微分中值定理

微分中值定理的应用一洛必达法则求型和型未定式的极限设(1)当时,函数和都趋于零;(2)在点的某去心邻域内,和都存在且;(3)存在(或无穷大),则注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，常与其它求极限方法结合使用，尤其是等价无穷小的替换.例求解原式====型未定式的求法（转化为型和型）例求型解由于而所以原式=注意：洛必达法则的使用条件．例1求解原式=极限不存在（洛必达法条件不满足的情况）正确解法为原式=例2求解设，则因为==例3.解：设，例4.解：例5：设函数在的邻域内具有一阶连续导数，且若在时是比高阶的无穷小，求计算导数二函数的单调性与曲线的凹凸性设函数在上连续,在内可导.(1)如果在内,那么函数在上单调增加;(2)如果在内,那么函数在上单调减少.例讨论函数的单调性.解:显然函数的定义域为,而函数的导数为所以函数在处不可导.又因为时,,所以函数在上单调减少;因为时,,所以函数在上单调增加.利用单调性证明不等式例.证明:当时,.证明:令,则因为当时,,因此在上单调增加,从而当时,,又由于,故,即,也就是,().曲线的凹凸与拐点定义设在区间I上连续,如果对I上任意两点,恒有,那么称在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有,那么称在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).定义设函数在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.曲线凹凸性的判定定理设在上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在内,则在上的图形是凹的;(2)若在内,则在上的图形是凸的.拐点:连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求出在二阶导数;(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;例.求曲线的拐点.解,，令,得因为当时,;当时,,所以点(,)是曲线的拐点.例4.求曲线的拐点及凹、凸的区间.解(1)函数的定义域为;(2),;(3)解方程,得,;00在区间和上曲线是凹的,在区间上曲线是凸的.点和是曲线的拐点.三函数的极值、最值及其求法定理1(必要条件)设函数在点处可导,且在处取得极值,那么函数在处的导数为零,即.定理2(第一种充分条件)设函数在点处连续,在的某去心邻域内可导.(1)若时，,而时，,则函数在处取得极大值;(2)若时，,而时，,则函数在处取得极小值;(3)如果时，不改变符号,则函数在处没有极值.确定极值点和极值的步骤:（1）求函数定义域(2)求出导数;(3)求出的全部驻点和不可导点;(4)列表判断(考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况,以便确定该点是否是极值点,如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);(5)确定出函数的所有极值点和极值.例求函数的极值解显然函数在内连续除外处处可导且令得驻点，为的不可导点(3)列表判断11不可导0↗0↘↗所以极大值为极小值为如果存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有定理3(第二种充分条件)设函数在点处具有二阶导数且,,那么(1)当时,函数在处取得极大值;(1)当时,函数在处取得极小值;说明：如果函数在驻点处的二导数,那么该点一定是极值点,并可以按的符来判定是极大值还是极小值.但如果,定理3就不能应用.例如在点没有极值.最大值最小值问题最大值和最小值的求法:设在内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为,则比较的大小,其中最大的便是函数在上的最大值,最小的便是函数在上的最小值.求最大值和最小值的步骤(1).求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例求函数在上的最大值与最小值解由于所以求得在(34)内的驻点为，不可导点为而，经比较在处取得最大值20在处取得最小值0渐近线铅直渐近线（垂直于轴的渐近线）或，那么就是曲线的一条铅直渐近线。例如曲线有两条铅直渐近线水平渐近线（平行于轴的渐近线）或（为常数），那么就是曲线的一条水平渐近线。例如曲线有两条水平渐近线斜渐近线如果或（为常数）那么就是曲线的一条斜渐近线。斜渐近线的求法：求出，，则就是曲线的斜渐近线例1求曲线的渐近线解,因为,所以是铅直渐近线又因为,所以为斜渐近线描绘函数图形的一般步骤:(1)确定函数的定义域,并求函数的一阶和二阶导数;(2)求出一阶、二阶导数为零的点,求出一阶、二阶导数不存在的点;(3)列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性;(4)确定曲线的渐近性;(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点;(6)联结这些点画出函数的图形.例做出函数的图形.解函数的定义域为非奇非偶函数,且无对称性.,,令,得驻点再令得特殊点,又得水平渐近线,而,铅直渐近线列表——0不存在0+↘拐点↘极值点↗间断点↘补充点：，，，曲率（数三不要求）一、弧微分.二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．曲线弯曲程度的直观描述:用比值,即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.记,称为弧段的平均曲率.记,称K为曲线C在点M处的曲率.在存在的条件下,.曲率的计算公式:设曲线的直角坐标方程是,且具有二阶导数（这时连续,从而曲线是光滑的）.因为,所以.又,从而得曲率的计算公式.若曲线的参数方程为,则曲率例1.计算直线上任一点的曲率.解显然，所以直线上任一点的曲率,即直线的曲率处处为零例2.计算半径为R的圆上任一点的曲率.解由于圆的参数方程为,所以即圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.三、曲率圆与曲率半径设曲线在点处的曲率为在点M处的曲线的法线上凹的一侧取一点D,使,以D为圆心,为半径作圆,这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆,曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心,曲率圆的半径叫做曲线在点M处的曲率半径.曲线在点M处的曲率与曲线在点M处的曲率半径有如下关系:,.注意：1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).例题1.函数在上，比较的大小.解：在上满足拉氏中值定理条件，存在，使得.由于，所以单调增加，而，所以，即.2.函数在上，比较的大小.解：由于，所以单调增加，而，所以在上，同上题讨论有3.在内,判断在内的符号.4.已知函数在区间内具有二阶导数,且严格递增,，则：A.在内均有；B.在内均有；C.在内均有，在内均有；D.在内均有，在内均有。5.设处处可导,则A.必；B.必C.必；D.必解：选择D(A,C的反例，B的反例)6.设函数在上有界且可导，则A.必;B.存在，必；C.必;D.存在，必；解：选择A(B,C,D的反例)7.设函数在的邻域内连续,且，，则在处A.不可导;B.可导,且;C.取极大值;D.取极小值8.为恒大于0的可导函数,且，则当时A.；B.;C.;D.不等式的证明1.当时，证明：2.证明：3.当时，证明：4.当时，证明：5.，证明：6.设，且证明：7.，证明：8.，证明：9.证明：时，10.函数在上可导，，且满足1）求；2）证明：当时，10.设在上函数有连续