=61符合上述两个条件。(因63-2=61,则a可以写成这样的形式：a=63x?+61)。又a是一个百位数字是4的三位数，估算知，a=63x6+61=439。2、五年级约数倍数习题答案：解答：1)木棍锯成的段数，比锯的次数大1。2)锯的次数并不一定是三种刻线的总和。两种刻度线重合在一起的时候，就少锯了一次。着眼点：计算出有多少两种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置。把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的最小公倍数，利用求最小公倍数的方法计算出重合部分的个数。[10,12,15]=60,先把木棍60等分，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占6个单位，第二种刻度线占5个单位，第三种占4个单位，分点共有9+11+14=34(个)。[5,6]=30,故在30单位处二种刻度重合1次。[4,5]=20,故在20、40单位处二种刻度重合2次。[4,6]=12,故在12、24、36、48单位处二种刻度重合4次。共有不重合刻度34-1-2-4=27个。从而分成28段。3、五年级余数问题答案：解答：由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25,所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25,所以63+90+130-25=258能被这个自然数整除.258=2X3X43，显然当除数M为2、3、6时，3个余数的和最大为3X(2-1)=3,3X(3-1)=6,3X(6-1)=15,所以均不能满足条件.当除数为43X2、43X3、43X6时，它除63的余数均是63,所以也不满足.那么除数只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足.显然这3个余数中最大的为204、五年级质数合数分解质因数问题答案：解答：891=11x81,所以3+7和2口44中至少有一个是11的倍数。3+7肯定不是11的倍数，所以2口44是11的倍数。又显然2口44不是297的倍数，所以9整除3+7,也就是说9整除3+++7,那么☆'g。因为387=9x43，所以9还要整除2口44,说明2+口+4+4是9的倍数，所以□+△是3或12。又因为11整除2口44,所以(口+4)-(2+4)是11的倍数，那么口—△是9或者△-□是2,解得△=7,口=5。所以所求三位数是857。5、四年级奇偶分析问题答案： JlTlT尸芹1解答:如图，此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少.然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论.显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜.我们应该从整体上去比较奇偶数的多少.易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多1个.所以前8行中奇偶数一样，余下第9行奇数行，答案可脱口而出.偶数多.［拓展］如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：a=5X3=15.问填入的81个数中是奇数多还是偶数多？6、五年级中国剩余定理问题答案:解答：中国剩余定理得1102。7、六年级位值原理问题答案:解答：设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，ab-ba=(10a+b)-(10b-a):9(a-b):45,a-b=5,原两位数最大时，十位数字至多为9,即a=9,办，原来的两位数中最大的是94【辐析】4-5、6.r，s.Q各用一次后，寻位数字三和为即这个大位教向域为3幽偌费.所以这4数应诫是的=加0】的倍数一一小首位教字用过3的大位数除以2弧1御到的商应谈是三位献.而陵二住秋的商罪以加小后所得六位教〔即屈六住被｝的家二但砰为或有-而前二住是诲商的两信.所94.5,6-7.#•9这6个数字应该组放两个二位就，K中.一户一悦盘是另一一个的工信，研以两个三谆数的宇性钛字，大唐应至少是小者的两倍，觅熊的收小的那个三世铁的首住只能走4,校大的那个三位数的首位耳能是M也可能是9,而校」的印露一位数的小住K能是「干能便掖大的那人一位敦的个位数字的嫉聃到、道一步武应可殍利这人卡位数是9364”,运力6位数除以加了后的用款力1434.【解析】⑴为了表达去使、不妨调1号同学写的自然赦愚小根楣235号同学所■述暗论、235中只有两个连鲤的匕然数不能整除门，其他的数都器糙除口一与，7中的鲁-华教的2储都在15，工内、如来2-7中有施小数不能整除a，那片这心瓶的2僧也不能整除“，熟用之-T日的这人数与它的2倍不可能是两外连候的自然数，所以工-7中哥一个数都是靠的约载.由于2与5立康，那芸2x5=1。也是4的的数，同理可知，1匕14,15也都是我的豺数，还剩下的四个教为鸟、上II、1%只有3■,口是两个连城的自然数，所.乂说的不时的两位同学,他的雄号分别是8和9.⑶学同学所写的自然效能褴2,3.4、36,了，16H，⑵13，】4，这12人敬整除，也就是它01将公倍效.它优［的我小烝将数鼠：2-x3x5^7xllx1.1-110(16［｝,因为右M60是一代工位数.而这12个敬的其他公倍敕梆是它伯的较小公将数颂60的倍数,且最小为2偌.所M均不在位数，那名I号同学耳的丘位锹是MX)的专舞测试时间：1小时会跳TB令1；（第十三届・华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））将六个,自然数14,加准117,143；175等组，如臬要求每组中的任意两个数都互质则至少需要格这些数分成练解答：14-取7熄口=2；次人.33=3Mil； 143=11乂1强175=F”7K根揭质I因政分解可以看到।一共有线3、5.sT.1K13六十「.而每个数都有2个质因数，所以可能可以分为2组，每组三个数，必须总共IB包含这6个质因配然后期门做尝肥发现放14的蛆里肯定不能放2口和175,那2位有孙117和田这三今里但两门发现这三个数两两都有公因颜,所以至少要务三级而分三组的话很容易可以得到<14,33）C20,117>U43,175）咨样三组就是一种分法口帝fc难度：★★★ 互质及质区敷分解（6&）2（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整额，并且满足：甲乂甲=乙名国优i支那名甲最'」受一.解答：口5=以丸可以发现（丙士5）是T完全平方数伸x甲），而且应该是偶数（乙十乙），所以（丙X135）应该最少为2、x八丸所以用最小是加工了」51=如评论：难度★★★★完全平方数*奇偶性（5令5水（清华附中考题）有3•个吉利数另路518,伽，用它件］货别除以同T自然救，所得的余数依故为皇+7时1口则这个目粽是

4（101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的g倍，问这个两位数是__n解密设这个两位数为药，那么添了一个.口.后变为：逼，化简药=1限4了，而=1。的十y,添上口后变为原来的9倍也就是说；而=9药，即：100s+y=P（10z4-y）t-1OOk+y=90z+9y,移K得：10z=3y所以也=却又因为如y都是一位数，所以劭4y=5B评山难度：大大用字母表蔻（T.分）又,二重点中学3月9日下午则试卷》五位数:国是某个自然数的平方，则4奸了尸五位数，万位是4因为现02=4U0W；所以这牟自然数肯猥1口口多,而且末位是1,那么这个自粽的末位就只能是1或者小那么就可以设这.个数是面或者而，然后将a从口到P依次代入检嗖即可，最后可以得到只有比F=25嵬1娶所以x=5,尸2,那么4笈+7卢%评比；难度完全平方数的末位、离单的估算（9分）&：•（重点中学3月gE!下午测i式卷）p；q为质数，m、n：知正尸一+甲_则各十建一因为qFiii,而q又是质数,所以m1门里肯定有一个是h不妨把m看作1,那纭q=tb口也是质数，而pF计n,也就是口=1十口，两个相邻的自然数都是质数，.旦记2和是质数，.旦记2和3这一组所以□=%n>=!.p11+q1_3s+2?『一F+P31T评t匕难度★★★质敷与合敷的特点"分）■7JJ凉市学校五年级如吟学年度超常儿童素质调查思维索质调查初试（第1卷）调峰型；B戈□□-=■□=I,）■;□><□=：<7；□，+□=C拆口一口口C）’将1〜9埴2||上面的9个方框中，每个数字用1次，那么4个算式的计售结果之和最大是W，个格子中只有僦和激颗这两格函亥是越d幽T的，所以填上1和3而且娥如果埴2：的话，那幺被娥立刻就比埴1的时候少了一半，所以例埴1,腐填心接着看被酸，两咯加薮以及被除数的个位这4部格子起的作用等隈等于其数值本翳，所以不用埴彳睡的数，把较小的14、5、6埴上匚而对和影响最大的是被级的十位部分，它相当于数字值的1口倍，所以埴1那说就可以填出下面结果来：93-1=?3-7,呼=_5小J+6=11；-.4-2=1结果之和为：93+^6+11+-2=162&梯十三届「‘华罗庚金杯”好组数学邀请赛决寄试卷(小翔))兽板上修着1至200S共2008个自然数一」胡每测察去两个奇阳的胴的数，再厅上囱门的平埔数，最后黑板上只剩F一个自相♦这个数可能的最大值和最小值的差1:解答:要让和最小，那幺函亥爆去的数尽量九•催大的就是200S和2006这两个,擦去后诉上2口07,两个加07又能擦去一个，这样就变成了1-2007,一直进行,」不难发现最自1下一个£所区有：最小的：(2006,2005)(2007)120。7)-(2OO7r20姆f(2006,黑04)f(2005一加窗)f(200叫2002^f ：(6,-4)-(5,3),f(4,2)f(3r.f1最大的「:匕豺一 f(公力f佃5)一⑷Gf⑸7)f……X200,2005)f(200%200,6)f(2005,RUTJf£/06,200S>-2007这个数的最大值和最小值的差息受何彳-2=2005评议：难度★★★数学旃《题(7知入(叫实骑中学)在兽板上写下数几次3 如口4、2005,每次擦去最小的4个教，再写1上这4个数的和被7除的余数，直到不足4个数为止，那么最后剩