立体几何大题练习试题答案解析

.求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．〔1证明：取AD的中点N,连结FN,MN,则MN∥ED,FN∥CD∴平面FMN∥平面ECD.∵MF在平面FMN内,∴FM∥平面ECD5分〔2连接EN,∵AE=ED,N为AD的中点,∴EN⊥AD.又∵面ADE⊥面ABCD,∴EN⊥面ABCD.作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD,∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角,设AD=a,∵ABCD为正方形,⊿ADE为等腰三角形,∴EN=a,NP=a.∴tan∠EPN=.10分7.如图,一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,其中有一个高为cm的内接圆柱.<1>试用表示圆柱的侧面积；〔2当为何值时,圆柱的侧面积最大.19.〔1解：设所求的圆柱的底面半径为则有,即.∴5分〔2由〔1知当时,这个二次函数有最大值为所以当圆柱的高为3cm时,它的侧面积最大为10分8．〔10分如图,在三棱锥中,⊿是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90º.〔1证明：AB⊥PC；〔2若,且平面⊥平面,求三棱锥体积.解：〔1因为是等边三角形,,所以,可得。如图,取中点,连结,,则,,所以平面,所以5分〔2作,垂足为,连结．因为,所以,．由已知,平面平面,故．因为,所以都是等腰直角三角形。由已知,得,的面积．因为平面,所以三角锥的体积10分9.〔本题满分12分如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC＝45°,AD＝AC＝1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO＝2,M为PD的中点．<1>证明PB∥平面ACM；<2>证明AD⊥平面PAC；<3>求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．解析：<1>证明：如图,连接BD,MO,在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点．又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.<2>证明：因为∠ADC＝45°,且AD＝AC＝1,所以∠DAC＝90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O,所以AD⊥平面PAC.<3>如图,取DO中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN＝eq\f<1,2>PO＝1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中,AD＝1,AO＝eq\f<1,2>,DO＝eq\f<\r<5>,2>.从而AN＝eq\f<1,2>DO＝eq\f<\r<5>,4>.在Rt△ANM中,tan∠MAN＝eq\f<MN,AN>＝eq\f<1,\f<\r<5>,4>>＝eq\f<4\r<5>,5>,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为eq\f<4\r<5>,5>.10〔本小题满分12分如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,,,,,点是的中点．〔Ⅰ求证：；〔=2\*ROMANII求证：平面；〔=3\*ROMANIII求三棱锥的体积．证明：〔Ⅰ在△ABC中,∵,,,∴△ABC为直角三角形,∴,……………1分又∵平面ABC,∴,,……………2分∴平面,∴．……………4分〔=2\*ROMANII设与交于点E,则E为的中点,连结DE,……………5分则在△中,,又,……………7分∴平面．……………8分〔=3\*ROMANIII在△ABC中,过C作,F为垂足,∵平面平面ABC,∴平面,而,……………9分∵,……………10分而,……………11分∴．……………12分11.〔本小题满分12分如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点求下：〔Ⅰ直线EF//平面PCD；〔Ⅱ平面BEF⊥平面PAD.12.〔本小题满分12分如图所示,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面是的中点,作交于点F。 〔I求证：平面； 〔II求证：平面； 〔III求二面角的大小。13．〔本小题满分12分如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,〔1求二面角的度数〔2若是侧棱的中点,求异面直线与所成角的正切值14．〔本小题满分12分若图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD平面ABCD,EC//PD,且PD=2EC。〔1求证：BE//平面PDA；〔2若N为线段PB的中点,求证：EN平面PDB；证明：EC∥PD∴EC∥面PAD；同理BC∥面PAD；∴面BEC∥面PAD；∴BE∥面PAD证明：取BD的中点O,连NO、CO,易知,CO⊥BD；又∵CO⊥PD;∴CO⊥面PBD。