基准利率指标的波动性度量与利率期权设计

/基准利率指标的波动性度量和利率期权设计许之彦顾娟摘要：.本文探讨了全国银行间同业拆借中心发布的货币市场基准利率参考指标的统计特征，重点考虑了基准利率收益率波动性的度量方法，如移动平均、指数加权移动平均和GARCH类模型，得到了描述该利率收益率的波动性模型征。在此基础上，我们又考虑了基于基准利率的期权的设计、定价和模拟，由Black-Scholes定价公式，得到了利率期权随时间变更的动态的理论价值。关键词：基准利率；利率期权；货币市场；GARCH模型作者简介：许之彦，概率论和数理统计博士，广发证券博士后工作站探讨员，探讨方向为金融工程。顾娟，女，概率论和数理统计博士，广发证券研发中心探讨员，探讨方向为金融工程。中图分类号：F830.9文献标识码：AAbstractSomemethodstomeasurevolatilityofBenchmarkInterestRatesIndexesofChineseMoneyMarketarediscussedinthispaper,suchassimplemovingaveragemethod,exponentialweightedaveragemethodandGARCH-typemethod.WeconcludethatEGARCH(1,1)isthebestmodelinGARCH-typeformeasuringthevolatilityoftheindex.Further,weproposedtheinterestoptioninChinamoneymarketwiththenecessities,thedynamicpricingoftheEuropeaninterestoptionandthesimulation.引言2004年10月12日，全国银行间同业拆借中心发布了以7天回购为基础的货币市场基准利率的参考性指标（简称“基准利率”），2004年11月10日，国家开发银行宣布将发行以此利率作为基准利率的付息债券，2004年11月17日，国家开发银行发行了以该基准利率为基准的付息债券，票面利率确定为3.47%.可以看到，无论从基准利率参考指标的提出，还是以此利率作为基准的付息债券的推出都标明白我国利率市场化的进程在不断地加快。我们知道，作为基准利率应当具备三个基本特点，一是该利率是无风险利率；二是该利率是完全市场化的利率；三是该利率能够精确反映货币的供求状况。银行间7天回购利率作为基准利率基本上具备了这三个特征。该利率基本上是无风险的，也是我国市场化程度最大的一个利率品种，从市场统计来看，银行间市场上7天回购交易量最大、流淌性最强,并具有较强的波动性,截至2004年6月31日,银行间债券市场7年来回购交易总额达到33.17万亿元,其中7天回购累计成交21.49万亿元,占回购全部交易量的64.78%。本文将探讨全国银行间同业拆借中心发布的货币市场基准利率的参考性指标的统计特征，该利率参考指标是在确定的平滑的基础上得到的；探讨B6序列日收益的波动性，给出了一般移动平均、指数加权移动平均、以及GARCH模型。波动性的估计是金融风险分析的核心，也是基于基准利率金融产品的定价、投资和风险管理的基础;我们最终将探讨基于该基准利率参考指标的期权设计，并考虑基于该基准利率的期权的设计、定价以及模拟。基准利率收益率的波动性度量数据来源于中国货币网,该数据从1997年7月4日起先，包含B0、B2W、B1M、B2M、B3M、B6M，其中B为日加权7天回购利率，B2W、B1M、B2M、B3M、B6M为最近两周、1个月、2个月、3个月和6个月加权的基准利率。鉴于我国利率市场在1999年前变更较大，本文接受了自2000年1月3日到2004年10月21的数据,共1209个视察值。事实上，经过统计上的T检验，没有发行如上指标之间有明显差异，考虑到市场上一年付息的债券比较多，进行波动性分析时仅考虑B6。本节分析波动率的3种模型为一般移动平均、指数移动平均及广义条件自回来异方差模型。一、一般移动平均（simplemovingaverage,SMA）一般移动平均是比较简洁的波动率的估计的方法，具体的做法是首先选取一个窗宽，记为,将历史数据作为一个单位来考虑，记为B6日对数收益的交易数列，记，其中，即历史阶段的平均，移动平均的波动率定义为：（1）图1为20天和40天B6日对数收益序列的移动平均的波动率，可以看出在2003年8月至2004年5月波动性是比较大的。另外，40天的移动平均要比20天的波动性更大一些。

图120天和40天的一般移动平均二、指数移动平均（ExponentialWeightedMovingAverage）简洁的移动平均没有能够考虑历史数据对当前影响的时间因素，直观上看距离要考虑的时间点的历史数据中，应当是较近的影响较大，指数平滑方法就是解决这个问题的缺陷，即给较近的数据赐予较大的权重。具体的做法是，令为衰减因子，对于移动的平均值做加权：（2）其中，.波动率定义为：（3）事实上，指数平滑方法可以通过递推算法得到：（4）（5）衰减因子的选取上，是接受光滑参数的选取方法来做的，想法是使得选取的参数达到平滑的效果最好。RiskMetrics的做法是选取了，我们计算20天平均移动下，当和时，计算的结果如图2所示，可以看出二者的差别并不大。图2指数加权移动平均，=0.94和0.96简洁移动平均和指数移动平均均能够描述B6日对数收益的波动性。我们认为，由于我国的新兴市场的特点，选取的窗宽不宜太大，否则波动率的变更会更为猛烈，建议在探讨波动时选取窗宽为40天。三、广义条件异方差自回来模型（GARCH-Type） GARCH类模型最早是Engle（1982）提出的ARCH模型，即条件异方差自回来模型。经典的模型往往假设为同方差的，由于在时间序列，特殊是金融数据的时间序列中，表现出在不同的时间段，方差是不同的，也就是方差具有时变的特点，另外时间序列之间具有确定的自相关性。GARCH类模型能够较好地描述时间序列的这类现象，该类模型也得到了很大的发展，形成了如EGARCH,IGARCH,GARCH-M等模型。鉴于篇幅的缘由，我们在此仅列举ARCH和GARCH模型，对于其他的GARCH类模型就不在列举。设标的资产时间序列为,Engle(1986)年建立了回来模型ARCH(q)，(6)其中，是因变量，是说明变量的向量，是未知参数的向量,假设的在给定时间内的信息满足正态分布，，但其条件方差为：(7)Bollerslev(1986)年提出了GARCH（p,q）模型：(8)其中，，，，，. 表1给出了GARCH类模型的参数极大似然估计结果。表1GARCH类模型估计结果GARCH(1,1)GARCH-M(1,1)IGARCH(1)EGARCHAIC-15387.614-15519.75-15496.246-15833.847参数估计截距：-0.00035AR1-0.7882ARCH10.5699GARCH10.59056截距：-0.000638AR1-0.8114ARCH10.6770GARCH10.6148Delta1.012截距：-0.000369AR1-1.1303ARCH10.6741GARCH10.3259截距：-0.000897AR1-1.0140EARCH0-2.7061EARCH11.640EGARCH0.794Theta0.4634Delta0.001571表1中的极大似然估计的p值均小于0.001,另外，从AIC准则来看，GARCH类模型能够较好地描述B6收益率的波动率特点，其中EGRACH(1,1)相对更好一些.基于基准利率参考指标的欧式期权设计一个看涨期权（calloption）是指期权持有者在某个确定的时间有权利以某个价格购买指定的标的资产，期权的出售者有义务以该价格售出该标的资。看跌期权（putoption）是指期权持有者在某个确定的时间以某个价格购卖出指定的标的资产，期权出售者有义务以该价格买入该标的资产。买入期权的称为多头（longposition），另一方称为空头（shortposition）。多头方购买期权要付确定的期权费，即期权的内在价值，签订期权双方约定在期权交割日交割的价格为敲定价格（exerciseprice），合同中的日期称为到期日(expirationdate,maturity)。依据期权是否可以提前执行，可以划分为欧式期权（EuropeOption）和美式期权(AmericanOption)，欧式期权是只有在期权到期日才可以执行，而美式期权可以在期权到期日之前的任何时间都可以执行。期权的标的资产是很广泛的，可以是股票、指数、汇率、期货、各种利率等，期权是金融市场中最为重要的创新，期权的推出具有稳定金融市场、降低金融市场的系统性风险，为投资者供应了一个对冲的机会以锁定最大的损失。本文考虑的是以利率为标的资产的欧式期权的问题。就拿欧式利率期权为例，假设一个机构买入一份10,000万美元3个月的贷款的看涨期权，该期权的执行利率为3.95%,假设该期权的价格为5万美元，假设3个月后，该利率上涨到4.55%，该欧式利率期权的多头有权利依据合约规定的价格，即3.95%向空头方借贷10,000万美元。当依据3.95%向空头方借贷10,000万美元之后，假如立刻以市场利率4.55%贷出，其损益（payoff）为10,000×（4.25-3.95）/100=30万美元，扣除期权费之后的损益为30-5=25万美元。 本文考虑欧式期权的定价，记标的资产的价格为，往往假设听从如下的几何布朗运动：（9）其中，分别为漂移参数和波动参数，假设为常数，为标准布朗运动。执行价格记为，为无风险利率，为现在的时刻，为期权到期日。 欧式期权的在到期日的价值为：（10）由Black-Scholes公式可以得到期权的定价为：（11）其中为标准正态分布的累计分布函数，（12）（13）假设2003年1月2日推出了一个6个月的利率期权，标的资产为货币市场公布的银行间基准利率的参考指标，取无风险利率为2003年1月2日的B6指标，为2.2738%.执行价格为.234%.选取的波动参数为前40天的移动平均的波动，然后转化为年波动率，实行的做法式该日波动率乘以250的正平方根。由定价公式，我们得到，期权的价格为0.0021966%,该价格为期权的初始定价。我们接受移动平均方法计算动态的波动率，无风险利率照旧实行2.2738%,此方法可以认为是动态定价的方法，即对2003年1月2日后的日期，我们接受移动平均计算出波动率，接受Black-Scholes公式给出了定价。如图3所示，该图给出了该期权随时间变更动态的理论价格，计算中，期权价值小于0的部分定义为0。图3期权的理论价值图不同的执行价格将较大程度地影响期权的价值，假如执行价格为执行价格为2%，其他没有变更，初始日期的定价为0.0040158%.考虑升息阶段的状况，选取的起点为2003年4月1日，结束日期为2003年10月1日，交割价格为0.0225%，取无风险利率为0.021%，期权的价值自2003年8月，起初的定价为0.0042711%.从动态的定价看，利率期权的价值的变更和利率的波动性和升息预期有密切的关系。升息预期较强时，其理论价值也处在上升阶段；波动性大，期权的价值也偏大。从利率市场的稳定性来看，引入基于利率的衍生产品是很有必要的。利率期货、利率期权和利率互换等衍生产品将会起到避开利率单边变更，对冲升息和降息等财政和货币政策所产生的系统性风险。本文在这个方面做了初步的尝试，给出了基于该基准利率的欧式利率期权设计，接受定价模型是Black－Scholes公式，我们实行是移动变更的期权定价，即随着期权到期日，我们接受了移动平均得到的波动系数，这样能够更为贴切地发觉期权的内在价值的变更。从期权价值的变更来看，其价值在升息预期时的增长比较快，在利率波动较大时波动也相应比较大。这反映了我国基准利率作为基准利率还须要进一步的完善，这恰恰是利率产品包括利率期货、利率期权和互换推出的一个内在需求。因此，利率期权以及利率期货的推出是特殊有必要的，一是起到稳定利率市场，对冲利率猛烈变动的风险，降低由于货币和财政政策所产生的系统风险；另一方面可以发觉和调整市场利率，形成市场认可的、充分反映市场货币供求的市场基准利率。结论本文主要考虑了基准利率参考指标的波动性的度量和基于该基准利率的期权设计。比较性探讨了几种度量波动性的方法，一般移动平均，指数加权移动平均和条件自回来异方差模型。在GARCH类模型中，得到EGARCH(1,1)为描述B6波动性较好的模型。从本文得到的结论来看，特殊是在有升息预期期间,我国的基准利率收益率存在较大的波动性，也有波动率聚集的现象（VolatilityClustering）。基准利率是反映市场货币供求的最干脆的体现，一个稳定连续的金融市场和稳定的货币政策是金融市场稳定的基础，从我国的基准利率来看，的确还是有确定的差距。因此，利率市场化还将是一个持续的过程。基于利率的金融衍生产品在风险管理、活跃货币和债券市场、稳定金融市场等都发挥着重要的作用，引入基于利率的衍生产品是很有必要的。利率期货、利率期权和利率互换等衍生