理论力学习题

1/1理论力学习题(5)第五章思考题

5．1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理解平衡问题，有何优缺点？

答：“虚功”是指作用在质点上的力（包括约束反力），在任意虚位移过程中所做的功。因虚位移是假想的位移，所以虚功也是假想的功。不一定是质点在任何真实运动中力实际所完成的“真实功”。而虚功原理中的“虚功”只包括所有主动力的“虚功”，不包括约束反力的“虚功”，因为根据理想约束的条件：

∑==?n

iii

1

0rR

δ，

即作用在一力学体系上的所有约束反力在任意虚位移中所做的虚功之和为零。

用虚功原理解平衡问题时，约束反力自动消去，这是它的优点。但因此就不能直接用它来求约束反力，这是它的缺点。

5．2为什么在拉格朗日方程中，αQ不包括约束反作用力？又广义坐标及广义力的含义为何？我们根据什么关系可以由一个量的量纲定出另一个量的量纲？

答：决定力学体系的位置状态的独立参数叫广义坐标。广义坐标不一定是长度，也可以是角度、面积或体积等。与广义坐标对应的广义力定义为：

∑=???

=n

ii

iqQ1

α

αrF它可以是力或力矩，也可以是其它物理量。我们根据关系：∑==s

qQW1

αααδδ，可

由广义坐标的量纲定出广义力αQ的量纲（功的量纲已知）。

根据广义力的定义，我们可以计算与约束反力相应的广义力：

∑=???

=n

ii

iR

qQ1

α

αrR但理想约束条件：0)(1

1111=???=???=?∑∑∑∑∑=====ααααααδδδqqqqn

iiisn

is

iin

iir

RrRrRi，由于

αδq是独立的，所以有：),2,1(01

sqQn

ii

iR

==???

=∑=αα

αrR。我们看到，只要

满足理想的约束条件，约束反力对广义力的贡献为零。因此，αQ中不包含约束反力。

5．3广义动量αp和广义速度αq

是不是只相差一个乘数m？为什么αp比αq

更富有物理意义？

答：广义动量αp和广义速度αq的关系只能由定义式：ααq

L

p??=求出，他们不一定是只相差一个乘数m。

由于广义速度αq

只是运动学量，而广义动量αp中包括由物体本身的运动属性（即质量），是动力学量，又由于正则方程在理论上的重要性，因此，αp比αq更富有物理意义。

5．4既然

αqT??是广义动量，那么根据动量定理，)(αq

T

dtd??是否应等与广义

力αQ？为什么拉格朗日方程（5.3.14）式中多出了α

qT

??项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？

答：∑∑==???

=?????=??niniiqqTqT11αααiiirpr

r（1）式中iiimT

vrpi=??=为质点的动量，将（1）式和广义力的定义式：∑=???=n

ii

iqQ1

ααrF比较，可见，将

αq

T

??叫做广义动量是很恰当的。下面求广义动量对时间的微商：

∑∑∑===???+???=???=??nin

iiiniiqdtdqdt

dqdtdqTdtd111)()()(ααααr

prprpiii（2）根据动量定理：

iiRFp+=dt

di

（3）式中Ri为约束反力，将（3）式两边同乘以αqi

??r，并对i求和，注意到：01

=???∑=n

iiiqαrR得：

∑==???n

iQqdtd1αα

i

irp（4）又

αααqT

qTqdtdniin

ii

??=?????=???∑∑==11)(iirrrp（5）将（4）（5）式代入（2）式得：

α

ααqT

QqTdtd??+

=??)(（6）由此可见，广义动量对时间的微商不等于广义力αQ，而多出了一项

α

qT

??，由（2）（5）知，αqT

??是由于αqi??r随时间改变而引起的广义动量的时间变化率。根据（6）

式，仿照非惯性系中引入惯性力的方法，我们可以引入假想的广义力

α

qT

??，拉氏方程[即（6）式]，就可以看成是用广义坐标表示的“动量定理”，在此前提下，

αqT

??的物理意义是假想的广义力（通常叫拉格朗日力），它所代表的是由于αqi??r随时间变化而产生的广义动量的时间变化率。

5．5为什么拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式（5.3.13）得出式（5.3.14）?

答：如果系统为不完整系，包含有不可积分得微分约束，则独立坐标变更的个数少于系统的自由度数s，即s个),2,1(sq=αδα

不是独立的，我们就不能

由（5.3.13）式得到拉氏方程（5.3.14）式，故拉格朗日方程只适用于完整系。

5．9dL与Ld有何区别？

α

αqL

qL????与

有何区别？答：),,(tq

qLL=是广义坐标、广义速度和时间的函数，),,(tpqLL=是广义坐标、广义动量和时间的函数，从广义动量的定义式：ααq

L

p??=

中将广义速度αq

解出来，),,(tpqqqαα=代入),,(tqqL中，消去αq，即得),,(tpqL：]),,,(,[),,(ttpqq

qLtpqL=因L中的自变量是tpq,,αα，故对αq求微商时，须将αq看成tpq,,αα的函数，因此，

∑=????+??=??=??sqq

q

LqLqttpqqqLqL1]),,,(,[βαββααα所以，α

qL??与αqL??相比多了

∑=????s

qq

q

L1βαββ这一部分，二者是不相等的。产生差别

的原因是：求),,(tq

qLL=对αq的偏微商时，我们将所有的αq看作常量，而在求),,(tpqLL=对αq的偏微商时，我们是将所有的αp看作常量。

dL与Ld的差别是：由于变量不同，他们的具体表达式不同，但是：

∑=??+??+??=s

dtt

L

qdqLdqqLdL1

)(

ααααα∑=??+??+??=s

dtt

L

dppLdqqLLd1

)(

ααααα二者是相等的，即：LddL=

5．10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系

吗？为什么？

答：由于正则方程时有保守系的拉格朗日方程推导出来的，因此，它和保守系的拉氏方程一样，只适用于完整的保守力系。

5．11哈密顿函数在什么情况下是常数？在什么情况下是总能量？试加以讨论，有无是总能量而不是常数的情况？

答：当满足条件：哈密顿函数H中不显含时间t时，而约束是非稳定的，此时H=h是常数，但不是总能量。

当满足条件：1）哈密顿函数H中不显含时间t；2）当约束是稳定的，动能T是广义速度的二次齐次函数时，H是常数也是总能量。

有H是总能量而不是常数的情况：当力学系统处于不稳定的势场中时，势能V中显含时间t，因而H不为常数，如果此时系统只受稳定约束，动能为广义速度的二次齐次函数，则H为系统的总能量。

5．12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？

答：泊松括号的定义为：若

),3,2,1(),,(),,(stpqtpq=?

??

==αψψφφαααα

则：∑=????-????=s

qppq1

)(

],[αα

αααψ

φψφψφ

泊松定理为：如果ψφ和为正则方程的积分：21),,(),,(ctpqctpq==ψφ

则：3],[c=ψφ也是正则方程的积分。

泊松定理可用来求运动积分，只要知道正则方程的两个积分，就可用来求其它的积分。但实际上，它常常只能给出原有积分的线性组合，不能提供新的积分。故泊松定理实际上的功用十分有限，不能完全靠它来求正则方程的积分。

5．13哈密顿原理是用什么方法确定运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号?能否这样？

答：哈密顿原理是用变分法中求极值的方法，从所有可能轨道中挑出真实轨道，并由此来确定力学体系的运动规律。

令：

Ldt

ds

=，则有：?-=21)()(12tttstsLdt?-=∴

2

1

)()(12tttstsLdtδδδ

又因：)(sdt

d

dtdsLδδ

δ==所以：)()()(1221

21

2

1

tstsssdLdtt

tttttδδδδδ-===??这就证明了：

??=2

1

21

ttttLdtLdtδδ

对全变分符号?不能这样。

)(sdt

d

dtdsL?≠?=?

???≠?∴2

1

21

ttttLdtLdt

第五章习题

5.1使用虚功原理解3.1题。

3.1半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，

一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为：()

c

rc2

224-

解：杆受理想约束，杆的位置可由杆与水平方向夹角唯一确定，杆的自由度为1。

设棒长为l，如图所示，建立坐标系xyo-，棒所受主动力只有重力，由虚功原理：

∑==?=n

iiiW1

0rFδδ

有：

0=?cymgδ

即：

0=cyδ

取α为广义坐标：

αcosrcAD2==

αααααsinlsinrsinlcosrsinlcyc22222-=????

?

-=?????-=

02

22=??

??

?

-=δαααδcoslcosryc

0≠δα

只有：

02

2=-ααcosl

cosr

()()

]22[cos2414242

22r

c

rc

c

rccoscosrcoscosrl==-=

-==∴ααααα

5.2使用虚功原理解3.4题。

3．4相同的两个均质光滑球悬在结于顶点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求α角及β角的关系。解：平衡时悬绳张力通过球心，三球所受主动力只有重力，如图建立坐标系，设小球半径为r，

lOCOB==

由虚功原理得：

)1(0

=?+?+?CBAymgymgymgδδδ

???-===βααcos2coscosrlylyyACB

????+?-=?-==δββδααδδααδδsin2sinsinrlylyyACB

代入（1）式得：

0)sin(2sin2sin=-+?+?-δααδββδααlrl)2(0

sin2sin3=?+?-δββδααrl

由约束关系：βαsin2sinrl=取变分：δββδαα?=?cos2cosrl

δβα

β

δαcoscos2lr=

代入（2）式：

)sin2coscos2sin3(=?+?

-δββα

β

αrrl

0≠δβ

只有：0sincos3=+?-ββαtg故：βαtgtg=3

证毕。

5.3长度同为l的轻棒4根，光滑的连成一菱形ABCD，ADAB、两边支于同一水平线上相距为a2的两根钉上，DB间则用一轻绳联结，C点上系一重物W，设A点的顶角为α2，试用虚功原理求绳中张力。

解：如图所示，取两钉连线中点O为坐标原点，建立坐标系xyo-，将BD间的约束解除，代之以约束反力T，将T当作主动力。α一定，便可确定ABCD位置，体系自由度为1，选α为广义坐标。

由虚功原理得：

0=+?-cDBywxTxTδδδ

⑴???

??-==-=ααα

α

actgcoslysinlxsinlxc

DB2

⑵

对⑵式取变分：

???

???+-=?=?-=δα

ααδαδδα

αδδα

αδ2

2cscasinlycoslxcoslxcDB⑶将⑶代入⑴得：

()()

022=+-+?--δαααδαααcscasinlWcoslcoslT

()0222

=+--δααααcscWasinlWcoslT

0≠δα

??

?

??-=∴123ααcsclaWtgT

5.5在离心节速器中，质量为m2的质点沿着一竖直轴运动，而整个系统则

以匀角速度Ω绕该轴转动，试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆AB、BC、CD、

B

DA等的质量均可不计。

解：如图所示，以A为定点，建立动坐标系xyA-

质点的相对速度：2

22BBByxv+='

质点的牵连速度：Ω=BBxv0方向垂直xy平面所以质点B的动能为：)(2

122

2211Ω++=

BBBxyxmT质点B的势能为：BygmV11-=

同理可知质点D、C的动能、势能为：

DDDDygmVxyxmT1222

2212)(21-=Ω++=CCgymVymT232

232

1-==系统自由度为1，选θ为广义坐标

θ

θ

θ

θθcos2cossincossinayayaxayaxCDDBB====-=

取微商：

θθθθθθθθθθsin2sincossincosay

ay

ax

ay

ax

CD

D

BB-=-==-=-=

此力学体系的拉氏函数为：

CDBCDDDBBBgymyygmymxyxxyxmVVVTTTL212

22222222213

21321)(2

1)(21++++Ω+++Ω++=++=θθθθθcos)(2sin2)sin(21222222221mmagamam+++Ω+=又解：系统自由度为1，选θ为广义坐标

质点B的动能、势能为：

θθθcos])sin()[(2

1112211gamVaamT-=Ω?+=

质点C的动能、势能为：

θθθcos2)sin2(2

1212222222gamVamymTC-=-==

此力学体系的拉氏函数为：

θθθθcos2cos22

1])sin()[(2122221222212

121gamgamy

maamVVTTLC+++Ω?+?=--+=

θθθθθcos)(2sin2)sin(21222222221mmagamam+++Ω+=

5.6使用拉格朗日方程解4.10题

4．10质量为m的小环M，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑

动，圆圈在水平面内以匀角速ω

绕圈上某点O转动，试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。

解法1：

小环作平面运动，自由度为1，选θ为广义坐标。设某一时刻，小环M在如图所示位置，取圆圈为势能参考面，则小环势能为零。小环动能为：

()222

1

yxmT+=()()?

?

?++=++=tsinatsinaytcosatcosaxωθωωθω

(

)()()

()?????+++=++--=tcosatcosay

tsintsinax

ωθωθωωωθωθωω

()

()

()

[

]

θωθ

ωωθωcosaaamyxT?+?+++=+=

22

2222222

121拉氏函数为：

()

()??

????+++==-=12122θωθωθcosmaTVTL()[]

12++=??θωθ

θcosmaL()()[]

θωθωθ

sinmaL-+=??2代入拉氏方程：

0=??-

??

?????θθL

Ldtd得：

()[]()[]

022=++?-+θωθωθθωθ

sinmasinma故小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：

z

02=+θωθ

sin

解法2：

小环作平面运动，自由度为1，选θ为广义坐标。

设某时刻，小环M在如图所示位置，取圆圈为零势面，则小环势能为零。小环相对速度为：

θ

av='牵连速度大小：ωθ????

?

=220cosav

方向如图5-4所示。

小环绝对速度：

0vvv+'=

将小环绝对速度在圆圈的切向和法向投影：

222θθωθ

τcoscosaav?+=2

22θ

θωsincosavn?-=

则小环的动能为：

()2

222

121n

vvmmvT+==τ??

???++=

242421222222

2θωθθωθcosacosaam

拉氏函数：

??

???++=

=-=242421222222

2θωθθωθcosacosaamTVTL

22222θωθθcosmamaL+=??θωθθωθ

sinmasinmaL222--=??

θθωθθsinmamaLdtd22-=??

?????代入拉氏方程：

0=??-

???????θ

θL

Ldtd

得：

0222=+θωθ

sinmama化简得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：

02=+θωθ

sin

解法3：

小环作平面运动，建立平面极坐标系，自由度为1，选θ为广义坐标。如图所示。

设某一时刻，小环M（r,φ）在如图所示位置，取圆圈为势能参考面，则小环势能为零。

2

2cos2θ

ωφθ+==tar

2

2

sinθωφθθ+=-=ar

小环动能为：

]2

cos)4(42sin[21])2

()2sin[(21)(21222222222222θ

θθωωθθθωθθθ+++=++-=+=maramrrmT小环势能为：V=0

拉氏函数为：]2

cos)4(42sin

[21222222θθθωωθθ+++=-=maVTL22222θωθ

θ

cosmamaL+=??θθωωθθθωωθθθsin)(]

)4

(4[4122222+-=++-=??masinsinmaL代入拉氏方程：

0=??-

???????θ

θL

Ldtd得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：

02=+θωθ

sin

5．7试用拉格朗日方程解本章补充例题5.3（4.8）

4．8轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角速ω绕竖直轴转动。另有一质量为m的小环套在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求小环运动的微分方程。已知抛物线的方程为ayx42=，式中a为常数，计算时可忽略摩擦阻力。

解：在抛物线金属丝上建立坐标系xyo—,系统自由度为1，选x为广义坐标

小环相对速度：222yx

v+='小环牵连速度：ωxv=0方向与xy面垂直小环的动能：)(2

1

2222ωxyxmT++=

势能：mgyV=

由ayx42

=得：a

x

xy

a

xy242

==

拉氏函数为：mgyxyxmVTL-++=

-=)(2

1

2222ωaxmgxa

xxm4])41([2122

2222-++=ωxamg

xxa

mxmxLa

xxmxL24)41(22222-+=??+=??ω

22222)41()(xxa

m

axxmxLdtd++=??代入拉氏方程：

0)(=??-??x

L

xLdtd0242)41(2

22

2222=+--++amgxa

xmxxmxxamaxxmω故小环运动的微分方程为：

024)41(22222=+-++xamg

xmxxa

mxaxmω

5．8一光滑细管可沿铅直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速ω

转动，管中有一质量为m的质点，开始时，细管取水平方向，质点距转轴的距离为a，

质点相对于管的速度为0v，试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。

解：如图所示，取管轴为

动坐标系的x轴，自由度s=1，选q=x，

质点的相对速度为：ivx='牵连速度为：jrωvexω=?=质点的动能：)(2

1

222xxmTω+=

质点的势能：tmgxVωsin=

（以通过O点的水平线为零势线）

拉氏函数为：L=T-V=)(2

1

222xxmω+tmgxωsin-tmgxmx

L

xmxLωωsin2-=??=??代入拉氏方程：

0)(=??-??x

LxLdtd得：tmgxmx

mωωsin2-=-即：tgxxωωsin2-=-齐次方程的通解：ttBeAexωω-+=1非齐次方程的特解为：tg

xωω

sin22

2=

x=x1+x2=t

tBeAeωω-+tgωω

sin22+代入初始条件：t=0,x=a,0vx

=,得：204)(21ωωgvaA-+=

2

04)(21ωωg

vaB+-=故质点沿管的运动规律为：

x=[204)(21ωωgva-+]teω+[2

04)(21ω

ωgva+-]t

eω-+tgωωsin22

5.9设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为α的圆锥面内运动，试以θ、r为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。

解：取柱坐标系，如图所示，则：

质点的动能：

()

222221zrrmT++=θ质点的势能：

mgzV=

(以O点为零势点)?????==+-常数

θαααθ

2220mrcossinmgsinmrrm

拉氏函数：

()

mgzzrr

mVTL-++=

-=22222

1θ选θ、r为广义坐标，约束关系：

αrctgZ=

αctgrZ

=则：

()

αθαα

αθmgrctgrsinrmmgrctgctgrrrmL-???

???+=-++=

2222

22222212

1αθα

mgctgmrrLsinrmrL-=??=??2202=??=??θθθ

LmrL代入拉氏方程得：

0sin22=+-=??-

???????αθα

mgctgmrrmrLrLdtd()

02==??-

???????θθθmrdt

dLLdtd∴质点运动微分方程为：

?????==+-常数

θαααθ

2220mrcossinmgsinmrrm由此题讨论可知：应用拉格朗日方程求解动力学问题时，广义坐标可同时选

线量和角量。

5.10试用拉格朗日方程解2.4题中的()a及()b。

质量为1m的质点，沿倾角为θ的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为2m，又

可在光滑水平面上自由滑动，试求()a劈的加速度2x；()b质点水平方向的加速度1x

。

解法1：

此力学体系自由度为2，选广义坐标：

()

()

??

?='=相对水平面的位置的位置相对222211

1mxqmmxq

如图所示。

1m的绝对速度：

()()212121θθsinxxcosx

v'+-'=系统的动能：

()()[]

2

222122112

222112

1212

121xmsinxxcosxmvmvmT+'+-'=+=

θθ

系统势能：

θsinxgmV1

1'-=

(以1m初始状态为势能零点)

拉氏函数：

()θθsinxgmcosxxmxmmxmVTL112112

2212112

12'+'-++'=

-=θcosxmx

mxL

21111-'='??θsingmxL

11

='??

()θcosxmx

mmx

L

112212'-+=??02

=??xL

代入拉氏方程：

01211111=--'='??-??????'??θθsingmcosxmxmxL

x

Ldtd=??-????????22xL

x

Ldtd()011221='-+θcosxmxmm

即：

()??

?='-+=--'001122121θθθcosxmxmmsingcosxx

两式联立得：

θ

2

1212sinmmθ

θcossingmx

+=（劈的加速度）

()θ

θ212211sinmmsingmmx

++='

质点水平方向的加速度：

=-'=211cosx

xxθθ

θ

θ2

122sinmmcossingm+?

解法2：

选固定坐标系xy-0,如图所示。系统自由度为2，选广义坐标：

11xq=（质点1m相对静系的水平位置）22xq=(直角劈2m相对静系的位置，因为直角劈只做平动，故C点的运动可代表直角劈

的运动)

直角劈2m的动能为：2

2222

1xmT=质点1m的动能和势能为：

()

()

?????

=+=轴线为零势能线xgymVyxmT1

11212111

21

约束方程为：

()θtgxxy211-=

系统拉氏函数为：

()

1

12

22212111

212

121gymxmyxmVTTL-++=-+=()[]

()θθtgxxgmxmtgxxxm2112

2222122112121--+-+=

()

()θθtgxxgmxmtgxxxxmxm1212

22221212212112

122121-+++-+=

y

12y

θθ211221111tgxmtgxmxmx

L

+-=??θgtgmxL

11

-=??

()θ21121222tgxmxmx

mx

L

-+=??θgtgmxL

12

=??

代入拉氏方程：

01

1=??-????????xLxLdtd

02

2=??-????????xLxLdtd

()?????=--+=++-0012

12122121122111θθθθθgtgmtgxxmxmgtgmtgxmtgxmxm

整理得：

()()????

?=--+=+--⑵

⑴0012121221212111θθθθgtgmtgxxmxmgtgmtgxxmxm

⑴+⑵得：

02211=+x

mxm⑶

⑴⑶两式联立得：

θ

θ

θ21221sinmmcossingmx

+-=

θ

θ

θ2

1212sinmmcossingmx

+=

由以上两解法可知，应用拉氏方程求解力学体系的动力学问题时，广义坐标可同时选惯性系量，也可同时选惯性系量和非惯性系量。

5.11试用拉格朗日方程求3.20题中的1a和2a。解：如图建立坐标系

oxy，系统自由度为1，选y

为广义坐标。物体m的动能和势能为：

222

1

ymT=

x

2

mgyV-=2

圆柱体M的动能：

222

1212121θ

??

???+=

MrMvTc圆柱体只滚不滑：

θrvc=A点的速度等于m的速度：

θry

2=2222222116

3434121yMrMrMrMT==+=

∴θθθ

系统拉氏函数为：

mgyy

mMmgyy

mMVTTL+??

???+=+?????+=-+=2

22

21832121163

mgy

L

y

mMyL=????

?

??+=??83代入拉氏方程得：

083=-??

?

??+=??-????????mgymMyLyLdtdMMmg

y

a8382+==∴

mMmgyra83421+===θ

5.12均质杆AB，质量为m，长为2a，其A端可在光滑水平槽上运动，而棒本身又可在竖直面内绕A端摆动，如除重力作用外，B端还受有一水平的力F的作用，试用拉格朗日方程求其运动微分方程。如摆的角度很小，则又如何？

解：系统自由度为2，如图所示选取θ,x为广义坐标

由科尼希定理知棒的动能为：

2222)(2

1)(2θmkyxmTcc++=k为棒绕质心c转动的回转半径。棒质心坐标：

???=+=θθcossinayaxxcc?????-=+=θθθθsincosay

axx

cc

]cos2)([2

2222

θθθxakax

mT+++=

∴

0cos=??+=??x

TmaxmxT

θθθθθθθθ

sincos)(22xmaxma-=??++=??TkamT

虚功：cBymgxFWδδδ+=

???=+=θθcossin2ayaxxcB????-=?+=δθθδδθθδδsincos2ayaxxc

B

)sin()cos2(δθθδθθδδ?-+?+=amgaxFW

δθθθδ)sincos2(mgFaxF-+=

所以广义力为：)sincos2(θθθmgFaQFQx-==

代入基本形式的拉格朗日方程：

xQxTxTdtd=??=??)(θθ

θQTTdtd=??=??)(得运动微分方程为：

?????-=++=-+)sincos2(]cos)[()sincos(222θθθθθθθθmgFaxakamFaaxm

若θ很小，1cossin≈≈θθθ这里：3

12)2(2

22

aak==则运动微分方程为：

??

?

??=++=-+F

gaxmFaax

m2)34()(2θθθθθ

5.13行星齿轮机构如图所示，曲柄OA带动行星齿轮Ⅱ，在固定齿轮Ⅰ上滚动。已知曲柄质量为1m且可认为是匀质杆。齿轮Ⅱ的质量为2m，半径为r，且可认为是匀质圆盘，至于齿轮Ⅰ的半径则为R，今在曲柄上作用一不变力矩M，如重力作用可以略去不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动。

解：系统的自由度为1，选?为广义坐标。曲柄的动能：

()()2212

2116

13121φφ

rRmrRmT+=??????+=齿轮Ⅱ的动能：

22

222

22212121ω??

???+=

rmvmTA()φωφ

r

rRrvrRvAA+==

+=2()222

2222222)(4

3)(4121φφφrRmrRmrRmT+=+++=∴

系统的动能：

()2

221214361φ

rRmmTTT+??

???+=+=由于重力不计，则：

δφδMW=

∴广义力：

MQ=?

由基本形式的拉氏方程得：

φφ

φQdTTdtd=?-????????()φφ

2212331rRmmdT+?????+=?0=?φ

dT

代入上式得：

()MrRmm=+?????+φ221

233

1

∴曲柄转动的角加速度为：

()

2

21233

1rRmmM

+?????+=?

()2

21292132rRmmmM

+?????

?+=

5.16半径为r的均质圆球，可在一具有水平轴，半径为R的固定圆柱的内表面滚动，试求圆球绕平衡位置作微振动的运动方程及其周期。

解：系统自由度为1，如图所示选取φ为广义坐标球只滚不滑：)(φθφ+=rR

φθ

)(rRr-=∴球的动能：222)52(2121θmrmvTc+=

2222)(51)(21φφrRmrRm-+-=22)(10

7φrRm-=球的势能：φ

cos)(rRmgV--=（以通过0点的水平线为零势线）

拉氏函数为：φφ

cos)()(10

722rRmgrRmVTL=-=代入拉氏方程：

0)(=??-??φ

φL

Ldtd得：

0sin)()(5

72=-+-φφrRmgrRm0sin5)(7=+-φφgrR

微振动：φφ≈sin

所以运动微分方程为：0sin)

(75=-+φφ

rRg

))

(75cos(

αφ+-=∴trRg

A

振动周期为：g

rR5)

(72-=πτ

补充题1半径为r的均匀圆球，自半径为R的固定圆球的顶端无处诉地滚下，试用拉格朗日方程求动球球心下降的切向加速度。

解：系统自由度为1，选φ为广义坐标约束方程为：φθ)(rRr+=

则：φθ

)(rRr+=φ

)(rRvc+=由科尼希定理，动球的动能为：222)52(2121θmrmvTc+=2222)(51)(21φφrRmrRm+++=22)(10

7φrRm+=动球的势能：φ

cos)(rRmgV+=（以通过0点的水平线为零势线）拉氏函数为：φφcos)()(10

722rRmgrRmVTL+-+=-=代入拉氏方程：

0)(=??-??φφ

LLdtd得：

0sin)()(5

72=+-+φφ

rRmgrRm0sin5)(7=--φφgrR

)

(7sin5rRg+=φ

φ

故动球球心下降的切向加速度为：

φφ

τsin7

5)(grRa=+=

补充题2均匀直棒AB，长为l，质量为m，以角速度ω绕A轴转动，且A

轴以速度v作平动，试求直棒与铅垂线间夹角为α时的动能。

解：由科尼希定理，直棒的动能为：

222)12

1

(2121ωmlmvTc+=

αcos2222

rrcvvvvv++=ω2

lvr=

代入上式得：

2222)121

(21]cos22)2([21ωαωωmllvlvmT+++=

]121

cos)2([212222ωαωωlvllvm+++=)cos

3

1

(2222αωωvllvm++=

补充题3写出单摆摆动时的哈密顿函数H，并讨论其物理意义。解：质点的动能为：

222

1

θmlT=

势能为：θcosmglV-=

（以o为零势点）

拉氏函数为：θθcos21

22mglmlVTL+=-=

2

2ml

pmlLpθ

θθθθ

=

=??=

2222cos2

1θθθθ

θmlmglmlpLh+--=+-=θθcos2

1

22mglml-=（1）将θ的表达式代入（1）式得哈密顿函数为：θθcos)(212

22mglml

pmlH-=

θθcos22

2

mglml

p-=（2）由（1）式知：EVTH=+=所以哈密顿函数就是单摆的总机械能。

补充题4、两平行齿条之间放一半径为r的齿轮，两齿条的质量均为m，齿

轮的质量为1m（沿边缘分布），两齿条上分别有沿齿条而指向相反的力PF和QF

作用，如图所示。试用拉格朗日方程确定齿轮的角加速度和轮心加速度。（15分）

解：系统自由度：2=s

选广义坐标：???==φ2

1qxqc

上齿条速度：φrx

vcP+=下齿条速度：φrxvcQ-=系统动能：

))(2

()(2

1212121222

12222121φφrx

mmmrxmvmvmTccQP++=+++=

对应广义坐标的广义力：QQPPxFxFW

δδδ?+?=

)()(δφδδφδrxFrxFcQcP--+=δφδrFFxFFQPcQP)()(++-=

rFFQFFQQPQ

Pxc)(+=-=∴

φ

0)2(1=??+=??cccxT

x

mmx

T

0)2(21=??+=??φ

φφ

T

rmmT代入基本形式的拉氏方程：cxccQxTxTdtd=??-??)(φφ

φQTTdtd=??-??)(

得：

?????+=+-=+rFFrmmFFxmmQPQPc)()2()2(211φ

则轮心加速度为：

mmFFxQPc+-=12

轮的角加速度为：

m

mFFQP++=12φ

补充题5、图示质量为m的直杆，可在固定光滑的铅垂滑道中自由滑动，杆的下端搁在质量为M的光滑楔块斜面上，楔块倾角为α，置于光滑的水平面上。由于直杆自重的压力，楔块沿水平方向移动，直杆随之垂直下降，试用拉格朗日方程求杆与楔块的加速度。

解：系统自由度为1，选广义坐标：yq=

如图所示，有约束关系：αctgyx

=系统动能为：

22

22)(2

12121yMctgmxMymTα+=+=系统