自动控制理论例题集锦

第2章控制系统的数学模型例1设齿轮系如图2-1所示。图中J1和J2为齿轮和轴的转动惯量，f和匕为齿轮轴与轴承的粘性摩擦系数，01和02为各齿轮轴的角位移，T为电动机的输出转矩，气和孔分别为轴1传送到齿轮上的转矩和传送到轴2上的转矩，齿轮1和齿轮2的减速比为1=，。2如果不考虑齿轮啮合间隙和变形，试求输入量是T转矩，输出是转角02的运动方程。T12图2-1解：1.由已知，齿轮1和齿轮2的减速比为02在齿轮传动中，两个啮合齿轮所做的功相同，因此有TT12图2-1解：1.由已知，齿轮1和齿轮2的减速比为02在齿轮传动中，两个啮合齿轮所做的功相同，因此有T0=T01122（2-1）T=01T=iT20112根据牛顿第二定律，齿轮1的运动方程为（2-2）齿轮2的运动方程为d20d0J1=T-T-f11dt211dt（2-3）J坦=T-f也2dt222dt（2-4）由（2-1）、（2-2）、（2-3）和（2-4）式，消去中间变量T「T2、01，得系统的运动方程(J+七)d气+(f+f2)：2=1T

1i2dt21i2dti例2求取图2-2所示电路的传递函数空'。图中K为放大器的增益。U(s例2求取图2-2所示电路的传递函数空'。图中K为放大器的增益。U(s)解:考虑放大器对RC电路的负载效应，即RC电路的输出端电阻应为R与R.的并联。即R2=R+R2i利用复阻抗的概念，RC电路的传递函数为U(s)_R'_R'"=R'+R//1=E21sCRC电路与放大器串接后的传递函数为RCs+11RR'「—1~—Cs+1R1+R2U(s)U(s)U(s)R'—3=―32=2——U(s)U(s)U(s)R+R'12112例3已知系统的传递函数为\o"CurrentDocument"C(s)2RCs+1少1KRR'12Cs+1R1+R2R(s)=s2+3s+2系统初始条件为C(0)=-1C(0)=0，试求系统的单位阶跃响应。解:考虑到传递函数是在零初始条件下定义的，故有系统的微分方程为c(t)+3c(t)+2c(t)=2r(t)将微分方程两边取拉氏变换，得到变换方程一•.-s2C(s)-sC(0)-C(0)+3sC(s)-3C(0)+2C(s)=2R(s)1由已知条件，r(t)=1(t)R(s)=，及C(0)=-1C(0)=0，变换方程可简化为ss2C(s)+3sC(s)+2C(s)=-—s—3s显然，通过拉氏变换将微分方程变成了代数方程。解变换方程，求出输出变量的拉氏变换表达式换表达式一s2一3s+2s(s2+3s+2)C(s)是变量s的有理分式函数，可用部分方式法，将C(s)的分母多项式进行因式分解，C(s)分解为部分分式一s2一3s+2CCC=—T+213—s(s+1)(s+2)ss+1s+2待定系数C待定系数C、C2、C3可由下式求出C=lims•F一3s+2=1

110s(s+1)(s+2)=lim(s+1).f一3s+2=-4

s>1s(s+1)(s+2)=i呼+2)•Ki=2故有C(s)=1--—+—

ss+1s+2将输出的拉氏变换式进行拉氏反变换即可得到微分方程的解，即系统的单位阶跃响应~142-c(t)=L-1[C(s)]=L-1[1]=1一4e一+2e-2tss+1s+2例4分别用结构图等效变换和梅逊公式求图2-3所示系统的传递函数。图2-3图2-3解：用梅逊公式求取系统传递函数。由图2-3知，系统有1个回路，有2条前向通路。因此有L1=G(s)G3(s)A=1—ZL=1-G(s)G3(s)

P=G(s)△=1]P=-G(s)X=1根据梅逊公式，系统的传递函数为WPXC(s)_kk_G(s)—G(s)RS—^=~X=1-1g(s)G(s)例5系统微分方程组如下：X(t)=r(t)-c(t)-n(t)X(t)=Kx(t)TOC\o"1-5"\h\zx(t)=x(t)一x(t)

325TdX4(t)=x(t)

dt3x(t)=x(t)一Kn(t)

5422+心=Kx(t)dt2dto5式中K、K、K、T均为常数。试建立以r(t)、n(t)及n(t)为输入量、c(t)为输出量的系统动态结构图。212解：在零初始条件下，对微分方程组进行拉氏变换，得到变换方程组X1(s)=R(s)-C(s)-N1(s)X2(s)=K1X1(s)X3(s)=X2(s)-X5(s)X4(s)=X3(s)

TsX5(s)=X4(s)-K2N2(s)c(X4(s)=X3(s)

Ts根据变换方程组画出各子方程结构图2-4。

R(s)N1(s)(s)__j7^s^___^1(R(s)N1(s)(s)__j7^s^___^1(s)C(s)12X5⑴N(s)图2-4把相同的量连起来，便可得到系统的结构图，如图3.按照系统中各变量的传递顺序，2-5所示。N(s)图2-5例5系统信号流图如图2-6所示，试求传递函数二、八和之。七七七图2-6由图2-6可以看出，共有4个回路，一对两两不接触回路，故有L=-eg，L=-eh，L=-cdei，L=-beiA=1-EL+SLL=1-L-L-L-L1234+LL==1-L-L-L-L12341.求传递函数七。J1从J到J的前向通路共2条，故有16p=acdefp=abef△*kkk=1acdef+abef△*kkk=11+cg+eh+cdei+bei+cgeh2.求传递函数上。y1因y2不是输出节点，而是混合节点，故可将七用一条支路增益为1的支路引出，使该混合节点变为输出节点，所以％可以直接利用梅逊公式求出。y1从y到y的前向通路共1条，故有12a(1+eh)p.=a，△=1+ehy△P】11+cg+eh+cdei+a(1+eh)1求传递