自动控制原理第八章非线性控制系统分析

第八章非线性控制系统分析1、基本内容和要求（1）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。本质非线性和非本质非线性。典型非线性特性。非线性系统的特点。两种分析非线性系统的方法一一描述函数法和相平面法。（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。谐波线性化的概念。描述函数定义和求取方法。描述函数法的适用条件。（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。相平面法的概念和内容。相轨迹的定义。（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。2、重点（1）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。非线性元件（环节）：元件的输入输出不满足（比例+叠加）线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理（本质非线性）。非线性系统：含有非线性环节的系统。非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。

2非线性系统的特征2.1不能用线性(微分)方程描述；方框图中，非线性环节不能随意移动(不能保持信号等效)；2.2运动形式c(t)不仅与系统特性和r(t)有关，而且还与系统的初始状态有关；有的系统会出现自振荡；自持振荡：系统在无外部信号作用下维持的振荡，又称自激振荡，简称自振荡。线性系统只有在临界阻尼情况下才可能有自振荡。2.3稳定性分析复杂；系统的稳定性不仅与系统结构参数有关还与系统的初始状态有关；2.4频率响应有畸变；输入信号是正弦信号时，系统的稳态输出不是正弦信号，而是多种频率的正弦信号组合。3非线性系统的分析与设计方法3.1☆相平面法3.2☆描述函数法3.3逆系统方法这三种方法将在8-3、8-4和8-5节讨论。8-2典型非线性特性及其对系统运动的影响非线性特性千差万别，在工程上允许用折线近似替代曲线，只要直线线段足够短，就有满意的近似精度。那么，通常的非线性环节都可以用多个典型非线性特性串联和并联组合而成。非线性特性的数学表达式和输入输出关系曲线都很重要。1非线性特性的等效增益设非线性环节的输出为y，输入为x；输入输出关系为y=f3)，是非线性函数;等效增益记为：k=y/x=f(x)/x。有人将非线性系统看作是“变增益的线性系统”，简化非线性系统稳定性的分析过程。

2☆典型非线性特性对系统运动的影响区特性不改变系统的稳定性，只是降低了控制精度。若弓(S)的极点不全在S平面左半部，通常会产生自振荡，这是工程中不满意的状态。kxx>x00⑴☆饱和特性y=]kxkxx>x00⑴☆饱和特性y=]kxIxl<x0；-kxx<-x00kxjx

k-kx/x0饱和区线性区;饱和区系统工作范围：—X<x<X，X=max(x)；k一线性增益；xo—表示线性区宽度的参数，线性区宽度为2xo，简称xo为线性区宽度。若X<xo，则该元件是线性元件。对系统稳定性的影响：系统进入饱和区，等效增益降低。若G(s)的全部极点均在S平面左半部，只要kG(s)的开环增益k小于临界增益k，饱和特性不改变系统的稳定性。若G(s)的极点不全在S平面左半部，一旦系统进入饱和区，可能导致系统不稳定。实际系统工作时，为充分利用系统性能，在大偏差情况下大多工作在饱和状态。工程界有“大偏差，小增益；小偏差，大增益”的工作经验。兼顾了充分利用系统性能和较高的控制精度要求。(2)☆死区(不灵敏)特性y(2)☆死区(不灵敏)特性y=<k(x-x0)0k(x+x。)x>x0Ixl<x0x<-x0饱和区死区；饱和区对系统稳定性的影响：系统进入死区，等效增益为零。若。(s)的全部极点均在S平面左半部，死在工程实践中，只要系统满足控制精度要求(稳态误差在允许误差范围内)，尽可能利用死区特性减少控制器的动作，其实际物理意义是减少能量损耗和设备磨损。(3)☆继电特性IMX>0☆继电特性(3-1)Ly_M^^M■-Mii0XX，I|__-M理想继电器:(3-2)仅具有死区的继电特性y=<(3-3)0(死区特性后接理想继电特性)[-M(3-1)Ly_M^^M■-Mii0XX，I|__-M理想继电器:(3-2)仅具有死区的继电特性y=<(3-3)0(死区特性后接理想继电特性)[-M仅具有滞环的继电特性IMx>X

y=〈0或一Mx<X0X>X0IXl<X；0；X<-XM'Xp0X0」-M(3-4)一般继电特性y=<X<0&x>-x.0；X>0&x<x'0X>h0M-XX

0-M0(既有死区又有滞环)-MIxl<mh

x<-h(0<m<1)X>0&x<-mhM--h-mthL0mhhx-Mh=0：理想继电特性；m=1:仅具有死区的继电特性；m=-1:仅具有滞环的继电特性。⑷间隙(齿隙)特性y=彳k(x-x⑷间隙(齿隙)特性y=彳k(x+X0)IMX<0⑸摩檫特性y=<,—Mx>0-M8-3相平面法相平面法是在非线性系统线性部分的阶次小于等于二阶时的图解分析方法，该方法将系统:非线性环节的输入信号)运动姿态绘制在相平面上，直观清、楚地反映系统的稳定性、平衡状态、稳定精度和有无自振荡；使用相平面法分析系统的稳定性很方便。在应用相平面法分析系统稳定性时，都将典型输入的作用等价为系统的初始状态，假定系统输入恒为零，即分析系统的自由运动特性。相平面的基本概念☆二阶非线性系统：X+f(x,X)=0，x(0)=X0，X(0)=X0；式中f(x,X)是x和X的非线性函数或线性函数☆相平面法：求解二阶非线性系统的图解方法，用于分析系统稳定性。☆相变量：二阶系统中的x和X称为相变量。☆相平面：X-X平面；横坐标为相变量x；纵坐标为相变量X。☆相轨迹：X-X平面上的点表示系统在给定初始状态时，某一时刻的状态。系统运动在相平面上留下的轨迹，是一条具有方向的曲线，称为相轨迹。△相轨迹斜率：=~j~/=1。可得X=X^~，代入系统(运动)方程，得到相轨迹方程。dxdtdtxdx一dXf(x,X)dX0一☆相轨迹方程(斜率)：；一=-:。x轴上某点使得=7?，其斜率值不确定，称为奇点。dXXdX0相轨迹特点：(1)相平面上半部，X>0，相轨迹都是向右方运动；相平面下半部，X<0，相轨迹都是向左方运动；在X轴上，除奇点外，dX/dX=±8，相轨迹垂直穿过横轴；同一个系统的不同起点的相轨迹互不相交；若一条相轨迹的起点在另一条相轨迹上，该条相轨迹是那条相轨迹的一部分。若能够得到非线系统X+f(x,X)=0的解X(t)和X(t)，则以t为参变量在相平面上绘出相轨迹。多数情况下，求解x(t)很烦琐，绘制相轨迹也是件令人讨厌的事情，幸亏我们只是分析非线性系统的稳定性，只需要相轨迹的趋势和终点。若X+f(x,X)=0是变量可分离的微分方程，能够采用以下解法：X=X空；-f(x,X)="(x)；g(X)XdX=h(x)dx，jxg(X)XdX=jxh(x)dx。dxg⑴x0x0说明：解得x(t)和.X(t)，就可以得知系统的稳定性、平衡状态和稳定精度，不必绘制相轨迹图。绘制相轨迹的基本方法：(仅含典型非线性环节的系统，能方便地解得x(t))根据x(t)和.X(t)的表达式，逐点描绘，I：。T8。概略绘制相轨迹要点：(1)相轨迹起点(x0,X0)；与横轴的交点(X(匕)=0)；与纵轴的交点(x(t.)=0)；在讨论非线性系统时，与分区边界的交点：x(t)=边界值，计算X(t)值，或X(t)=边界值，计算x(t)值；按相应的线性系统相轨迹连接标出的各点。绘制相轨迹的等倾线法等倾线法是绘制相轨迹的近似方法，避免求解非线性微分方程。TOC\o"1-5"\h\z在相轨迹方程半=-g中令半=a，。得等倾线方程-5=a；dxxdxx等倾线一在相平面上相轨迹斜率相同点的连线。例系统X+X+x=0，X0=0，X0=B；试用等倾线法绘制相轨迹。dXX+xX+x.-1、、一.解：相轨迹斜率方程丁=-^—；等倾线方程-^―=a；整理得x=x，这是一条斜率为dxxx1+a-1的直线，a取不同值时，是一簇过原点的直线。参见P362页图8-17。1+a作图：选取适当的一系列a值，使等倾线在相平面上分布均匀，并具有合适密度。若要分析系统稳定性可在等倾线上均匀画出与其a值对应的短直线，若短直线相连就会形成相轨迹簇。本例，起点在X轴上，开始画一a=-1的短线，直到下一条等倾线，再按对应的a值，画短线，循此继进，直到画不清楚或画不出为止。线性系统的相轨迹研究线性系统的相轨迹是用相平面法分析非线性系统的基础。(1)线性一阶系统的相轨迹：Tc-c=0；相轨迹簇在两条起始于原点斜率为1/T的直线上，见图8-14(a)，系统不稳定;TC+c=0；相轨迹簇在两条起始于原点斜率为-1/T的直线上，见图8-14(b)，系统稳定。(2)线性二阶系统的相轨迹：X+2^sX+S2x=0,相轨迹形状与阻尼比匚有关；

nn相轨迹斜率华=-一注；相轨迹起点(土,X)；奇点(0,0)；dxx000<C<1:x(t)=Ae~Gtsin(s/+8)，X(t)=-Aoe—6sin(s/+8)+A(^^cos(s/+8)；式中o=劣，®d=s(1-Q2)1/2；Asin8=X0，一Aosin8+A①dcos8=X0。相轨迹是一簇螺旋线，起始于初始状态，终止于奇点。系统稳定。系统具有一对负实部复数极点，奇点(0,0)称为稳定焦点。参见图8-17。q>1:x(t)=Ae"+Ae勺，x(t)=AAe"+人Ae勺；121122式中A=—^o+s(Q2—1)1/2，A=—o—s(Q2—1)1/2；A+A=x，AA+AA=X。1n2n'12011220相轨迹是一簇抛物线，起始于初始状态，终止于奇点。系统稳定。系统具有两个负实极点，奇点(0,0)称为稳定节点。参见图8-18。该条件下：有两条等倾线的斜率与其对应的相轨迹斜率相等。若初始状态(起点)满足X=Ax或X=Ax，则有：I—■1/P/，I~~■IZ*I—•，、/、-，、>、/•r-J/010，020'/、TI-4wx(t)=A1eA1t[x(t)=A2e勺TOC\o"1-5"\h\z--1一-c2一<x(t)=AAeA1t或<x(t)=AAe勺；1122X(t)=A]x(t)X(t)=A2x(t)这表达了4条趋于奇点的相轨迹(有两条过原点的等倾线)，称为渐近线(奇线)；所有相轨迹不与渐近线相交。Q=1:x(t)=(At+B)e-%，X(t)=—s(At+B—A)e-%；B=x0，A=X/①+x；相轨迹是一簇曲线，起始于初始状态，终止于稳定节点。系统稳定。0n0等倾线方程为X=-—x'渐近线条件a=-一'得a=—o；2s+a2o+annn当初始状态(起点)满足X0=-onx0，相轨迹沿直线趋于奇点。参见图8-20。Q=0:x(t)=Asin(①t+8)，X(t)=oAcos(ot+8)；Asin8=x0，①Acos8=X0；易知：x2+X2/o2=A2，这是椭圆方程'相轨迹是一簇以原点为中心点的椭圆，起始于初n始状态，无终止点。系统不稳定(临界稳定)。系统具有一对纯虚数极点，奇点(0,0)称为中心点。参见图8-21。—1<Q<0:x(t)=Ae—otsin(o/+8)，X(t)=—Aoe—otsin(o/+8)+Aodcos(o/+8)；式中o=Qo<0，Od=o(1—Q2)1/2；Asin8=x0，一Aosin8+Aocos8=X0。相轨迹是一簇螺旋线，起始于初始状态，趋于无穷远，反向延长交于奇点。系统不稳定。系统具有一对正实部复数极点，奇点(0,0)称为不稳定焦点。参见图8-22。Q<—1:x(t)=AeA1t+AeA2t，X(t)=AAeA1t+AAeA2t；A>0，A>0；TOC\o"1-5"\h\z121122'12'匕匕匕乙式中A=—^o+o(Q2—1)1/2，A=—o—o(Q2—1)1/2；A+A=x，AA+AA=X。1n，2n‘120，11220相轨迹是一簇抛物线，起始于初始状态，趋于无穷远，反向延长交于奇点。系统不稳定。系统具有两个正实极点，，奇点(0,0)称为不稳定节点。参见图8-23。(g)线性二阶系统x+2aX—b2x=0；dX2aX—b2x相轨迹斜率~x=-——X一；相轨迹起点(x0,x0)'奇点(0,0)；b2xb2a=—a+(a2+b2)1/2>0等倾线方程为x=——；渐近线条件a=；得1'；2a+a2a+aa=—a—(a2+b2)1/2<0系统具有符号相反的两个实极点，奇点(0,0)是不稳定的，称为鞍点。相轨迹参见图8-15。当b=0，相轨迹退化为斜线，参见图8-16。奇点和奇线(渐近线)，略，已讲过。对于一般非线性系统，先要得到奇点邻域的线性化相轨迹方程，再判断奇点的类型JP366,例8-2)极限环非线性系统的持续振荡在相平面的曲线称为(稳定的)极限环。由相轨迹求取时间间隔(略)相轨迹图虽未直接表示系统运动与时间的关系，但从相轨迹上可近似求得相轨迹上两点间的时间间隔。(a)解析法：若有X(t)和x(t)的解析表达式(包括分区的表达式)，能够得到x(t)，可准确地获得时间间隔。例如已知相轨迹是椭圆方程x2+XE2=A2，则x(t)=Asin(①,t+。)，4与起点有关。增量法：用一系列短直线段近似替代相轨迹，各段起点(x,X)到终点(x,X)所需时间为，1]/2,2,At=(x一x)/x，x=(x+x)/2。2121积分法：At=Jt2dt=Jx21/xdx；图解值，参见图8-26。t1x1圆弧(8)法：用一系列圆心在x轴上的短圆弧近似替代相轨迹，各段起点(x1,%)到终点(x2,x2)所需时间为该段圆弧所对的圆心角At=A9。参见图8-27。如果相轨迹图的精度有限，只能得到时间间隔的近似值。要点：应用两个非线性系统的相轨迹(b)(c)(d)说明：比较两系统的时间关系。例如:6非线性系统的相平面分析典型非线性环节都是“分区线性”的，那么，由典型非线性环节和线性部分组成的非线性系统也是“分区线性”的。因此，只要掌握各区线性运动方程及对应奇点的类型，不难参照线性系统相轨迹，做出该区的概略相轨迹。再根据相轨迹图，就可以判断系统的稳定性。以三个例子说明分析方法。⑴具有死区特性的非线性系统(图8-28，图8-29)系统初始状态为零，r(t)=R，1(t)；等价为％=R，e0=0；k(e+x0)0k(e一x0)Te+e+Ku=0；非线性环节u=〈e<—x0|e|<x0e>x0［区(e<—x0):Te+e+Kke=—Kkx；e=r—cr=0，r=0e=r—C两条分区边界(开关线)e=土x0；de/de=—(e+Kke+Kkx)/(Te)；；线性部分Tc+C=Ku；及"=r—c奇点(-x0,0)，若奇点在本区，称为实奇点，否则称为虚奇点；相轨迹永远不能到达虚奇点。当TKk>0.25时，本区相轨迹是趋于稳定焦点的螺旋线，相轨迹必然进入11区。否则，是趋于稳定节点的抛物线，有可能进入11区。II区(Iel<X0):Te+e=0；de/de=—\/T；无奇点，相轨迹满足方程e=-e/T，是斜率为-1/T的斜线，斜线与线段(-x0,x0)的交点是相轨迹的终点。该区下部的相轨迹可能进入1区；上部的相轨迹可能进入田区。III区(e>X0):Te+e+Kke=Kkx；de/de=-(e+Kke-Kkx)/(Te)；本区分析类似i区。奇点(x0,0)；当TKk>0.25时，本区相轨迹是趋于稳定焦点的螺旋线，相轨迹必然进入1区。否则，是趋于稳定节点的抛物线，有可能进入11区。稳定性分析(K>1):无论初始状态如何，相轨迹必然终止于区间(-x0,x0)上，非线性系统稳定。稳态误差绝对值<x0。绘制概略相轨迹(略)(2)具有饱和特性的非线性系统(图8-30，图8-31，图8-32)系统初始状态为零，分别讨论系统在r(t)=R・1(t)和r(t)=Vt・1(t)时的稳定性。'-kx0e'-kx0e<-x0非线性环节u=(keIel<x0kxe>x00线性部分TC标=阿及|二二，e=r-cr(t)=R・1(t)

r=0

r=0r(t)=V・t

r=v

r=0两条分区边界(开关线)e=土x0；r(t)=R・1(t):Te+e+Ku=0；I区(e<-x0):Te+e=Kkx0；等倾线方程e=Kkx0/(1+Ta)，平行于e轴的直线；渐近线e=Kkx0；渐近线在e轴的上方；本区无奇点，所有相轨迹必然进入II区。I［区(Iel<x0):Te+e+Kke=0；奇点为原点(0,0)，是实奇点；当TKk>0.25时，本区相轨迹是趋于稳定焦点的螺旋线。否则，是趋于稳定节点的抛物线。系统相轨迹的末段一定在本区，终止于实奇点(0,0)。该区下部的相轨迹可能进入1区；上部的相轨迹可能进入田区。I区(e>x0):Te+e=-kx0；本区分析类似i区。等倾线方程e=-Kkx0/(1+Ta)，平行于e轴的直线；渐近线e=-Kkx0；渐近线在e轴的下方;本区无奇点，所有相轨迹必然进入II区。稳定性分析：响应阶跃输入时，无论初始状态如何，相轨迹必然终止于原点，非线性系统稳定。稳态误差为零。r(t)=V・t:(V>0)；Te+e+Ku=V；I区(e<一x0):Te+e=Kkx0+V；等倾线方程e=(Kkx0+V)/(1+Ta)，平行于e轴的直线；渐近线e=Kkx0+V；本区无奇点；渐近线在e轴的上方，所有相轨迹必然进入1区；［［区(Iel<x0):Te+e+Kke=V；

奇点为(V/(Kk),0)；若V/(Kk)<x0为实奇点；若^/(Kk)>舄为虚奇点;本区相轨迹是趋于稳定奇点曲线。奇点为实奇点时。系统相轨迹的末段可能在本区终止于实奇点。该区下部的相轨迹可能(必然)进入1区；上部的相轨迹可能(必然)进入田区。(虚奇点)III区(e>xo):Te+e=-Kkx°+V；本区分析类似1区。本区无奇点；等倾线方程e=(-Kkx+V)/(1+Ta)，平行于e轴的直线；渐近线e=-(Kkx-V)；00若Kkx0-V>0，即II区有实奇点，渐近线在e轴的下方，所有相轨迹必然进入］］区；若II区有虚奇点，渐近线在e轴的上方，渐近线上方的相轨迹趋向无穷远；下方相轨迹趋于渐近线，或进入1区，或趋向无穷远。若Kkx0=V时，相轨迹方程e=-e/T；该区的相轨迹将终止于e轴上，或进入1区。稳定性分析：响应速度输入时，系统稳定性与》值有关；若V<Kkx0(i区有实奇点)，系统稳定，稳态误差为V/(Kk)；若V>Kkx0(i区有虚奇点)，系统不稳定；若Kk、=V时，系统临界稳定，稳态误差大于x0。⑶具有滞环继电特性的非线性系统(图8-33，图8-34，图8-35)非线性环节u=e>he<0&e>-h或；e<-he>0&e<h线性部分Tc+c=Ku；。=0:e=-c，e=-c；由于非线性环节有两个分区，相平面e-e分为两个线性区。开关线由三条直线线段组成：非线性环节u=e>he<0&e>-h或；e<-he>0&e<h线性部分Tc+c=Ku；1区(e<-h)和(e>0&e<h):Te+e-KM=0；dee-KM.KM相轨迹方程丁=-———；无奇点；等倾线方程e=~—；渐近线a=0，e=KM；deTe1+Ta解析解：e=e0+(e°-KM)T-(e°-KM)Te-t/t+KMt，e=(e°-KM)e-t/t+KM；该区的相轨迹都趋于渐近线(e―心—KM)，必然进入I区。H区(e>h)和(e<0&e>-h):Te+e+KM=0；dee+KM.-KM相轨迹方程丁=-———；无奇点；等倾线方程e=；无奇点；渐近线a=0，e=-KM；deTe1+Ta解析解：e=e°+(，0+KM)T—(e^+KM)Te-t/T—KMt，e=(e°+KM)e-t/T—KM；该区的相轨迹都趋于渐近线(e*,eTKM)，必然进入i区。若状态处于e轴的(-h,h)区间上，是不稳定平衡状态。因a=±3，相轨迹必趋向渐近线。运动状态分析：I区的相轨迹必然进入II区，II区相轨迹必然进入1区，运动不会停止；I区的相轨迹在返回I区时，相轨迹与分界(开关)线e=-h的交点处，e>-KM；I区的相轨迹在返回I区时，相轨迹与分界线e=h的交点处，e<KM；相轨迹不与线段(-h,h)相交。最终相轨迹形成闭合曲线，称为极限环。内外的相轨迹都趋向闭合曲线的极限环称为稳定的极限环。稳定性分析：无论初始状态如何，系统最终进入稳定的极限环。极限环振幅和频率计算：根据系统进入极限环状态后，每次进入11区的入口点为(h,e)，再根2r据极限环的对称性可知，进入1区的入口点为(—h,—e)；在11区的相轨迹满足ii区的运动方程，入2r口点为方程的初始状态，而终点为I区的入口点。可推导出2(h+J=lnKM+七，显然evKM。KMTKM—e2r2r例系统参数为h=1、M=2、T=2和K=1；计算得e=1.53955；2rII区的运动方程：e=1+7.0791(1—e-〃2)一21，e=3.53955e-〃2-2；据相轨迹与e轴交点计算出振幅E=1.79569；由分界线e=—h的交点，计算出在该区运行时间T2=4.0791。振幅为1.79569，周期为8.1582秒。T>0:相平面e-e分为两个线性区。由于非线性环节的输入为e+Te，组成开关线的三条线段为：e+te=一h，e<0；—h<e<h，e-0；e+te=h，e>0。1区(e+Te<—h)和(e+Te<h&e>0):Te+e一KM=0；11区(e+te>h)和(e+te>—h&e<0):Te+e+KM=0；由于两区的线性运动方程完全与T=0时的对应区运动方程相同，各区的运动规律对应相同。区别在与开关线不同，对于同一初始状态进入另一区域的时间不同，T>0时提前进入。显然，T>0时极限环的振幅要小于匚=0时的振幅(最小值为h)，振荡频率要高。改善了非线性系统的性能；思考题：如何减小h对系统的影响？8-4描述函数法非线性环节在正弦输入作用下输出是一次谐波和高次谐波的组合信号，一次谐波是与输入信号同频率的正弦信号。若非线性环节的输出可以用一次谐波近似，可得到非线性环节的描述函数。描述函数法：是在频域内分析系统的稳定性和自振荡的一种近似方法。1描述函数的基本概念描述函数：非线性环节的近似频率特性；(频率响应可用一次谐波近似。)描述函数的计算方法非线性环节及其正弦输入为y=f⑴；x(t)=Xsinot；则环节输出的傅立叶级数为j=A0+E(Acos①t+Bsin①t)=A0+YYsin(ot+巾)；n=1n=1式中A0一直流分量;*sin(①t+虬)—n次谐波，且Y=(A2+B；)1/2，、=arctan(A“/B&)；A0=—"y(t)dot；A=—fKy(t)cos(not)dot；B=—fKy(t)sin(not)dot。当非线性环节关于原点对称(A0=0)，而且Y(n>1)比匕小得多时，则近似为y总A]cosot+B]sinot=Ysin(ot+©)描述函数定义为N(X)=1N(X)Ies(a)=Ye^=B^B。XX「一Mxv0例8-3计算理想继电特性的描述函数。y(x)=〈M八，X=Asinot。[Mx>0解：该非线性特性关于原点对称，A0=0；y(t)cosot是奇函数，A1=0；

cos0兀/2=也；n(a)=工=4M0兀cos0兀/2=也；n(a)=工=4M0兀A兀A1兀0兀0兀说明：第一等号因y(t)sin®t是偶函数成立；第二等号利用在(0,兀)区间上sin®t关于兀/2对称。作为解释计算Y=0，Y=也尸sin[⑵+1)9]d9=4M=5，i=1,2,…；2i2i+1兀0(2i+1)兀2i+1¥^<Y/3,n>1。512m(m2-n2)-1m一n=0,2,4,6…查数学手册的定积分表得到』sin(mx)cos(nx)dx=<0I0m一n=1,3,5,7…例8-4计算非线性元件y=0.5x+0.25x3的描述函数。P375。解：关于原点对称，A0=0，y(t)cos®t是奇函数，A1=0；TOC\o"1-5"\h\zB=—^ny(t)sin®td®t=—\n/2^-sin2®t+^—sin4®t}d®t=―+^—；

1兀0兀024216…、B+jA13八N(A)=11=+——A2。A216应用描述函数法的条件(2-1)非线性系统能够简化成一个非线性环节与一个线性环节闭环的串联结构；参见图8-36。(2-2)非线性特性原点对称，即A0=0；(2-3)Y«匕，n>1是保证应用描述函数法分析非线性系统具有较高精度的条件。大多数实际非线性系统满足上述条件描述函数法的物理意义忽略次要因素，利用线性系统的频率分析方法近似分析非线性系统，简化分析过程。是应用这种特点。2典型非线性特性的描述函数匚(1)☆饱和特性：y(x)是奇函数；(kAsin90是应用这种特点。2典型非线性特性的描述函数匚(1)☆饱和特性：y(x)是奇函数；(kAsin90<0<wAsinw=xy(t)T八；0；|kx°w<9<兀/2w=arcsin(x0/A)—JK/2y(t)sin0d0=^^~{Jwsin20d0+J"2%sin0d0}；兀0wAsin0d0}=71备__尤__03tB1=-J兀/2B=4kA{P!(1-cos29)d9+J"2%si1兀02wA2n心tarcsin气+%"1-(%)2>；AAAI'xy(2)☆死区特性：y(x)是奇函数；(00<0<wy(t)=Ik(Asin0-xykZ/0x0r，3txN(A)=—Jarcsin十+孑、，-(~0)2Asinw=x00)w<9〈兀/2xy(2)☆死区特性：y(x)是奇函数；(00<0<wy(t)=Ik(Asin0-xykZ/0x0r，3tx1兀0兀wA'

B=业尸/2{1(1—cos29)-土sin。}d。=坐[--arcsin戋-戋：1—(气)2]；1兀甲2A兀[2AA\，AJw、2km•气N(A)=——〈一一w、2km•气N(A)=——〈一一arcsin—0kI2AA2舄(3)☆继电特性:非线性特性关于原点对称，y(t)既不是奇函数也不是偶函数。'00展VW】y(t)=\mw1v0vw20W2展VK2…八八A]=—jW2Mcos。d。=AsinW]=hW]=arcsin(h/A)；Asin(—-W2)=mh，W=arcsin(mh/A)2—M面。牛=普(m-1)2…八八B1=—jW2Msin。d。=四cose|W2=2M—W]—2MI,N(A)=——an*«.2Mh.+j(m-])，A>h。—A2.4Mh…—j，A>h。—A2p寸4M,,当h=0时，理想继电特性的描述函数N(.4Mh…—j，A>h。—A2p寸4M，~h~.一当m=]时，死区继电特性的描述函数N(A)=]-(二)2，A>h；—A\A、…，、4M■当m=-]时，滞环继电特性的描述函数N(A)=一—A\3非线性系统的简化当非线性系统是由多个非线性环节和线性环节组合而成时，需要等效变换成由一个非线性环节和一个线性环节连接成的闭合回路，便于分析。变换的要点是保证信号等效，主要应用解析表达式。-MxV-xk(x+x)xV-x]020200Ixl<x；y=<0Ixl<x]0'220Mx>x]0k(x-x)20x>x20yi=5；y=y1+y2；xV-xN(A)=N1(A)+N2(A)；20-MxV-xk(x+x)xV-x]020200Ixl<x；y=<0Ixl<x]0'220Mx>x]0k(x-x)20x>x20yi=5；y=y1+y2；xV-xN(A)=N1(A)+N2(A)；20，k(x+X20)-M

k(x+x)

20

0k(x-x)

20k(x-x20)+M]0-x<xV-x]020Ixl<x20

x20Vx<x]0

x>xx20>X]0k(x+x20)-M

-M0Mk(x-x)+MxV-x20-x20<xV-x]0Ixl<x]0

x]0Vx<x20

x>x(2)串联非线性环节的等效特性—1=XX2=y1'y=y2TN1七=|k1(X1+X10)

0k(X-X111。)X<-X10IXl<X10X>X10y2-k2X20

k2X2

kx220«(x+X10)<-X20

k](x-X10)>X20X<—X=-(X201020x>—20=(—10+X20/k勺.y=J1)X2<-X20I—2l<X20.N(A)丰N2(A)xN1(A)；X2>X20-k2X20kk(x+x)21100kk(x-x)

2110k2x20X<-X20-X<x<-X2010IXl<X10X<X<X1020X>X20A0=0等效非线性环节的描述函数计算：y(t)是奇函数，.0<0<w1W1<0<W2W2<0〈兀/2jW2(sin20-—10sin0)d0+&j"2sin0d0W1Ak1AW20kk(Asin0-x)

1210kXB=4j"2y(t)sin0d0="2A1兀0兀AsinW1=X10'Asinw=X220%=arcsin(x10/A)W2=arcsin(X20/A)'sin0cos0JW2+—10cos0W2X--^0~兀/2卜AkAW1W11W2J心J1G兀2心|arcsin—20-arcsin—10-—20,'1-(—20)2+—10「1-兀IAAAI，AA\2+B=2"1勺，Jarcsin—20-arcsin—10+—20，1-(—20)2-—1a'1-(—1a)2[.1兀IAAA1AA)’A「N(N(A)=2仔2Jarcsin—20-arcsin—10+兀AA—2X-1-(^20)2-X10'1-(ia)2I

AVA)AVA)「(3)线性部分的等效变换非线性系统中的线性部分等效变换采用方框图变换方法，变换过程中，不允许线性环节与非线性环节交换位置。要点仍然是保持信号关系不变。例子参见图8-42TN(A4TN(A使用Nyquist稳定判据的条件：非线性部分N(A)和线性―'部分G(s)可以分开，分析r(t)三0时的稳定性。非线性系统的特征方程：1+N(A)G(s)=0；Nyquist稳定判据的特征方程N(A)G(加)=-1。

因N(A)G(加)曲线很难绘制，应用Nyquist稳定判据的特征方程等价于G(加)=T/N(A)；式中-1/N(A)一负倒描述函数。应用Nyquist稳定判据判断非线性稳定性时，以-1/N(A)替代临界点(-1,0)。☆非线性系统的稳定性判定规则(P=0):⑴G(沁)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定；(2)G(爬)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定；⑶G(jw)曲线与-1/N(A)曲线相交，闭环系统可能出现自振荡；自振荡的频率为Gj)在交点处的w值，振幅是N(A)在交点处的A值。{G(jw)曲线逆时针包围-1/N(A)曲线的次数N=P，闭环系统稳定；否则不稳定。G(jw)曲线例8-5非线性系统如图8-45所示，分析系统稳定性。(P=0)10与-1/N(A)曲线相交，闭环系统可能出现自振荡；}解：G(s)=-(——1)(4——1)；/G(jw)=-90。-arctanw一arctan4w=-180。；w?,〜.例8-5非线性系统如图8-45所示，分析系统稳定性。(P=0)10G(j)=-8；N(A)=k+；—=—；—=0；—=-2；2；兀AN(A)0.5兀A+4‘N(0)‘N(8)‘负倒描述函数曲线在负实轴的(-2,0］区间上；G(jw)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定；-―—一，八八15解：G⑶=s(0.1s+1)(0.2s+1)；W-―—一，八八15解：G⑶=s(0.1s+1)(0.2s+1)；W2=50；G(j7-071)=予N(A)=—\arcsin%+&.,：1-(％)2|，A>x；N(x)=k=2；兀［AAAJ0'0；x一dN(z)4k-一…、一记z=-°v1；T2=——v1-u2>0；N(A)是单调函数，得知-EV是单调函数；Adz兀N(A)负倒描述函数-1/N(A)曲线位于负实轴(-8,-0.5］上，G(jw)曲线与-1/N(A)曲线相交，闭环系N(8)=0；N(8)=0；=—V1-u2>0；N(A)是单调函数，得知—统自振荡的稳定性分析；记交点处非线性环节输入信号为Asinw，若该信号的幅度AvA，则-1/